多種途徑求圓半徑

在關于圓的問題中，求半徑是最常見的，而且形式多樣，學生解題時往往摸不著頭腦，無從下手.一般來講，求半徑都要構造方程，筆者將各種題型進行整理、歸納，小結出以下幾種構造方程的途徑供大家參考.

一、運用勾股定理

如果題目中直接或間接地給出了直角的條件，則可利用勾股定理構造方程來求解.

圖1

【例1】 如圖1，⊙O的圓心在邊長為2的正方形ABCD的對角線BD上，⊙O過點B且與AD、DC邊都相切，求⊙O的半徑.

解析：設⊙O與CD的切點為E，由直線與圓相切的定理可知OE⊥CD，因為∠BDC＝45°，則OE=DE，易求得BD=2. 設半徑為x，由勾股定理得方程x2+x2=(2-x)2，解得x=-2±22（舍去負值）.

二、構造相似三角形

求半徑即為求直徑，而直徑所對的圓周角為直角，所以常常可構造直角三角形相似求半徑.

圖2

【例2】 如圖2，AD是△ABC的高，⊙O是△ABC的外接圓，AC=5，DC=3，AB=42，求⊙O的半徑.

解析：作過O點的直徑AE，連接BE，則∠ABE＝90°.由勾股定理求得AD=52-32=4，因為∠ABE＝∠ADC＝90°，∠E＝∠C ，則△ABE∽△ADC.設AE=x，則x42=54，x=52，半徑OA=522.

三、利用圓半徑相等的性質

求半徑的問題常常根據圓的性質“同圓或等圓的半徑相等”構造方程.

【例3】

如圖3，兩正方形彼此相鄰且內接于半圓，若小正方形的面積為16m2，求半圓的半徑.

所以在第四象限內都有

(-sinα)+cosα＞1，即sinα-cosα＜-1.

在角7π4+2kπ的第四象限上方的區域內，此時

sinα＜|cosα|，sinα＜0，所以sinα+cosα＞0;

在角7π4+2kπ的第四象限下方的區域內，此時|sinα|＞cosα，sinα＜0，cosα＞0，

所以sinα+cosα＜0.

根據以上的結論變式拓展的解：

因為sinα+cosα=32＞1，所以α角只能在第一象限內.

將sinα+cosα=32兩邊進行平方得到：

(sinα+cosα)2=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+2sinαcosα=32，

即sinαcosα=14.

(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=12.

開平方得到：sinα-cosα=±22.

(2) 已知sinα+cosα=15(0＜α＜π)，求tanα的值.

解：由上面的結論可知：0＜sinα+cosα=15＜1，所以α角在角3π4+2kπ的第二象限上方的區域內，又因為0＜α＜π，所以角的范圍可以縮小為π2＜α＜3π4，

此時tanα＜-1.

將sinα+cosα=15兩邊進行平方，得到

(sinα+cosα)2=sin2α+cosα2α+2sinαcosα=1+2sinαcosα=125

，

所以 sinαcosα=-1225.

sinαcosαsin2α+cos2α＝-1225，tanα1+tan2α=-1225，

解得tanα=-34，tanα=-43.

因為tanα＜-1，

所以tanα=-43.

給出這個規律的好處在于，如果給出sinα+cosα等于多少，可以根據它的值是大于1還是小于-1或者是小于零和大于零來確定α角所在的范圍.這都主要取決于用有向線段來表示三角函數.

(責任編輯 金 鈴）