談談如何運用轉化的思想進行圖形教學

【案例背景】

數學教學的過程，應是培養學生思維能力的過程。培養學生邏輯思維能力，主要是在教學過程中通過教師示范、引導、指導，潛移默化地使學生獲得一些思維的方法。因此教師在教學過程中應精心設計問題，提出一些富有啟發性的問題，激發思維，最大限度地調動學生的積極性和主動性。學生的思維能力只有在思維的活躍狀態中，才能得到有效的發展。本節課是學生剛剛學習了“平行四邊形面積”的基礎上學習的，為后續學習組合圖形面積打基礎的，本課通過拼擺等實際操作，來探索三角形面積的計算方法。不過，讓他們切實理解三角形的面積公式卻不是很容易。要想讓學生完全領悟，須要引導他們在探索活動中，循序漸進、由淺入深地進行操作與觀察，討論與交流，從而使學生進一步理解平面圖形之間的變換關系，發展空間觀念。下面我將研課過程中遇到與想到的問題與大家共析。

【研課經歷】

第一次備課:

教學目標 :

1.在實際情境中，認識計算三角形面積的必要性。

2.在自主探索中，經歷推導三角形面積計算公式的過程。

3.能運用三角形的面積公式計算相關圖形的面積，解決實際問題。

教學重點:理解并掌握三角形面積的計算公式。

教學難點:讓學生經歷操作、合作交流、歸納發現和抽象公式的過程。

教學準備:多媒體課件，每個小組至少準備完全一樣的直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形各兩個，一個平行四邊形、剪刀。

一、復習導入

1.課件出示平行四邊形，底2㎝，高1.5㎝ 。

提問:(1)這是什么圖形?求它的面積我們可以用哪些方法?(數方格、公式計算。)

(2)求出它的面積(注意單位) 。

(3)平行四邊形面積是怎樣推導出來的?

(板書:轉化圖形——找出關系——推導公式。)

【設計意圖:通過再現平行四邊形面積公式推導過程，重溫將“未知”轉化為“已知”的過程，為進一步探究三角形面積計算公式作好思維上的準備。】

2.導入課題 。

師:既然平行四邊形面積能用數方格或者公式來計算，那我的這張三角形彩紙是否也能用這些方法呢?(出示三角形彩紙。)好，今天我們就來研究三角形的面積。(板書。)

二、探究新知

師:今天這節課我們將通過“動手操作、觀察對比”推導出三角形面積的計算公式。

三、觀察對比，設想轉化

1. 師:你能用什么辦法得到三角形面積呢?

(學生思考并匯報，預計學生可能提出以下兩種方案。)

(1)數方格的辦法。

(2)將三角形轉化為已經學過的圖形。(平行四邊形。)

2.動手操作，體驗轉化。

(1)師:下面同學們可以按照自己的想法利用自己手中的學具進行轉化，并思考問題:在轉化過程中的三角形和平行四邊形有什么關系?

(2)學生按照自己的想法動手實踐，根據思考題思考，在小組內交流，教師巡視，并作適當點撥。

(3)學生匯報探究的成果。

用兩個完全一樣的直角三角形拼;

用兩個完全一樣的銳角三角形拼;

用兩個完全一樣的鈍角三角形拼;

或許會出現把平行四邊形沿著對角線剪開，得到兩個完全一樣的三角形。

結論:當三角形和平行四邊形等底等高時，三角形的面積是平行四邊形面積的一半。(板書。)

得出結論同時，討論拼成的平行四邊形的底、高和三角形的底、高有什么關系。

平行四邊形的底就是三角形的底，拼成的平行四邊形的高就是三角形的高，因為三角形的面積等于拼成的平行四邊形面積的一半，所以三角形的面積 等于底×高÷2。

(4)歸納總結。

①三角形的底、高、面積與拼成的平行四邊形的底、高、面積之間的關系。

②公式:平行四邊形的面積=底×高。

三角形的面積=底×高÷2 。

【設計意圖:通過動手、交流、匯報、歸納等教學活動，使學生在活動中“做”數學，體驗知識形成的過程和自主獲取新知的過程，積累數學實驗的經驗，發展分析、歸納等思維能力、空間想象能力以及利用數學語言與他人交流的能力。】

(5)學生自學字母公式。

①生自讀課本25頁最下面4行。

②通過看書，你知道了什么?

如果用S表示三角形的面積，a和h分別表示三角形的底和高，那么三角形的面積公式可用字母表示為:S=ah÷2.

(6)解決問題。

師:現在我們能求這個三角形彩紙的的面積了嗎?

(學生重新審題，獨立完成，口述，教師板書。)

4×3÷2=6(cm2);

答:它的面積6cm2。

四、鞏固練習

(完成教材P26試一試。)

(學生獨立完成，板演，教師訂正。)

【設計意圖:以教材為引領，完成自主探究的學習過程，經歷數學建模。】

五、小結

師:這節課你都學到了哪些知識?你有什么收獲?

六、作業設計

1.利用學具擺一擺、說一說三角形面積推導的過程，復述重要的結論。

2.完成教材P26練一練第1題。

交流:

在與其他教師的研討過程中，大家針對我的教學設計進行了熱烈的討論。主要集中在復習導入時的情境問題，練習時的問題，以及有效突破教學重難點問題。經過研討，我意識到，原有的復習導入想象得過于簡單，因為本節課的三角形面積是以平行四邊形面積為基礎的，所以在學生復習平行四邊形面積時還是要重點地強調一下平行四邊形的推導過程，這樣更有利于今天的三角形面積的學習。在突破教學重難點問題上，有老師建議，應該給學生充分的動手與合作交流的時間和機會，讓他們充分地經歷探索、推導三角形面積的過程，更應該注重的是探究推導過程而不是結果。教材中例舉的轉化方法中除了用相同的三角形拼擺成平行四邊形外，還滲透了割補法的轉化思想。“轉化方法”不僅可以拼，還可以割補。在教學中，我想根據學生探究時的情況而定，不一定每一個方法都探索出來，只要學生能找到適合自己的想法，尊重選擇，不強求統一。沒有探究出來的可以課件演示，讓學生知道還有很多的方法可以求出三角形的面積。根據以上建議，我進行了二次備課。

第二稿:

在第一稿設計的基礎上，我對個別環節進行了如下的改動:

一、復習導入

1.課件出示平行四邊形，底2㎝，高1.5㎝。

提問:(1)這是什么圖形?求它的面積我們可以用哪些方法?(數方格、公式計算。)

(2)我們用口算的方法以最快的速度求出它的面積。(注意單位。)

(3)回憶一下平行四邊形面積是怎樣推導出來的，請一名學生具體說說推導過程。

(板書:轉化圖形——找出關系——推導公式。)

(有教師建議:具體地說說平行四邊形面積的推導過程有助于今天的學習。)

2.導入課題。

師:既然平行四邊形面積能用數方格或者公式來計算，那我的這張三角形彩紙是否也能用這些方法呢?(課件出示三角形彩紙。)好，今天我們就來研究三角形的面積。(板書。)

二、觀察對比，設想轉化

⒈師:你能用什么辦法得到三角形面積呢?(學生思考并匯報。)

預計學生可能提出以下兩種方案:

⑴數方格的辦法。

⑵將三角形轉化為已經學過的圖形。

2.動手操作，體驗轉化。

(1)師:同學們想得很好，其實我們知道數格子的方法是不便于得到三角形的面積的。下面同學們可以按照自己的想法利用自己手中的學具進行轉化，并思考問題:在轉化過程中的三角形和新拼成的圖形有什么關系?

活動一:

師:請同學們拿出準備的三角形，仿照我們推導平行四邊形面積的方法，試著拼一拼，看能不能推導出三角形的面積公式。動手前，注意老師提出的這幾個問題:

你選擇兩個怎樣的三角形拼圖?能拼出什么圖形?拼出的圖形與原來的三角形有什么聯系?(屏幕出示。)

(學生分小組進行操作實踐活動。)

(匯報交流操作結果，請學生將自己的拼圖貼于黑板上，對照拼圖進行匯報交流，不完整的地方，小組內其他同學補充。教師根據學生的匯報出示相應的課件。)

拼法一:用兩個完全一樣的直角三角形拼成一個長方形，三角形的一條直角邊(底)相當于長方形的長，另一條直角邊(高)相當于長方形的寬。

拼法二:兩個完全一樣的銳角三角形拼成一個平行四邊形，平行四邊形的底相當于三角形的底，平行四邊形的高相當于三角形的高。

拼法三:兩個完全一樣的鈍角三角形拼成一個平行四邊形。

拼法四:兩個完全一樣的直角三角形還可拼成一個平行四邊形。

拼法五:兩個完全一樣的等腰直角三角形可拼成一個正方形。

教師概括:通過動手我們發現，兩個完全一樣的三角形都可以拼成一個平行四邊形(或長方形或正方形)。這個平行四邊形的底相當于三角形的底，平行四邊形的高相當于三角形的高，那么三角形的面積和我們拼成的圖形的面積有什么關系嗎?這是我們要研究的重點內容。學生小組討論研究得出結論。

師:三角形的面積是長方形、正方形、平行四邊形面積的一半。(板書。)

得出結論同時，討論拼成的平行四邊形的底、高和三角形的底、高有什么關系。

師:平行四邊形的底就是三角形的底，拼成的平行四邊形的高就是三角形的高，因為三角形的面積等于拼成的平行四邊形面積的一半，所以三角形的面積等于底×高÷2，即三角形面積=底×高÷2。

【設計意圖:在這里我接受了其他教師的建議:運用轉化的數學思想，通過動手操作，推導出三角形的面積公式。在操作過程中，我把自主學習的權利還給了學生，使學生學得積極主動。在操作、觀察、分析、推理、概括的過程中，培養學生的合作能力、動手能力、解決問題的能力。】

(2)歸納總結。

①三角形的底、高、面積與拼成的平行四邊形的底、高、面積之間的關系。

②公式:平行四邊形的面積=底×高。

三角形的面積=底×高÷2 。

(3)學生自悟字母公式。

①復習平行四邊形面積公式字母表示法。

②三角形的面積怎么表示呢?試著寫一寫，指名板演。

歸納總結: 如果用S表示三角形的面積，a和h分別表示三角形的底和高，那么三角形的面積公式可用字母表示為:S=ah÷2。

【設計意圖:經過他人的建議和我的思考，這個部分我放手讓學生自己總結、自己悟出字母表示式，前提是他們已經學習了平行四邊形的面積，相信他們一定能行。】

(4)口算練習，鞏固公式運用。

一個三角形的底是4厘米，高是3厘米，求面積。

a=6cm ， h=7cm ，求s .

(5)解決問題。

師:現在我們能求這個三角形彩紙的面積了嗎?

(學生重新審題，獨立完成，口述，教師板書。)

4×3÷2=6(cm2);

答:它的面積6cm2。

四、鞏固練習

1.同學們，我們每天都佩戴著紅領巾，因為紅領巾是我們少先隊員的標志，是革命烈士的鮮血染成的。現在就來求一求紅領巾的面積是多少吧。(課件出示相關數據。)

2.學生計算課后練習第二題，說說自己的發現。

3.在一個長8厘米、寬3厘米的長方形里，畫一個最大的三角形，這個三角形的面積是多少?

【經過其他教師的建議:在一稿的練習設計上更加聯系生活實際，并能有一定的拔高練習，增加了梯度，跳一跳摘桃子。】

五、總結

師:說一說這節課，我們是怎樣得到三角形的面積計算公式的。

六、作業

師:你對自己的表現滿意嗎?對其他同學的表現有什么想要說的?以及這節課中你有什么收獲?寫一篇數學日記。

課堂效果:

經過這樣的改動，使學生會以飽滿的熱情參與到知識的探索過程中。學生動手拼、擺等活動，使“轉化思維”策略在這節圖形課中得到了有效的利用，解決了學生形象思維和數學知識抽象的矛盾。學生在操作過程中，不僅知道了推導過程，而且在動手操作中掌握了知識間的內在聯系，實現了知識與技能的正遷移。

課堂實踐:意外生成

課堂實踐是檢驗教學設計最好的陣地。經過精心的準備，在班級上了這節課。前面的環節都比較順利，但在探索割補法的問題時，意外生成了:

“探究三角形的面積”

生1:老師，我用兩個完全一樣的等腰直角三角形拼成了一個正方形。

生2:老師我用兩個完全一樣的直角三角形拼成了一個長方形。

師:大家同意他的說法嗎?自己思考思考，小組同學也可以討論一下。

(生拼擺證明，得出結論:同意以上兩名同學的想法。)

師:看看這幾種拼法它們有什么共同點呢?認真觀察演示課件，同桌互相說說。

師:除了剛才我們用的方法外，請同學們再用剪拼的方法進行推導。

生:我有一個平行四邊形，我沿著它的對角線剪開，我覺得三角形的面積是平行四邊形面積的一半。

(請學生展示剪拼過程。)

師:你的想法很好，你很聰明，善于動腦筋，并且還得出了結論，現在我們就來驗證你說得對不對。

…………

師:拼剪的方法我們都有了，那有沒有同學用了補的方法呢?

全場啞然……

但是學生很快地就想到了割補辦法，但是結果不僅浪費了時間學得也不夠深入。

我隨即就把課前準備的割補課件直接演示給學生，再次動手操作效果很好。

學生之所以會出現這種情況，因為我的預設不夠充分，學生可以有很多的方法，比如割補法和折疊法等。對于割補法，在初步的預設中我覺得會有一定的難度，后來接受其他教師的建議，實踐中嘗試著在課堂中體現出來，然而教學效果不是很好，學生參與面不廣，參與度不深。我課后反思，雖說應該讓學生有更加廣闊的思維空間，可還要根據學生的具體情況。我的學生情況我很了解，他們的理解能力還不是很強，也缺乏想象力和創新意識，或許其他教師的建議適合于他們班的學生。此時我以課件直接演示讓學生認識割補法，然后引導他們動手操作加深對割補法的理解。此時，學生沿著老師搭設的階梯嘗到了勝利的果實。

反思:

在此次研課的過程，讓我再次認識到新課程對于圖形教學為什么要強調“轉化”的重要性。“轉化”要讓學生在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握圖形之間的內在聯系，并在聯系中獲得知識，經歷探索的過程。我有以下幾點思考:

1.圖形教學要給學生充分的動手動口動腦的時間，合作交流集集體之智慧

圖形本來就是學生喜歡擺弄的，如果讓學生在體驗中感受，在體驗中交流，學生在合作中體會到的收獲與快樂，有的時候都是我們預想不到的。

2.轉化的思想進行圖形教學

轉化的思想在幾何圖形計算中常用到。本節課就是把三角形轉換成以前學過的圖形，從中發現雖然兩者圖形形狀變了，但面積不變，逐步推導出平行四邊形的面積計算公式。這樣充分了利用學生已有的知識，緊緊抓住了知識間的內在聯系，實現了知識與技能的正遷移。

3.教學中預設要充分

學生是發展的人，在課堂中肯定會有這樣那樣的問題，我們在肯定學生的同時，也不要過高或過低地估計學生，一旦出現預設中沒有想到的問題，教師就要巧妙地運用教育機智來解決隨機發生的問題。授人以“魚”只能管一陣子，授人以“漁”能管一輩子。教師應該更新觀念，把數學思想方法教學的要求融入備課環節、深入鉆研教材，努力挖掘教材中可以進行數學思想方法滲透的各種因素。

(指導教師:大慶市教師進修學院 康曉榮)

(作者單位:大慶市杜蒙縣一心鄉中心學校)

編輯/魏繼軍