一題多解之教學啟示

有一些數學題目，初看平淡無奇，細想卻蘊藏著豐富的教育價值；一個有經驗的教師，能夠切實根據學生的思想實際，結合所教的學習內容，加以科學地利用，因勢利導，引導學生充分展示、暴露思維過程，從而提高學生的數學思維品質，培養自學能力、創新意識、創造能力和非智力因素，這類題目便會放出奇光異彩。

一節與三角形相似有關的習題課，最后一道求比例的計算題，很多同學被難住了，但也有幾個同學各抒己見，給出了幾種證明方法，令我眼前一亮，我隨堂給他們展開了一節生動活潑的一題多解的習題課。

題目如下：如圖所示，在ΔABC中，D是BC的中點，E是AD的中點，那么AF∶FC的值是多少？

看到還是有學生能做出來，而且躍躍欲試，就不急于給他們講解。我首先把機會給了一個很愛表現的家伙，他從容地給出了如下解法：

解法一：作EG平行BC交AC于G

由E是AD的中點得

AE∶ED=AG∶GC=1

∴G為AC中點 又因為D是BC的中點

∴EG∶BC=EG∶2DC =

1∶4 =FG∶FC，

∴FC=CG+FG = CG，FG= CG

∴AF=AG-FG = CG，∴AF∶FC=1∶2

他的解法一經講出，那些對他不太信任的同學也信服了，還嘆息自己怎么會想不到。但有幾個平時成績較好的同學急了，紛紛舉手，我讓其中一個站起來回答，他給出如下解法：

解法二：

過點D作DG‖BF，交AC于點G。

因為，DG‖BF，AE =ED ，

∴AF = FG 。

因為，DG‖BF，BD = DC ，

∴FG = GC 。

因為，FC = FG+GC = 2FG = 2AF ，

∴AF∶FC = 1/2 。

這一次全班同學都鬧騰開了，原來這道題目這么簡單。到這時，我一看還有同學舉手，又繼續讓她也站來說說她的方法。下面是她給出的方法：

解法三：

過點D作DG‖AC，交BF于點G

∴ΔAFE ΔGDE

又因為E是AD的中點，∴ΔAFE ΔGDE

∴AF=DG

因為D是BC的中點

∴GD= FC

∴AF∶FC = 1/2

三種方法一經對比，所有人都覺得，解法二和解法三都很簡單。抓住這個機會，我給他們講了輔助線的重要性：在初中數學里，一些幾何證明題恐怕是大多數學生都為之“棘手”的難點問題，一些幾何計算題也令許多學生頭痛。其實，“難”固然是事實，但真正無從下手的原因，多半是沒找到題目的突破口罷了。在眾多的幾何“難”題中，往往一條巧妙的輔助線就會使“難點”迎刃而解。如果能夠巧妙地作出輔助線，就會對解題起到事半功倍之效。

一道求比例的計算題出現了這么多種解法，這大大地激發了學生數學興趣，也激發了學生的探索意識，發展了學生的創造性思維。而從多種解法的比較中，又要選出最快最好的解法，也給予學生今后解題時探尋最優化解題方法做了深透。經常進行這樣的訓練，有利于學生溝通知識之間的聯系，有利于發展學生在解題時思維敏捷性的創造，可以很好地培養學生的發散思維能力。

數學課堂上，適時地通過一題多解去激發出學生的智慧，正是數學一題多解的魅力所在。教師只需努力去營造一個接納的、支持性的、寬容的課堂氛圍，創設能引導學生主動參與的教育環境，擺脫枯燥的說教，講題之際善于傾聽學生的理解，給學生思維的空間，給學生展示的機會。

我告訴他們，我還有別的解法，而且也非常簡單，我看到同學們都瞪大了眼睛，非常認真地聽我解說。

解法四：過點A作AG‖BC，交BF的延長線于點G則 ΔAFG ΔCFB由E是AD的中點得AG=BD=CD

∴BC=2AG

∴AG∶BC=AF∶FC=1∶2

我并沒有把課上到這里為止，我給同學們提出三個問題讓他們思考：這三種解法的輔助線有什么特征？為什么會這么做？哪一種最簡單？

他們熱烈地討論起來，我讓幾個同學發表了他們的看法，總結如下：從已知的分點出發，作平行線，構造相似三角形，再從已知條件出發尋找思路。求比例和三角形相似緊密聯系，通過作平行最容易構造相似，直接和所求的比例關聯的點作的輔助線的方法最簡單。

針對這次討論，我給他們布置以下習題：

1.已知，在三角形ABC中，F為AC上一點，且AF∶FC=1∶2，D為BF中點，AD的延伸線交BC于E.求：BE∶EC的值。

2.如圖所示，ΔABC中，AD是BC邊上的中線，F是AD邊上一點，射線CF交AB于E點，且 ，則 ？

這次作業同學們完成得很好，也很主動。通過這次一題多解的教學，極大激發了學生的數學興趣，開拓學生思路，培養邏輯推理能力和想象力，進一步培養學生的數學能力.

適當合理的應用一題多解有利于調動學生的學習積極性，在教師的啟發、引導下，對一道題學生可能提出兩種、三種甚至更多種解法，課堂成為同學們合作、爭辯、探究、交流的場所，它能極大提高學生的學習興趣．

“興趣是最好的老師”。教學中的許多細節都在啟迪我：只要我們能將枯燥無味的課堂變得生動、活潑而有趣，學生就能夠自覺、主動、快樂地學好數學。