“全等三角形”題型解析

隨著課程改革的不斷深入，一大批格調清新、設計獨特的開放型、探究型、操作型等創新題紛紛在各地中考試卷上閃亮登場.近年來，有關全等三角形的創新題更令人耳目一新、目不暇接；試題以它的新穎性、思辨性摒棄模式、推陳出新，創造性地描繪了一個絢麗多姿的圖形世界.

根據ASA有△PBD≌△CBA，在此基礎上，就不難得到△PNA≌△CND、△PEM≌△FMB.

點評：本題將幾何證明融入到剪紙活動中，讓學生在剪、拼等操作中去發現幾何結論，較好地體現了新課程下“做數學”的理念.（2）題結論開放，而且結論豐富，學生可以從不同的角度去進行探索，在參與圖形的變化過程及探究活動中創造性地激活了思維，令人回味.

八、閱讀歸納型

例8：我們知道，兩邊及其中一邊的對角分別對應相等的兩個三角形不一定全等.那么在什么情況下，它們會全等嗎？

（1）閱讀與證明：

對于這兩個三角形均為直角三角形，顯然它們全等.

對于這兩個三角形均為鈍角三角形，可證它們全等（證明略）

對于這兩個三角形均為銳角三角形，它們也全等，可證明如下：

已知：△ABC、△A1B1C1均為銳角三角形，AB=A1B1，BC=B1C1，∠C=∠C1.

求證：△ABC≌△A1B1C1.（請你將下列證明過程補充完整.）

證明：分別過點B，B1作BD⊥CA于D，

B1D1⊥C1A1于D1，

則∠BDC=∠B1D1C1=90°.

∵BC=B1C1，∠C=∠C1，

∴△BCD≌△B1C1 D1.

∴BD=B1D1.

（2）歸納與敘述：

由（1）可得到一個正確結論，請你寫出這個結論.

分析：（1）由條件AB= A1B1，∠ADB=∠A1D1B1=90°.

易得△ADB≌△A1D1B1，因此∠A=∠A1，

又由∠C=∠C1，BC=B1C1，

從而得到△ABC≌△A1B1C1.

（2）歸納為：兩邊及其中一邊的對角分別對應相等的兩個銳角三角形（或直角三角形或鈍角三角形）是全等的.

點評：邊邊角問題是全等三角形判定中的難點，也是學生易出錯的內容，要涉及三角形形狀的分類.本題構思新穎，創造性地設計了閱讀情境，引領學生跨越障礙，引導學生合情推理并總結概括，考查了學生閱讀理解、類比、概括等綜合能力，同時也培養了學生靈活、精細、嚴謹的數學思維品質.

九、作圖證明型

例9 ：已知Rt△ABC中，∠C=90°.

（1）根據要求作圖（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫畫法）①作∠BAC的平分線AD交BC于D；②作線段AD的垂直平分線交AB于E，交AC于F，垂足為H；③連接ED.

（2）在（1）的基礎上寫出一對全等三角形：△_______≌△_______并加以證明.

分析：（1）按照要求用尺規作∠BAC的平分線AD、作線段AD的垂直平分線，并連接相關線段.

（2）由AD平分∠BAC，

可以得到∠BAD=∠DAC；由EF垂直平分線段AD，

可以得到∠EHA=∠FHA=∠EHD=90°，EA=ED，

從而有∠EAD=∠EDA=∠FAH，再加上公共邊，

從而有△AEH≌△AFH≌△DEH.以上三組中任選一組即可.

點評：作角平分線和線段的垂直平分線是新課標中明確提出的基本作圖之一，動手作圖，使學生在操作活動的過程中感受知識的自然呈現，體驗數學的神秘與樂趣，并實現數學的再創造，從而進一步感受數學的無限魅力，促進數學學習.

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編輯/張燁