“質數和合數”教學紀實與評析

教學內容：人教版小學數學5年級下冊第23頁。

教材分析：

“質數和合數”作為學生學習數論知識的起步課，在“因數與倍數”這一單元教學內容中起著承前啟后的作用。它是在學生學習因數和倍數以及2、3、5的倍數的特征的基礎上進行的，是學生后續學習求最大公因數、最小公倍數，學習約分、通分以及中學進一步學習數論知識的前提和基礎。在數學知識整體結構和學生學習進程中具有十分重要的作用。教材引導學生先尋找1～20各數的因數，然后按其所含因數的數量的不同進行分類，從而使學生建立起質數與合數的概念，發展學生的抽象思維。

教學目標：

1.經歷“求因數—找規律—探究歸納—應用”等數學活動，發現并掌握質數和合數的特征，并能運用其特征判別質數和合數。

2.在參與探索的過程中，發展觀察、比較、分析、概括、推理能力，初步體會分類歸納的數學方法和數學思想。

3.體驗數學“再創造”的樂趣，發展數學意識和數學品質。

教學重、難點：掌握質數和合數的特征。發現質數和合數的因數特點。準確判斷一個數是質數還是合數。

教學準備：課件、展臺、學生練習卡。

預習提示：

（一）回顧舊知

1.非0的自然數按是不是2的倍數作為標準進行分類，可以分為（ ）數和（ ）數。

2. 能被2、5、3整除的數有什么特征？我們是怎樣研究2、3、5的倍數特征的？

（二）嘗試探究

1.根據前面研究數的經驗，選擇一組數進行研究（如：1～20各數；20～25各數； 100～200各數；200～400各數）。

2.寫出這組數中各數的因數，并根據它們所含因數個數的情況進行分類。

3.仔細閱讀教材第23頁，填寫書中表格。想一想：根據因數個數的情況，這幾類數分別叫什么數？

（三）在研究的過程中你還有什么困惑

教學過程：

一、復習舊知，為“再創造”作鋪墊

師：通過檢查同學們的預習作業，我發現大家對因數、倍數等舊知識掌握得非常牢固。現在，我們針對“回顧舊知”部分進行一下交流：按是不是2的倍數作為標準進行分類，非0的自然數可以分為哪幾類？

生：可以分為兩類：奇數和偶數。

師：我們是怎樣研究2、3、5的倍數特征的？

生1：我們學習2的倍數的特征時，是先寫出幾個數，然后再來研究它們個位上數的特點，然后發現規律。

生2：我們學習5的倍數的特征時，是先找出5的倍數，然后再來研究它們的共同特點。

生3：我們研究2、3、5的倍數特征時，都是先寫出一些數，然后再來研究它們的特點。

師：對，通過對一些具體的數的研究，發現它們的一些共同特征，這是我們最近研究數的問題時經常用的方法。通過預習，你們知道今天這節課，我們要學習的兩個新的概念是什么嗎？

生：（齊）質數和合數。（板書課題：質數與合數。）

師：通過檢查同學們的預習作業，我發現大部分同學選擇了1～20這組數進行研究，能說說你們的想法嗎？

生1：我開始用的是20～25這幾個數，可是數太少了，發現不了規律，后來我又加上了1～19這些數。

…………

師：同學們的想法是對的，我們在研究數的時候，一般都要先從較小的一組數進行研究。

二、合作探究，經歷“再創造”的過程

師：通過課前預習，你解決了哪些問題？

生1：我知道了什么叫質數，什么叫合數。

生2：我知道一個數究竟是質數還是合數，與它所含因數的個數有關。

…………

師：同學們運用前面學過的方法，通過課前預習已經解決了這么多與質數、合數相關的問題，真了不起!那么在研究的過程中，你有什么困惑嗎？

生：我想知道怎樣才能快速判斷出一個數是質數還是合數？

生：為什么說1既不是質數也不是合數？

生：0是什么數？

生：有沒有最大的質數？

…………

師：同學們真善于思考，提出了這么多有價值的研究問題。那么，這節課我們就在大家獨立預習的基礎上，發揮小組的力量，共同合作探究關于質數與合數的問題，好嗎？

課件出示小組合作學習提示：

（1）結合“預習提示”的嘗試探究過程，說一說，什么樣的數叫做質數？什么樣的數叫做合數？

（2）舉例說明，怎樣判斷一個數是質數還是合數。

（3）通過本節課的學習，想一想，自然數還可以怎樣分類？

師：請小組長組織本組成員有效交流，看看你們能否達成共識，并進行合理分工，一會兒展示你們的學習成果。

（學生進行小組合作學習，教師巡視了解，融入其中。）

三、展示交流，體驗“再創造”的快樂

師：各小組在小組長的帶領下都完成了學習任務，接下來我們要展示一下大家的學習成果。一直以來大家的匯報交流都很好，很有成效，希望同學們今天也不要緊張，積極交流。在交流時要認真傾聽別人的發言，如果有不同的見解、不懂的問題，或者想要給他人補充，都可以主動提出來。

師：請第五小組先來匯報第（1）項學習內容。

生1（邊用展臺展示1～20各數的因數及23頁分類表格邊匯報）：我們寫出了1～20各數的因數，把2、3、5、7、11、13、17、19這些數分為一類，它們只有兩個因數，這樣的數叫做質數；把4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20這些數分為一類，因為它們有兩個以上因數，這樣的數叫做合數；1自己一類，它既不是質數也不是合數。一個數，如果只有1和本身兩個因數，這樣的數叫做質數（或素數）。一個數，如果除了1和本身還有別的因數，這樣的數叫做合數。

生2（板書）：一個數，如果只有1和本身兩個因數，這樣的數叫做質數或素數。一個數，如果除了1和本身還有別的因數，這樣的數叫做合數。

生3：你能具體地說說為什么2、3、5……是質數，為什么4、6、8……是合數嗎？

生1：2的因數只有1和2，3的因數只有1和3，5的因數只有1和它本身5；7的因數只有1和它本身7，這些數都只有1和它本身，所以它們就是質數。4的因數除了1和它本身還有別的因數，6除了1和它本身還有別的因數，所以它們是合數。

生5：我來補充，4的因數除了1和它本身4，還有因數2；6的因數除了1和它本身6，還有因數2和3；8的因數除了1和它本身8，還有因數2和4，所以它們都是合數。

生6：為什么說1既不是質數也不是合數？

生1：質數是只有1和它本身兩個因數的數，合數是除了1和本身還有別的因數的數，而1只有一個因數，所以1既不是質數也不是合數。

生2：我來補充，因為1只有它本身1這一個因數，而質數有兩個因數，合數有兩個以上因數，所以1既不是質數也不是合數。

生7：1只有一個因數1，它既不符合質數定義也不符合合數定義。所以它既不是質數也不是合數。

師：第五小組根據因數個數的特點，抓住概念的本質特征，不但能結合具體事例說出質數、合數的意義，概括得很準確。

師：下面請第三小組來匯報第（2）項學習內容。

生1：我們可以根據質數和合數的概念來判斷一個數是質數還是合數，比如11只有1和它本身這兩個因數，它就是質數；再比如15的因數有1、15、3、5，它除了1和15還有別的因數，它就是合數。

生2：我認為這樣判斷更簡便，如果一個數只有兩個因數就是質數，如果有3個或者3個以上因數，它就是合數。

生3：一個數，除了1和它本身以外，只要能再找出它的一個因數，這個數就是合數。比如12除了1和它本身這兩個因數，它還是2的倍數，所以12是合數。

師：通過剛才的研究，我們發現：判斷一個數是質數還是合數，關鍵是看什么？

生：除了 1和它本身是否還具有其它因數。

師：一個數，如果只有1和它本身這兩個因數，它就是——

生：（齊）質數。

師：一個數，如果除了1和它本身外還含有其他的因數，它就是——

生：（齊）合數。

師：你能再說出幾個質數嗎？

生1：23是質數，因為23只有1和它本身這兩個因數。

生2：29也是質數，因為29只有1和它本身這兩個因數。

生3：31是質數。

…………

師：有沒有最大的質數？

生1：沒有，因為自然數的個數是無限的。

生2：質數的個數是無限的，所以不會有最大的質數。

師：還能找到其他的合數嗎？

生1：24是合數，因為它除了1和它本身還有因數2。

生2：25是合數，因為它除了1和25還有別的因數。

生3：36也是合數。

…………

師：對，合數也有——

生：無數個。

師：我們根據因數的個數就能準確判斷一個數是質數還是合數。

師：下面請第一小組匯報第（3）項合作學習內容。

生1：按所含因數的個數來分，自然數可以分為3類，分別是質數、合數和1。

生2：那么0是什么數？

生3：我們學習因數和倍數時，書上說過0除外，所以0既不是質數也不是合數。

生1：我補充剛才的話，應該說: 非0的自然數按所含因數的個數來分，可以分為三類，分別是質數、合數和1。

師：對，我們學習的因數和倍數、質數與合數都是在非零自然數范圍內的，按照不同的分類標準，非零自然數會有不同的分法，按所含因數的情況來分，就可以分為——。

生：（齊）質數、合數和1。

師：我們全班一起來判斷幾個數。仔細看好屏幕上出現的數，如果你認為它是質數就請舉左手，如果你認為它是合數就請舉右手。

（教師依次出示：29、40、37、41、35、87、500、77、1，學生判斷。）

（當最后出現1時，有的學生舉起了雙手，有的學生兩手都不舉。）

師：（指一名舉起了雙手的學生）你能說說為什么要把左右手都舉起來嗎？

生：因為1既不是質數也不是合數，所以……不對，應該左右手都不舉。

師：1很特殊，它既不是質數也不是合數。那比1大的數呢？

生：一個比1大的數至少有兩個因數，它不是質數就是合數。

四、實踐應用，再掀“再創造”的高潮

1.基礎練習。

師：現在老師來考考大家，看誰能快速地找出20以內的質數和合數。

（學生活動：在練習紙上寫出20以內的質數和合數。）

師：20以內的質數有哪些？

…………

師：這里是20以內的質數，那么剩下的數是什么數？

（一部分學生：合數。）

（突然有些學生反應過來：不對，剩下的數是合數和1。）

師：20以內的合數有哪些？

…………

2.強化練習。

師：同學們已經能很快地找出20以內的質數和合數，說明大家已經掌握了這兩個概念。再加上我們前面學習的奇數、偶數，這么多的概念，你還能識別清楚嗎？

…………

（課件出示填空題，學生快速搶答。）

（1）在非0的自然數中，最小的奇數是（ ），最小的偶數是（ ），最小的質數是（ ），最小的合數是（ ）。

（2）兩個相鄰的自然數，它們都是質數，這兩個數是（ ）。

（3）20以內，既是奇數又是合數的是（ ）；既是質數又是偶數的是（ ）。

3.綜合練習。

師：這么多概念都能識別清楚，同學們真了不起。下面我們來做個猜號碼的游戲：請你看清要求，認真思考，看誰猜的又對又快。

（課件出示，學生根據提示猜號碼，將號碼寫在練習紙上。）

這是老師家的電話號碼，電話號碼順序如下：

（1）10以內最大的偶數。

（2）最小的既是奇數又是質數的數。

（3）既是5的倍數，又是5的因數的數。

（4）10以內最大的質數。

（5）既不是質數也不是合數的數。

（6）10以內最大的合數。

（7）最小的自然數。

生：號碼是8357190

師：恭喜大家，都猜對了！你們真是解碼高手。

四、總結回顧，延伸“再創造”

師：通過這節課的學習，你又有了什么新的收獲？

…………

師：同學們善于觀察，肯于動腦，敢于提問，會學習，有方法，你們的表現都很優秀。

師：其實，關于質數與合數的學問多著呢!

（課件出示：被譽為“數學皇冠上的明珠”的“哥德巴赫猜想”，是德國數學家哥德巴赫在1742年提出的——“任何大于2的偶數，都可以寫成兩個質數之和”，我國的數學家陳景潤、王元等，研究這個問題時都取得了舉世矚目的成果，我們班的小數學愛好者們也試著來驗證這一猜想，摘取數學皇冠上的這顆明珠吧！下節課我們還將繼續研究關于質數與合數的問題。）

評析：

本節課教學中，教師本著“以人為本”的教學理念，著眼于學生的可持續發展，在價值目標取向上不僅僅局限于使學生獲得一般的理解知識的技能，更重要的是讓學生在數學學習過程中感受到數學自身的魅力，獲得數學的基本思想和方法，激發有效思考，體驗問題解決的過程。

1.以學定教，體現了以人為本的教學思想。

教師精心設計了“預習提示”，把學生在預習時的學習狀態作為本節課的課程資源，在學生課前預習的基礎上，鼓勵學生提出困惑，暴露觀點，并將這些問題有效加以利用和整合，作為資源的生成點，順應學生的需要，以學定教。這充分調動了學生參與學習的主動性，體現了以人為本的教學思想。

2.關注數學知識的本質，引導學生自主建構知識。

從設計合理的小組合作學習提示，指導學生進行有效的合作學習，到生生、師生的互動交流，教師始終關注數學知識的本質。教師引導學生從概念入手來學習知識，在關鍵之處適當引導，引發學生的思維沖突，鼓勵學生說出自己的想法，展示自己的思考過程，促使其逐步對質數、合數的概念產生自己的數學理解，并不斷加深、增廣。

3.滲透數學思想方法，使學生充分體驗了數學的“再創造”過程。

學生對數學學習的持久興趣來自于數學本身。充分調動了學生的知識儲備與學習經驗，從研究數據的選擇——概念的得出——完善——應用，學生主動參與了數學知識的發生、發展和形成過程，初步體驗了“分類歸納”的數學方法和數學思想。為他們今后的數學學習積累了寶貴的經驗。

編輯/魏繼軍