《植樹問題》教學設計

教學目標：

1.能利用實物操作或畫線段圖的方法，發現植樹問題的規律，抽取數學模型。

2.使學生經歷和體驗“復雜問題簡單化”的解題策略和方法。

3.讓學生感受數學在生活中的廣泛應用，嘗試用數學的方法解決實際生活中的簡單問題，培養學生的應用意識和解決實際問題的能力。

教學重點：

發現植樹的棵數和間隔數之間的關系。

教學難點：

運用數學模型解決生活中的實際問題。

教學準備：

多媒體課件、泡沫條、小樹模型、尺子等

教學過程：

一、激趣導入、引入課題

1.猜謎：兩棵小樹十個杈，不長葉子不開花，能寫會算還會畫，天天干活不說話。

2.手指游戲：伸出左手，每兩個手指間夾一支筆，看看可以夾多少支筆。（筆不夠可以用其他物品代替）

3.引入思考：這是怎么回事呢？引出“間隔”。

4.聯系生活：生活中有很多間隔。比如教室里有4組桌子，就有3個間隔；排隊做操有間隔；（教師擊掌）什么也有間隔？（聲音）同學們也來找找。

5.引出課題：在數學中，我們把這些隱藏著總數與間隔數之間關系的問題統稱為“植樹問題”。（板書“植樹問題” ）今天我們就一起來研究“植樹問題”。

二、了解植樹的不同情形

（一）創設情境

學校門口有一條長20米的綠化帶，打算在里面種上桂花樹，一共能種多少棵？你能設計一個植樹方案嗎？

引導學生理解：要設計好間隔長度。每隔幾米種一棵樹合適？

（集體討論，間隔長度選定為5米）

（二）動手操作

1.同桌2人合作，拿出泡沫條和小樹模型，將泡沫條看做20米長的綠化帶，每隔5米栽一棵，模擬植樹。想一想有哪些不同的情形。

2.完成學案中自學（一）的內容。

匯報結果，明確有兩端要栽、只栽一端、兩端不栽3種不同情形。

三、認識植樹的內在關系

（一）引發思考

同學們真能干，設計了三種不同的植樹方案。想一想，除了每隔5米種一棵，還可以把間隔長度設計為幾米？（4米、2米、1米、10米）

（二）合作探究

1.四人學習小組合作學習。選擇一種間隔長度，先猜一猜兩端要栽可以種幾棵樹，只栽一端可以種幾棵樹，兩端不栽可以種幾棵樹。

2.利用手中的工具材料，想辦法驗證你們的猜想是否正確。完成學案中自學（二）的內容。

（三）歸納總結

1.將各小組的不同數據歸于同一個表格中進行觀察。

2.你發現了什么？

板書：

路長÷間隔長度＝間隔數

兩端要栽：棵數＝間隔數＋1

只栽一端：棵數＝間隔數

兩端不栽：棵數＝間隔數－1

3.齊讀。

四、深入探究植樹的內在關系

同學們在全長100米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵。請你選擇以下任意一個問題來解答。

1.兩端要栽，一共需要多少棵樹苗？

2.只栽一端，一共需要多少棵樹苗？

3.兩端不栽，一共需要多少棵樹苗？

總結：無論選擇哪種植樹方案，都要先求出間隔數，再求棵數。

五、試一試，利用植樹問題的數學模型解決實際問題

1.找一找，尋找生活中的植樹問題。

課件出示一組圖片，學生找一找哪些蘊含了植樹問題的解題原理。

2.選一選，下面每題相當于植樹問題中的哪一種情形？

排隊做操（ ）

公交站（ ）

鋸木頭（ ）

廣場的鐘聲（ ）

六、當堂檢測

（一）鞏固基礎

1.在一條全長2千米的街道一旁安裝路燈（兩端要安裝），每隔50米安裝一座，一共要安裝多少座路燈？

2.大象館和猩猩館相距60米。綠化隊要在兩館間的小路兩旁栽樹，相鄰兩棵樹之間的距離是3米。一共要栽幾棵樹？

3.園林工瓦沿公路一側植樹，每隔6米種一棵，一共種了36棵。從第一棵到最后一棵的距離有多遠？

（二）思維拓展

筆直的跑道一旁插著51面小旗，它們的間隔是2米。現在要改為只插26面小旗，間隔應改為多少米？

七、全課小結

談收獲，進一步鞏固新知。

知識延伸：20棵樹植樹問題

數學史上有個20棵樹植樹問題，幾個世紀以來一直享譽全球，不斷給人類智慧的滋養、聰明的啟迪。20棵樹植樹問題源于植樹，升華在數學上的圖譜學中。早在16世紀，古希臘、古羅馬、古埃及等都先后完成了16行的排列，并將美麗的圖譜廣泛應用于高雅裝飾建筑、華麗工藝美術（圖1）。進入18世紀，德國數學家高斯猜想20棵樹植樹問題應能達到18行，但一直未能見其發表繪制出的18行圖譜。直到19世紀，此猜想才被美國的娛樂數學大師山姆·勞埃德完成，并繪制出了精美的18行圖譜（圖2）。進入20世紀70年代，兩位數學愛好者巧妙地運用電子計算機超越了數學大師山姆·勞埃德保持的18行紀錄，成功地繪制出了精致美麗的20行圖譜，創造了20棵樹植樹問題新世紀的新紀錄并保持至今（圖3）。 跨入21世紀，20棵樹植樹問題又被數學家們重新提出：20棵樹，每行四棵，還能有更新的進展嗎？數學界正翹首以待。

20棵樹植樹問題：有20棵樹，若每行四棵，問怎樣種植才能使行數更多？

古埃及完成的16行排法

的18行排法

板書設計：

植樹問題

路長÷間隔長度＝間隔數

兩端要栽：棵數＝間隔數＋1

只栽一端：棵數＝間隔數

兩端不栽：棵數＝間隔數－1