淺析多位數乘法計算中的進位錯誤類型及筆算乘法的教學層次

一、學生在多位數乘法豎式計算當中出現的進位錯誤類型

一般來說，通過適當訓練，運用豎式來計算乘法，絕大多數小學生都能掌握。但是，在教學中我們還是發現有一部分學生的計算難以過關。以下是我們通過調研分別屬于不同城市的三所小學當中的9名即將進入四年級下學期的學生的平時作業即測試卷等作品，梳理出來的他們在多位數乘法豎式計算中出現的進位錯誤，主要有以下錯誤類型：

（1）進位錯算或使用時機（運算順序）錯誤。如，在625×58的豎式當中，有學生是這樣計算第一部分乘積的：5×8得40，向前進位4、寫下0；然后是，向前面進位1，再將6與之前進上來的4相加、接著在乘積中寫0；然后是6×8得到64（口訣不過關），在乘積里寫下65。結果第一部分乘積是6500，中間的0是因為進位使用時機錯誤而導致的。他在2×8計算得到16之后先進位再與前面進上來的4相加，這是一種錯誤的運算順序。再如，計算115×14時，有學生是這樣計算第一部分乘積的：5×4得20，向前進位2、寫下0；然后是1×4得到4，與之前進上來的2相加得到6，在乘積里寫6；然后是直接用這個進上來的2與第一個因數的百位1相乘，在乘積里寫下2，于是第一部分乘積得到260。這是錯誤地用進上來的數2代替了第二個因素個位4進行計算而造成的后果。

（2）直接將進位寫進乘積。如在365×25的豎式中，有學生是這樣計算第二部分乘積的：2×5得到10，在乘積里寫下10；2×6得到12，在乘積里寫下12；2×3得到6，在乘積里寫下6，于是第二部分乘積得到61210□（□表示空一位，下同）。

（3）將第二部分乘積的進位以及兩個部分乘積之和的進位都寫第二個部分乘積下標位置，兩種進位被混淆。

如列豎式計算321×62時，有學生是這樣計算第二部分乘積的：首先是6×1得到6在乘積里寫下6；然后是6×2得到12，進位1、在乘積里寫下2；6×3得到18與之前進上來的1相加得到19，在乘積里寫下19。于是得到第二部分乘積19126□。然而，在將第一部分乘積642與第二部分乘積19126□相加的時候：個位上得到2；十位上4＋6得到10也要進1寫在第二部分乘積當中數字2的下標位置（使得19126□變成了191216□），再在和里寫下0。可是在計算百位上的和的時候，這個后來的進位1，被該生忽略了（6＋21得到了8，和的百位上是8）。然后是千位，□＋91得到了9，萬位上是□＋1得到1。這樣，在191216□中的兩個來源不同的進位1被同樣忽略不計了。這是因混淆第二部分乘積的進位以及兩個部分乘積之和的進位而出現的錯誤。

（4）將第二部分乘積的進位寫在第二個因數的下標位置，導致第一部分乘積的進位和第二部分乘積的進位混亂而出錯。如在218×34的豎式中，有學生這樣計算第一部分乘積：4×8得到32進位3寫成第二個因數的百位的下標（使得第二因數位置變成□334），在乘積里寫下4；然后是4×1得到4與進位3相加、在乘積里寫下7；然后是4×2得到8在乘積里寫下8，于是得到第一部分乘積是872。接下來計算第二部分乘積：3×8得到24、進位2寫在第一個因數的千位的下標位置（使得第二因數位置變成□2□334），在乘積里寫下4；然后是3×1得到3、在乘積里寫下3（忘記之前的進位2了），然后是3×2得到6、在乘積里寫下6，于是得到第二部分乘積634□。這樣，由于該生將來源不同的進位2與進位3混淆在□2□334里，而在計算第二部分乘積遺漏了這個進位2。

（5）將第一部分乘積的進位寫成了第一部分乘積的上標，在計算時卻又忽略不計了。如列豎式計算314×28，有學生得到的第一部分乘積是24112，然后再與第二部分乘積628□相加：個位上得到2，十位上得到9，百位上得到6，千位上得到8。這是因為忽略了作為上標的進位1而導致計算結果出錯。

（6）將第二部分乘積的進位寫成本部分乘積的下標，混淆第二部分乘積中的進位與兩個部分乘積之和的進位。如318×34，有學生這樣計算第二部分乘積：3×8得到24，往前進位2、在乘積里寫下4；3×1得到1，不管之前的進位2而在乘積里寫下3；接著是直接將第一個因數的百位3照搬下來寫進乘積，于是得到第二部分乘積時3324□（□表示 空一位，下同）。再與第一部分乘積372相加：個位上得到2，十位上得到0（除了7+4=10錯誤，該生還認為進位1“無處可寫”、于是不寫），百位上得到8（因為32＋3）（忽略了不寫出來的進位1了），千位上是3。這是兩種進位混淆、導致和的進位被遺漏了。

二、以上進位錯誤的認知根源

事實上，這些錯誤類型，在我后來專門對上述調研學生當中分別屬于不同學校的三名學生進行的簡單現場測試中還依然出現。因此，我們認為這些進位錯誤類型還是比較頑固的。他們從三下開始學習兩位數乘兩位數的豎式計算，到四上接著學習三位數乘兩位數的豎式計算。而在二下又已經學習了多位數乘一位數的豎式計算，他們對豎式中的進位的學習時間不短了，根據學習的強化和遷移理論，后續的學習還可以對前面學生當中存在的錯誤有彌補、改進的作用?？墒牵L時間的學習雖然使他們出現的其他計算錯誤都得到了一定改正或者得到一定程度的改善，但豎式當中的進位錯誤在四上結束后還出現多次。這是一種“一貫地根據一個明確的、但是是錯誤的程序進行操作的錯誤”。這種錯誤不能簡單歸結為“因疏忽而造成”，也不能歸結為“因不良學習習慣造成”，如“不認真”“粗心”等，這應該是一種“系統性錯誤”?！跋到y性錯誤”有著深刻的認識論根源，應該是這幾個學生形成了關于多位數乘法豎式中的進位的某種不正確的知識結構，并且“一貫”地在發揮作用。這種錯誤，并不是簡單地通過要求學生端正學習態度、注意書寫規范等就能得到改善或消除的。我們必須通過幫助學生“改造”這種錯誤知識結構才能得到糾正，更重要的是要注意“從源頭上”、在學習初期、在講解算理的時候就開始預見并預防這類系統性錯誤，有針對性地設計教學推進的層次，避免學生形成錯誤的知識結構。

三、關于筆算乘法的教學層次

事實上，多位數乘法豎式計算當中的進位，包括第一部分乘積的進位、第二部分乘積的進位、各部分乘積之和的進位；同時豎式本身還是一個“三位一體”的綜合體（集兩位數乘一位數、兩位數乘整十數的乘法、加法，三個豎式綜合的簡便寫法），這就造成了一定的認知挑戰。因此，在教學當中，教師需要有全局的視野、對教科書提供的多位數乘法教學內容進行統一分層設計、沿著明晰的主線來推進教學：（1）沒有進位的兩位數乘兩位數筆算方法，主要是讓學生了解豎式的書寫格式。（2）有進位的兩位數乘兩位數筆算方法，要讓學生既明確各部分乘積進位的書寫位置及其結構、又要理解第二部分乘積進位的書寫與減法豎式當中的“借位”寫法的區別和聯系。（3）主動安排可能誘發6種進位錯誤類型的練習，將預防和鞏固結合起來。（4）在三位數乘兩位數的筆算教學中，再適當強調各部分乘積的進位與各部分乘積之和的進位的區分，鞏固和進一步完善學生關于多位數乘法的進位的知識結構。