由數學史案例滲透數學哲學、教育思想的研究

數學知識呈現靜態的和絕對可靠的特性，同一性原理體現事物只意味著它自己，它是邏輯學或精確科學的核心思想，它與進化的觀點有明顯矛盾。P=P，這里沒有論證或歷史考查，不涉及到心理學或哲學上的考慮，數學在這里是不變和絕對的，社會學和社會文化的歷史很少顧及它們的存在。在這種情況下數學家們的多次宣稱，數學沒有值得人們知道的歷史。

1 數學哲學指導的數學史

有人認為在某種程度上數學史是一種教條和閑談，這種教條排除了可供選擇的數學觀點和立場，而把閑談歸類為脫離記錄的私人沉思。若用這種方式理解數學，只能把它看成是一種終結的理論和完成的工作，這只能作為獨特的現實呈現形式，與人類情感活動沒有任何關系。此種觀點是錯誤的，比如對沒有解決問題的思考等，那些重大的數學問題和它們的研究過程在數學史中占最大的部分，雖然它對于學生創造力的激勵和真理精神的追求幾乎沒有幫助，但這種數學的歷史觀點對創造力和追求真理的精神是很重要的。

因為連續性與絕對嚴密之后的一種錯覺在有關的實踐方面沒有被人們很好的理解，所以這種研究的主題被逐漸放棄了。連續性是理想狀態，不具有自然統一性，對于變化的構想都要有建設性的努力才可達到，并且要有認識論的觀點做支撐，這樣給人們帶來一種警示。對數學教條主義與實證主義的消極作用是歷史的考慮，試圖把歷史用作揭穿假設的手段，在這種假設下，合邏輯的數學的發展成為錯覺，有的時候還會步入抽象的意識形態領域。

Valery說:“一個人有直接從活動方式中思考和聯合的習慣，有只在眼前手段受限的情況下想象一個工作的習慣和從不著手處理來自一個與手段毫無關系的主題或想象的效果的工作的習慣。”所以只采取指出“人類”關心或感興趣的數學問題，還說明不了歷史的方法是正確的。而且要塑造對數學史極廣泛的社會文化方法的范疇，使之對身邊的數學問題和認知問題適用。

拉卡托斯說:“缺乏哲學指導的數學史，是盲目的，而背棄數學史里最有趣的現象的數學哲學，也是無知的。”然而我們和拉卡托斯的觀點不同，不能確信特殊的數學哲學是從歷史里證明是無誤的或存在歷史進程的完整的理性重建。

如今有很多論戰是關于提及數學客體的時單詞“real”的用法，這些論戰沒有在歷史研究中得到解決，甚至于不可能成為這些研究的方向。它的目的首先是描述和分析，而不是替哲學辯護。不同于教育家、哲學家、歷史學家那樣不可能集精力于辯護。“現實”就賦予文化意義上的負載，并且比重要信息或物體的集合一定要多。實證主義者對數學產生懷疑，是因為數學所研究的客體都不具備實質性的東西。

2 數學在認識論的轉變中得以發展

在研究數學意義發展和物質存在的問題時，我們確信這是需要并能解決的課題。為了解決這類課題，讓學生體驗概括和抽象的過程，而不是直接面對抽象的過程。

在19世紀的時候出現了一些問題，數學和它的物體也出現了一些關于它的新理論、新思想的變化。根據歐幾里得公理化體系轉化而成的集合論和形式公理學，它們的發展使數學變得越加抽象并且缺泛必要的解析。來自大范圍遠距離交流的必要性和抽象的純數學的發展，這個歷史事實顯得非常古怪，它的符號形式既促進同時也阻礙了學習與交流，所以它遭到很大的諷刺。學生對此學習感到困難，尤其對我們的教育實踐極為重要的概念解釋更加困難，而現代數學沒能在這個意義上對所需的任何事物提供完整的解釋，它們不是特別的假設與抽象，就是特別的技術與機械。所以不能把數學作為一個主題在校園里進行有實效的組織和追求。數學學習也要與其他學科相似，一定要對明晰根本性問題的廣泛探究有幫助。

所以可以得出，由歐幾里得公理化體系來講，對其有意義的語句和可以理解的概念進行邏輯還原、組織與分析，好像留給我們思考的沒有復原的基本工具，但這并不能說明我們都想回到過去的風格，而歐幾里得數學方法的目的在于把一切事物都化簡成基本數學。但不可否認的是現代數學在方法論和認識論上是被劃分開來的。

關于數學和數學對象本質的本體論在認識論轉變的基礎上得以鞏固和發展。若我們想要把數學史用于教育來促進人的發展時，正確理解這些轉變是很有必要的，下面用實例說明從機械論證到關系思維和從直接的方法到間接的方法這個認識論的轉變過程。

3 利用數學看待和分析世界

在19世紀到20世紀數學在希爾伯特和皮亞諾的公理系統下出現了深刻的大變革，并已成數學史上最感興趣的事情。數學在19世紀被看作是陳述必要結論的科學，據此數學可以完全不受存在主義的影響，可以說這是一個假說或是一種推理。在之前的公理系統就是不需要證明的，19世紀以后數學大廈的地基就變成了純粹的臆測，只用他們可能的推論加以證明，數學涉及事物的理想狀態，它具有系統化和分析思想的方法，同時也是自我反思過程，數學在一定意義上講也是元知識，但是皮爾斯與多數數學家和哲學家不同，連他本人都在否認數學的完全解析理想，他把數學看成在動態現實之中建立客體的可能性。

公理化體系所帶來的態度看作是一種運動，需要“具體對象”為它起作用，數學中還是存在一些事實和事物得不到正確的解釋，這和萊布尼茲的充足理由律相悖。所以對解析態度不應過分夸大，如果夸大就象人能夠預知他的所有結果。正確的觀點是數學可以看作是推理形式和操作形式之間的一種遞歸和互動。

操作思維和操作思維所帶來的觀點認同從古代數學到笛卡爾觀點這種轉變是可能的，這其中不可缺的補充部分，被稱為關系思維，萊布尼茲確信真理是可以證明的，認同關系和理論，但笛卡爾認為真理與證明是沒有關系的，更偏重于問題解決。19世紀初數學從一種語言轉型成為結構科學時，數學很有優勢，圖示在某種意義上講也成為思考的東西。

數學中的數字是在17世紀時變成一種語言，算術是在19世紀成為一種程序化，而且它是在代數觀點下結構視圖產生之后才形成的。所以數學的爭論在19世紀出現了兩種不同的趨向、不同聲音，每一種趨向都只強調兩種基本的認知操作中一個，即對相似性和關系的研究。算術化程序試圖根據具體化的實物和自然數來定義所有的數學概念，利用還原主義的方法來處理基本問題。例如復數對柯西來講沒有意義，只是成對的實數而已。相反正如一些數學家們所預期的那樣，公理運動是想利用綜合性的從上到下辦法，通過推廣公理的相關結構及原則，達到擴大它的理論的應用性并以此來解決數學的基本問題。

解析和綜合兩種觀點基本組成了數學活動的實質，數學活動體現在一般化和具體化之間的遞歸活動，數學體現的是事物本質的抽象反映，一種思考是另一種思考的對象就是“本質的抽象”，這就是非常基本的現代數學思維方式。瑟斯頓從心理學角度稱之為壓縮，使人驚奇的是，數學是可壓縮的，你可能費了相當長的一段時間和精力，分步的嘗試從幾種方法中找到一些結果，如果你一旦真正完全的理解它的結果，之后再從心理角度你去整體衡量它，馬上就會發現有驚人的心理壓縮。這樣，數學就是一種創造或者成果的體現，并且不能獨立于它在本質上的抽象上的發展，這樣看來數學依賴來自行動的抽象更為恰當。但抽象一定與明確內省相反的過程不可分離，由此把之前的明確與分離形成一種主體感覺、思考、行為的特定方式。

現代數學已經具備了“關系思維”的特點，關系思維傾向于看待知識與現實等同，這是最大的障礙，與之相反，科學與數學，教會我們怎樣看待現實世界，如何進行分析世界，數學史啟發我們的是真理和人文精神，但它不是絕對的數學真理。

4 數學的分析和綜合的交互作用

圍繞公理方法展開的討論，突出的顯示了數學在過去的兩個世紀里的轉變。到19世紀中葉，提出數學是否應該具有類似力學或幾何學那樣真正的價值，數學是否應該具有算術那樣有自身心理結構，將數學進行了最大程度的劃分。代數學被視為是幾何或力學結構的代數化，當人們逐漸認識到代數學對幾何學的作用，它不是對對象的刻畫時，這些差異就逐漸的沒有了。關注的焦點發生了轉移，轉向認知和知識的內在動力上來。數學家們開始更加深刻的反思，反思他們自身的結構和活動，而不是對外部世界的反思。

單一的運算x+1衍生出自然數的加法與乘法，格拉斯曼運用這個定義證明了算術運算其它的所有重要性質，如交換律、結合律等。格拉斯曼公理包括了歸納法，但是在它那個年代卻受到了猛烈的批評。Holder相信涉及遞歸運算的那些講述都不是公理，因為算術是先驗的。若有人認為這些公式是算術公理，則他就會把相似的公理用于數論和分析中無數的概念，如此話算術公理的數量就會大增。這陳述不夠明確，因為格拉斯曼沒有處理困難的部分，會指責他的處理是不完整的，只給出討論中的一些規則，就目前情況來看，這樣說法比較合理， Holder還未真正的領會數學公理系統，也就是數學公理系統是建立在假設基礎上的，用數學推論來評估的，并不能完全表示直覺給出的基本現實。

5 如何正確理解數學內部的對立統一

19世紀初出現積分理論從柯西到勒貝格的轉換，它用實證更多涉及算術近似法及不等式語言。

利用展示函數概念柯西在一定意義上做完了笛卡爾把幾何向算術的壓縮過程，他把幾何簡化成直線，當然就受到格拉斯曼等人的強烈批評，因為他們認為數學理論應該描述與某一主題區的關系。人們都認同通過連續函數概念的介入，由此數學能真正變得很適用，應該能夠生成各種各樣的直接的真理，對數學問題進行構思，使其與現實有直接關系，這種實證態度和公理運動態度是完全不一樣，函數與連續的概念是同時發展的，連續性是函數的基本特征。柯西將數學轉變成了外延理論，必須把連續函數設想成具體表述的等價類，而不能認為它的一些表述提供等價關系的外延公理等同，只能這樣來理解函數連續的性質，但不能成為表示函數形式的性質。

狄利克萊和柯西認為，函數必須被看成是解析表達式，而解析表達式是建立于外延公理的基礎之上。勒貝格利用假設解析表達式都成立，繼而極大的推廣了函數的概念，然后又從連續函數發展到可測函數，并且在實際檢驗的基礎上，這個可測函數能包涵數學分析內能找到的所有函數，20世紀初函數概念的發展映射了數學分析的進展。

從柯西以來，可以依據函數的某一性質或推理來理解函數，而沒有必要明確表述函數就能選出函數集，這是能夠做到的。如柯西證明了具有這個性質:f(x+y)=f(x)+f(y)是連續函數，它沒有給出函數f(x)=ax，柯西建立了對數學概念的一種全新的理解，據此數學概念可以依據它得出某一結論來給出定義，把概念理解成具有某種行動計劃的操作性，這與過去的思維方式完全不同，柯西是一位真正的現代數學家。

黎曼對積分充滿興趣，繼柯西之后開始研究，與柯西研究的方式不同的是他從必要條件入手，黎曼給出了閉區間上可積的有界函數的定義，黎曼由此對連續性與可積性進行了區分，并且定義出非常重要的可積函數的概念，這個概念被人們看成“完全任意”函數中最大的子集，“完全任意”的函數從19世紀中葉以來，始終在連續函數的定義中處于尤為重要地位。黎曼將可積函數的概念進行了極大的推廣，未來進一步概括可積函數的概念就是一定會發生的，黎曼對計算積分值的傳統程序的做法是認同的。

勒貝格的做法是分割函數的值域，顯然測量和可測性概念都可以定義積分概念，勒貝格的做法不僅僅將可測集和測度集的概念放在了中心位置，還步步加強了實證分析與公理化定義的方法論，托馬斯·霍金斯給了他很高的評價，就是勒貝格建立了首個通用的積分理論，各種數學范例、定義、定理在勒貝格研究以前早已經存在著，可是它們缺少在正確理論指導下的完整性及連貫性。

作為微積分理論，從柯西就開始對連續性進行研究，距離概念成為鄰近測量的適用性是連續性的定義與定理的唯一條件，由此建立了度量空間的抽象的概念，這個開放性的概念被定義成線的開區間概念，對集合X，不同度量標準決定同一連續函數，僅當X中的一個子集對一個度量標準開放，并且對另一度量標準個也開放。描述連續函數特征的工作就是選擇一個拓撲結構，等同于選擇一類開放集合，空間拓撲是它結構中的一個特殊性，并且非常適合成為公理化與集合論條件的特征，若沒有康托爾創建的集合論，一定沒有抽象測度理論與拓撲學理論。

拓撲表征對理解勒貝格的廣泛的可測集、類集、可測函數都具有幫助作用，也有助于弄明白在純數學中發生的事情，由拓撲學的概念可以簡化一般形式的辯證與推理，它描述了數學探究和現實重構的特征。

那些給我們的感覺很抽象的數學思想，若只從歷史的觀點去研究，就變得很容易理解，過程到結構的轉換還是相當有好處的，數學史作為描述成長與發展的歷程，而數學哲學涉及到更多辯護的問題，這兩個在教育情境中都具有了重要的地位。

一方面，歷史的角度使我們對數學內部類似的對立統一有很多的理解，一是數學成為把人類的智慧釋放出來的一種力量，它已起到了一個相當重要的作用;另一方面，純數學的發生發展時常因為正式的嚴格證明而出現，這些證明是公理化的數學的重要組成部分，數學為操作假說工作，但不能成為客觀題材的說明。從柯西以來，對算術與積分論各自的發展描述都不盡相同，但它們都的指出，公理集合論是可用于數學和數理化最好的構架。

我想還是有許多人會覺得數學還是很陌生，那些建立于19世紀的集合和代數公理，可以被看成是集論思維的工具，而且是一個有力的工具，正是這個矛盾才使得數學史的研究更有意義、更有啟迪作用。

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