用代數方法構建小學數學的“奇思妙想”

【關鍵詞】小學數學 代數方法

【中圖分類號】G

【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2012）04A-0068-02

研究代數方法和算術方法之間的聯系，對于提高小學教師的專業水平、有效地進行教學設計和有針對性地對學生進行指導都十分重要。從方法論的角度來講，代數的有關知識和方法對理解和解決一些算術問題會起到導向作用。如用方程組求解“雞兔同籠”問題，可以誘導出求算術方法。

“雞兔同籠”是我國古代名題之一?！秾O子算經》中記載了這樣一個問題：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？

《孫子算經》中是這樣解答這個問題的：假如砍去每只雞、每只兔一半的腳，則每只雞就變成了“獨腳雞”，每只兔就變成了“雙腳兔”。這樣，（1）雞和兔的腳的總數就由94只變成了47只；（2）如果籠子里有一只兔子，則腳的總數就比頭的總數多1。因此，腳的總只數47與總頭數35的差，就是兔子的只數，即47－35＝12（只）。顯然，雞的只數就是35－12＝23（只）了。

這一思路新穎而奇特，其“砍足法”也令古今中外數學家贊嘆不已。這種“奇思妙想”真是太妙了。

如果我們用點代數知識，依靠方程思想和方法去也可解決這個問題。

設雞的只數為x，兔的只數為y，依題意有：

x+y=35①

2x+4y=94②

解法1：②÷2-①得：y=(94÷2-35)=12（只）

代入①得x=35-12=23(只)

通過代數方法，我們從解法1可看出《孫子算經》中的巧妙解法的奧妙所在。我們還可以采用如下與《孫子算經》中的“奇思妙想”等價的“人性化”說法：

思路一：設想雞和兔子都受過訓練，主人一聲令下，所有的雞都“金雞獨立”，而所有的兔子則都用兩條后腿站立起來……

解法2：②-①×2得：2y=(94-35×2)，從而y=(94-35×2)÷2=12（只）

代入①得x=35-12=23(只)

解法3：①×4-②得：2x=(35×4-94)，從而y=(35×4-94)÷2=23（只）

代入①得x=35-23=12(只)

解法2和解法3可誘導出對應的兩種形象化的思考方法

思路二：設想兔子都是受過訓練的聰明動物，主人一聲令下，所有的兔子都用兩條后腿站立起來，此時：（1）雞和兔的腳的總數就由94只變成了頭的總數的2倍；（2）如果籠子里有一只兔子，則腳的總數就比頭的總數少2。因此，兔子的只數等于94-35×2的一半，即(94-35×2)÷2－35＝12（只）。顯然，雞的只數就是35－12＝23（只）了……

思路三：雞的翅膀是由四足爬行動物的前肢進化而來，如果把雞的翅膀也看成是“足”，則……

例1小明買了3本英語作業本和5本寫字本，共付3元；小王買了2本英語作業本和7本寫字本，共付了31元。每本英語作業本和每本寫字本各多少元？

解：設每本英語作業本為x元，每本寫字本為y元，依題意有：

3x+5y=3①

2x+7y=31②

②×3-①×2得：11y=(31×3-3×2)=33 從而y=03（元）

代入①得3x+5×03=3解得：x=05(元)。

算術思路：我們創造條件，使其中一種數量相同，假設小明又幫同學買了1份相同的作業本，即共6本英語作業本和10本寫字本，共付3×2=6元，小王也幫另外兩同學買了與自己相同的作業本，即6本英語作業本和21本寫字本，共付了31×3=93元。所以，11本寫字本共花了93-6=33（元），從而可得到每本寫字本03元……

例2如圖1木工沿著正方形木板的一邊鋸下寬為12米的一條，剩下部分的面積是6518平方米，求鋸掉部分木板的面積。

解：設正方形木板的邊長為x米，則正方形的面積為x2平方米，鋸下的長方形面積為x2平方米，依題意得到方程：

解方程得：x1=136或x2=-106(不合題意，舍去)

鋸去的面積為12×136=1312

可是在小學范圍內沒有學過一元二次方程，我們注意到方程①可以變形為：

4x-142=4×6518+4×142

即x+x-122=4×6518+122 ②

x和x-12恰好是剩余的長方形的長和寬，x+x-122就是一個正方形面積，而4×6518是4個剩余的長方形面積，122是邊長為12的正方形面積。

形象化的思考方法：我們將四塊剩余的長方形和一個小正方形拼在一起得到圖2的大正方形，大正方形的面積是

4×6518+122=52936=236×236，所以，大正方形的邊長是236。

大正方形邊長為陰影部分的（長+寬），長=寬+1/2，

所以陰影部分的長=236+12÷2=136，鋸去的面積為12×136=1312。此題算術解法的“奇思妙想”給人以美的享受。

例3今有女不善織，日減功，遲，初日織五尺，末日織一尺，今三十日織畢，問織幾何？

解：這是一個等差數列求和問題，等差數列求和公式s=首項+末項2×項數。

即該女共織s=a1+a302×30=5+12×30=90

{an}為等差數列代數學中推導等差數列求和公式的過程是這樣的：

sn=a1+a2+…+an-1+an①

sn=an+an-1+…+a2+a1②

①+②得：2sn=(a1+an)+(a2+

an-1)+…+(an+a1)=n(2a1+(n-1)d)=n(a1+an)。從得到等差數列求和公式：sn=a1+an2×n

算術“奇思妙想”：假設該女有個妹妹，妹妹善織，每天織布都比前一天多一點，而且姐姐少織多少，她就多織多少。如果她第一天織一尺，最后一天織五尺，也剛好三十天織完。那么，她所織的布的總尺數就與姐姐一樣?，F在把姐妹兩人所織的布加起來：

姐姐所織＝5+…+1

(每天比頭天少織同樣多)

妹妹所織＝1+…+5

（每天比頭天多織同樣多）

兩人所織＝6+…+6

（姐少織多少，妹就多織多少。）

可知兩人共織布：

6×30＝180（尺）；

又，姐妹兩人所織布數相同，所以，姐姐只織布：

180÷2＝90（尺）。

例4（古埃及草片文書）把10斗大麥依次分給10個人，使每相鄰兩個人所得的大麥都相差18斗，應該怎樣分？

解：這也是一個等差數列問題。已知數列和Sn，公差d，求數列各項ai

又由于Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+［a1+(n-1)d］

=na1+［0+d+2d+…+(n-1)d］=na1+sn

其中sn=0+d+2d+…+(n-1)d，所以a1=Sn-snn，從而：

數列{ai}各項為：a1，a1+d，a1+2d，Λ，a1+(n-1)d

由題意知S10=10，n=10，d=18

S10=0+d+2d+3d+…+9d=0+18+28+38+…+98=458

a1=S10-s10n=10-45/810=716，于是，這10個人依次分得：

a1，a1+d，a1+2d，…，a1+9d，即716，916，1116…，2516斗。

小學數學解法：假設第１個人沒有分到大麥，第2個人分到大麥18斗，第3個人分到大麥28斗……則10個人依次分得：0，18，28…，98斗，按這種分法，則共分大麥458斗；

然后，與實際情形比較，少分大麥358斗，再將所剩358斗大麥平均分給這10個人，每人再分716斗，于是，這10個人依次分得716，916，1116…，2516斗。

由此可見，對某些小學數學難以解決的問題，如果先用代數方法加以解決，便可從中受到啟示而尋找一種技巧性的算術解法。從思想方法上，運用這樣的“高”觀點，將會使我們在解決小學算術問題上的思路大為開闊，方法更加靈活有效，從而擺脫對問題束手無策或盲目亂試的困境。