論數列通向公式的求法

數列在理論上和實踐中均有較高的價值，是培養學生觀察能力、理解能力、邏輯思維能力的絕好載體，高考對數列知識的考察在二十世紀八十年代末發展到了極致，以后逐漸冷落，但最近幾年又逐漸升溫，隨著與大學知識的接軌，競賽題的釋放，很多省市的高考數學卷都把數列題作為壓軸題，而數列通向公式的求法又成為一個熱點。本文想總結一下在高中階段，求數列的通項公式的常用方法和策略。

1.觀察法

觀察法就是觀察數列特征，找出各項共同構成規律，橫向看各項間的關系結構，縱向看各項與項數n的內在聯系，從而歸納出數列的通向公式，然后利用數學歸納法證明即可。

例1、在數列{}，{}中且成等差數列，成等比數列（）。求及，由此猜測{}，{}的通向公式，并證明你的結論。

解：有題設條件得，

由此得，

猜測

用數學歸納法證明：

（1）當n=1時，有以上知結論成立；

（2）假設n=k時，結論成立；即，，那么當時，，

所以當n=k+1時，結論也成立，

由（1）（2），可知對一切正整數都成立。

點評：采用數學歸納法證明多是理科教學內容，較為容易，好掌握。

2.定義法

直接利用等差數列或等比數列的定義求通項的方法叫定義法，這種方法適應于已知數列類型的題目。

例2、等差數列是遞增數列，前n項和為，且a1，a3，a9成等比數列，。求數列的通項公式.

解：設數列公差為d（d>0）

∵ a1，a3，a9成等比數列，

3.利用公式求通項

有些數列給出的前n項和與的關系式=，利用該式寫出，兩式做差，再利用導出與的遞推式，從而求出。

例3.數列的前n項和為，=1，（n∈），求的通項公式。

解：由=1，=2，當n≥2時，==得=3，因此是首項為=2，q=3的等比數列。

故= （n≥2），而=1不滿足該式

所以=。

4.構造等比數列法

原數列既不等差，也不等比。若把中每一項添上一個數或一個式子構成新數列，使之等比，從而求出。該法適用于遞推式形如=或=或=其中b、c為不相等的常數，為一次式。

例4、已知數列中，=2，=

（1）求的通項公式。

解：構造新數列，使之成為的等比數列

整理得：

使之滿足已知條件解得∴是首項為的等比數列，由此得

5.構造等差數列法

數列既不是等差數列，也不是等比數列，遞推關系式形如，那么把兩邊同除以后，想法構造一個等差數列，從而間接求出。

例5、數列滿足，首項為，求數列的通項公式。

解：兩邊同除以得

∴數列是首項為=1，d=1的等差數列

∴

故

6.取倒數法

有些關于通項的遞推關系式變形后含有項，直接求相鄰兩項的關系很困難，但兩邊同除以后，相鄰兩項的倒數的關系容易求得，從而間接求出。

例6、已知數列

解：把原式變形得兩邊同除以得 ∴是首項為-1，d=-1的等差數列

故

∴。

總之，求數列通向公式的方法并不滿足以上所述，對于同一問題的求解也不僅是一種方法，只有在平時學習與探究過程中不斷地體會與總結，將知識與方法學活，才可以做到游刃有余。