論數(shù)列通向公式的求法

數(shù)列在理論上和實(shí)踐中均有較高的價(jià)值，是培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、理解能力、邏輯思維能力的絕好載體，高考對(duì)數(shù)列知識(shí)的考察在二十世紀(jì)八十年代末發(fā)展到了極致，以后逐漸冷落，但最近幾年又逐漸升溫，隨著與大學(xué)知識(shí)的接軌，競(jìng)賽題的釋放，很多省市的高考數(shù)學(xué)卷都把數(shù)列題作為壓軸題，而數(shù)列通向公式的求法又成為一個(gè)熱點(diǎn)。本文想總結(jié)一下在高中階段，求數(shù)列的通項(xiàng)公式的常用方法和策略。

1.觀察法

觀察法就是觀察數(shù)列特征，找出各項(xiàng)共同構(gòu)成規(guī)律，橫向看各項(xiàng)間的關(guān)系結(jié)構(gòu)，縱向看各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的內(nèi)在聯(lián)系，從而歸納出數(shù)列的通向公式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可。

例1、在數(shù)列{}，{}中且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列（）。求及，由此猜測(cè){}，{}的通向公式，并證明你的結(jié)論。

解：有題設(shè)條件得，

由此得，

猜測(cè)

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（1）當(dāng)n=1時(shí)，有以上知結(jié)論成立；

（2）假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立；即，，那么當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立，

由（1）（2），可知對(duì)一切正整數(shù)都成立。

點(diǎn)評(píng)：采用數(shù)學(xué)歸納法證明多是理科教學(xué)內(nèi)容，較為容易，好掌握。

2.定義法

直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目。

例2、等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且a1，a3，a9成等比數(shù)列，。求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

解：設(shè)數(shù)列公差為d（d>0）

∵ a1，a3，a9成等比數(shù)列，

3.利用公式求通項(xiàng)

有些數(shù)列給出的前n項(xiàng)和與的關(guān)系式=，利用該式寫出，兩式做差，再利用導(dǎo)出與的遞推式，從而求出。

例3.數(shù)列的前n項(xiàng)和為，=1，（n∈），求的通項(xiàng)公式。

解：由=1，=2，當(dāng)n≥2時(shí)，==得=3，因此是首項(xiàng)為=2，q=3的等比數(shù)列。

故= （n≥2），而=1不滿足該式

所以=。

4.構(gòu)造等比數(shù)列法

原數(shù)列既不等差，也不等比。若把中每一項(xiàng)添上一個(gè)數(shù)或一個(gè)式子構(gòu)成新數(shù)列，使之等比，從而求出。該法適用于遞推式形如=或=或=其中b、c為不相等的常數(shù)，為一次式。

例4、已知數(shù)列中，=2，=

（1）求的通項(xiàng)公式。

解：構(gòu)造新數(shù)列，使之成為的等比數(shù)列

整理得：

使之滿足已知條件解得∴是首項(xiàng)為的等比數(shù)列，由此得

5.構(gòu)造等差數(shù)列法

數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，遞推關(guān)系式形如，那么把兩邊同除以后，想法構(gòu)造一個(gè)等差數(shù)列，從而間接求出。

例5、數(shù)列滿足，首項(xiàng)為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

解：兩邊同除以得

∴數(shù)列是首項(xiàng)為=1，d=1的等差數(shù)列

∴

故

6.取倒數(shù)法

有些關(guān)于通項(xiàng)的遞推關(guān)系式變形后含有項(xiàng)，直接求相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系很困難，但兩邊同除以后，相鄰兩項(xiàng)的倒數(shù)的關(guān)系容易求得，從而間接求出。

例6、已知數(shù)列

解：把原式變形得兩邊同除以得 ∴是首項(xiàng)為-1，d=-1的等差數(shù)列

故

∴。

總之，求數(shù)列通向公式的方法并不滿足以上所述，對(duì)于同一問題的求解也不僅是一種方法，只有在平時(shí)學(xué)習(xí)與探究過程中不斷地體會(huì)與總結(jié)，將知識(shí)與方法學(xué)活，才可以做到游刃有余。