高考中圓錐曲線最值問題求解方法分析

圓錐曲線最值問題是高考中的一類常見問題，求解這類問題的最基本的策略是“大處著眼，小處著手”，從整體上把握問題給出的綜合信息和處理問題的函數與方程思想、數型結合的思想、分類與整合思想、劃歸與整合思想等，常用的工具是圓錐曲線的定義和平面幾何的相關結論，或將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數或三角函數的最值問題，然后利用函數的單調性、均值不等式、三角函數的有界性來求解。體現了圓錐曲線與三角、函數、不等式、方程、平面向量等代數知識之間的橫向聯系。下面介紹幾種常見求解方法。

一、定義法

有些問題先利用圓錐曲線定義或性質給出關系式，再利用幾何或代數法求最值，可使題目中數量關系更直觀，解法更簡捷。

例1.如圖，橢圓C的方程為，A是橢圓C的短軸左頂點，過A點作斜率為-1的直線交橢圓于B點，點P（1，0），且BP∥y軸，△APB的面積為。

（1）求橢圓C的方程；（2）在直線AB上求一點M，使得以橢圓C的焦點為焦點，且過M的雙曲線E的實軸最長，并求此雙曲線E的方程。

分析：同樣，此題若采用函數觀點，問題（2）將變得復雜化！若能利用雙曲線的第一定義，則解答就容解易得多了。

簡解：（1），又∠PAB=45°，

AP=PB，故AP=BP=3。

∵P（1，0），A（-2，0），B（1，-3）

∴b=2，將B（1，-3）代入橢圓得：

得，所求橢圓方程為

（2）設橢圓C的焦點為F1、F2，則易知F1（0，-）、F2（0，），

直線的方程為：，因為M在雙曲線E上，要雙曲線E的實軸最大。

只須||MF1|-|MF2||最大，設F1（0，-）關于直線AB的對稱點為（-2，-2），則直線與直線的交點為所求M，因為的方程為：，聯立得M（1，-3）。

又=||MF1|-|MF2||=||M|-|MF2||

==2 ，故，

故所求雙曲線方程為：。

評注：這個問題是用橢圓第一定義中的數量關系進行轉換，使問題化歸為幾何中求最大（小）值的基本模式，主要是利用三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊等結論。

二、參數法

利用橢圓、雙曲線參數方程轉化為三角函數問題，或利用直線、拋物線參數方程轉化為函數問題求解。

例2.橢圓的切線 與兩坐標軸分別交于A、B兩點，求三角形OAB的最小面積。

分析；寫出橢圓的參數方程，設切點為，可得切線方程。

解：設切點為，則切線方程為。

令y=0，得切線與x軸交點；令x=0，得切線與y軸交點B（0，）

=。。

評注：利用圓錐曲線參數方程轉化為求三角函數的最值問題，再利用三角函數的有界性得出結果。

三、函數法

將所求問題轉化為二次函數最值問題，再利用配方法或均值不等式或判別式等方法求解。

例3.求定點A（a，0）到橢圓上的點之間的最短距離。

分析：在橢圓上任取一點，由兩點間距離公式表示︱PA︱，轉化為x，y的函數，求最小值。

解：設P（x，y）為橢圓上任意一點

︱PA︱2=（x-a）2+y2 =（x-a）2+1-2=+1-a2由橢圓方程知x的取值范圍是[-，]

（1）若︱a︱≤，則x=2a時︱PA︱min=

（2）若a>，則x=時︱PA︱min=︱a-︱

（3）若a<- ，則︱PA︱min=︱a+︱

評注：把所求的最值表示為函數，再尋求函數在給定區間上的最值，但要注意函數定義域。

四、不等式法

列出最值關系式，利用均值不等式“等號成立”的條件求解。

例4.過橢圓的焦點的直線交橢圓A、B兩點，求 面積的最大值。

分析：由過橢圓的焦點，寫出AB方程為y=kx+1，與橢圓方程聯立，消去y，得關于x的一元二次方程，再利用根與系數關系，得到結果。

解：橢圓的焦點，設過焦點（0，1），直線方程為y=kx+1與聯立，消去y，得，其中兩根x1，x2為A，B的橫坐標。 將三角形AOB由與組合而成，|OF|是公共邊，它們在公共邊上的高。，其中 |OF|=c=1。

==

=。 當即k=0時，取等號，

即當直線為y=1時，得到的面積最大值為。

評注：利用均值不等式求最值，有時要用到“配湊法”。有時利用均值不等式，用時注意滿足三個條件：1.每一項要大于0；2.不等式的一邊為常數；3.等號成立。其中正確應用“等號成立”的條件是關鍵。

圓錐曲線最值問題涉及知識較多，在求解時，要多思考、多聯系，合理進行轉化，以優化解題方法。