“機(jī)械能定理”的推導(dǎo)與應(yīng)用

我們?cè)诟咧形锢碇卸紝W(xué)過動(dòng)能定理，其內(nèi)容為：物體受所有外力所做功的總和等于物體動(dòng)能的增加。我們也學(xué)過機(jī)械能守恒定律，其內(nèi)容為：在只有重力做功的情形下，物體的動(dòng)能和重力勢(shì)能發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，但機(jī)械能的總量保持不變。由此推導(dǎo)，如果物體除重力做功外還有其他外力做功，那么物體的機(jī)械能就不再守恒。對(duì)此，我們模仿動(dòng)能定理的方式可以推導(dǎo)出一個(gè)“機(jī)械能定理”來，這樣便于我們處理涉及“機(jī)械能改變量”的物理問題。

首先我們?cè)囃茖?dǎo)“機(jī)械能定理”。機(jī)械能守恒定律中描述，只有重力做功，物體的機(jī)械能守恒，其中重力做功只是把物體的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能或把重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，重力做功不改變機(jī)械能。若一個(gè)物體，除了受重力做功外還受其他外力做功，那么物體在運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能就不再守恒，他的機(jī)械能的增加（減少）量由這個(gè)外力做功量決定，這個(gè)外力在運(yùn)動(dòng)過程中對(duì)物體做多少正功（負(fù)功）物體的機(jī)械能就增加（減少）多少。所以有：一個(gè)物體在多個(gè)力作用下運(yùn)動(dòng)，除重力做功以外，其他外力對(duì)物體做多少功，物體的機(jī)械能就改變多少。這就是我們效仿動(dòng)能定理推導(dǎo)歸納的“機(jī)械能

定理”。

在很多涉及機(jī)械能變化的能量問題考題中，我們可以使用“機(jī)

械能定理”輕松地解決相關(guān)問題。下面我們列舉兩個(gè)例題試用一下“機(jī)械能定理”。

例1.從地面豎直上拋一個(gè)質(zhì)量為m的小球，小球上升的最大高度為h，設(shè)上升和下降過程中空氣阻力大小恒定為Ff，下列說法正確的是（ ）

A.小球上升的過程中動(dòng)能減少了mgh

B.小球上升和下降的整個(gè)過程中機(jī)械能減少了Ff h

C.小球上升過程中重力勢(shì)能增加了mgh

D.小球上升和下降的整個(gè)過程中動(dòng)能減少了Ff h

解析：例1的正確選項(xiàng)是（C），其中A、D選項(xiàng)研究小球的動(dòng)能改變，我們可以應(yīng)用動(dòng)能定理來處理這兩個(gè)問題，小球上升過程合外力做功為-（mg-Ff）h，所以，上升過程小球動(dòng)能減少（mg-Ff）h，故A項(xiàng)錯(cuò)；小球上升和下降的整個(gè)過程中合外力做功-2Ff h，所以小球動(dòng)能減少了2Ff h，故D項(xiàng)錯(cuò)；B項(xiàng)研究小球機(jī)械能的改變，我們可用“機(jī)械能定理”解決問題，小球上升和下降的過程中機(jī)械能的減少等于除重力外其他外力所做功的總和，小球在上升和下降的

過程中，除重力做功外只有阻力Ff做功，且W外=-2Ff h，所以，機(jī)械能減少了2Ff h，故B錯(cuò)；C選項(xiàng)研究小球重力勢(shì)能改變，小球上升過程中重力做功為-mgh，所以，小球的重力勢(shì)能增加mgh。

例2.一帶電小球在重力和電場(chǎng)力的共同作用下，自空中某點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到Q的過程中，重力做功-3J，電場(chǎng)力做功1J，則上述運(yùn)動(dòng)過程中小球的（ ）

A.重力勢(shì)能增加3J B.電勢(shì)能增加1J

C.動(dòng)能增加1J D.機(jī)械能增加1J

解析：例2的正確答案為（A、D），下面我們分別分析各個(gè)選項(xiàng)：A項(xiàng)研究小球重力勢(shì)能變化，題目中已知小球從P到Q過程中重力做功-3J，可推出重力勢(shì)能增加3J，故A正確；B項(xiàng)研究小球電勢(shì)能變化，題目中已知小球從P到Q過程中電場(chǎng)力做功1J，所以小球的電勢(shì)能減少1J，故B項(xiàng)錯(cuò)；C項(xiàng)研究小球動(dòng)能變化，小球從P到Q的過程中重力做功為-3J，電場(chǎng)力做功1J，則合外力做功為

-2J，所以動(dòng)能減少2J，故C項(xiàng)錯(cuò)；D項(xiàng)研究小球機(jī)械能的變化，這樣就可以使用我們推導(dǎo)的“機(jī)械能定理”。經(jīng)分析，除重力對(duì)小球做功外，只有電場(chǎng)力做功，且已知電場(chǎng)力做功為1J，所以小球的機(jī)械能增加1J，故D項(xiàng)正確。

由以上兩個(gè)例題與解析可以說明，在運(yùn)動(dòng)力學(xué)中，只要考題中提及研究對(duì)象的機(jī)械能改變，均可利用我們推導(dǎo)的“機(jī)械能定理”求解。

（作者單位 山西省武鄉(xiāng)中學(xué)校）