淺談數學歸納法在中學數學教學中的應用

摘 要：數學歸納法作為一種數學證明方法有著廣泛的應用，它不僅可以用來證明與自然數n有關的初等代數問題，在高等代數、幾何、離散數學、概率論甚至是物理、生物、計算機等方面的應用也相當突出。在用數學歸納法證明以上問題時，不僅思路清晰，大大降低了問題的復雜性，又能找出相應的遞推關系，非常奏效。

關鍵詞：數學歸納法；數學教學；證明；應用

數學歸納法是高中數學中一種常用的論證方法，它雖然有一定的局限性，只適用和正整數有關的命題，但它在中學數學中的作用是不可或缺的。因此，它不僅是高考數學的一個重要考點，也是一個難點。在看似簡單易懂、形式固定的外表下，它卻使得很多學生不能真正掌握，難以理解其內在實質。有些學生僅僅只是生硬地記憶和牽強地套用形式，沒有真正體會到數學歸納法的核心思想。我們應該怎樣理解數學歸納法，在高中數學中又有哪些方面的應

用呢？在哪些類型的題上使用可以更加方便？數學歸納法又有哪些局限性？我們應該怎樣具體問題具體分析，更好地學習和利用數學歸納法呢？

當然，數學歸納法在很多時候也會使解題變得復雜繁瑣，因此

我們要理解其實質，真正掌握正確運用數學歸納法的能力。下面我們來探討一下數學歸納法在中學數學中的應用。

一、應用數學歸納法證明恒等式

應用數學歸納法證明的恒等式，包括與正整數有關的代數恒等式、三角恒等式、組合數公式及其恒等式等，證明過程中只要實現等式左右兩邊相等即可。

例1.用數學歸納法證明：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）2（n∈N*）

證明：（1）當n=1時，左邊=1=（2×1-1）=右邊，等式成立。

（2）假設n=k時，等式成立，即k+（k+1）+（k+2）…（3k-2）=（2k-1）2

那么，當n=k+1時有

（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+3k+（3k+1）

=［k+（k+1）+（k+2）+…+（3k+2）］+8k

=（2k-1）2+8k

=4k2+4k+1

=（2k+1）2

=［2（k+1）-1］2

即當n=k+1時，等式也成立，對于任意正整數n，等式都成立。

二、應用數學歸納法證明整除問題

應用數學歸納法證明整除性問題，是數學歸納法的重要應用

之一。這類問題涉及整除性的知識，如果a能被b整除，那么a的倍數ma也能被c整除，如果a，b都被c整除，那么它們的和或差a±b也能被c整除，從整數的基本入手，通過添項、去項進行“配湊”，使之能夠獲證。

例2.證明f（n）=5n-1+2·3n+1能被8整除。

證明：（1）當n=1時，f（1）=50+2·31+1=8，顯然能被8整除，命題成立。

（2）假設當n=k時，原命題成立，即f（k）=5k-1+2·3k+1能被8整除，那么，當n=k+1時，f（k+1）=5k+2·3k+1+1

=5·5k-1+6·3k+1+4·3k-4·3k

=5·5k-1+10·3k+5-4·3k-1-4

=5f（k）-4（3k-1+1）

這里第一項由歸納假設能被8整除，第二項中3k-1是奇數，則3k-1+1是偶數。故第二項4（3k-1+1）能被8整除，由整除性質可知，它們的差也能被8整除，這就是說：當n=k時命題也成立。即原命題對所有自然數n都成立。

三、應用數學歸納法證明幾何問題

應用數學歸納法證明幾何問題是數學歸納法的一個重要應用。數學歸納法是證明與正整數有關的命題的重要方法，但是運用它只能證明命題的正確性，而不能指望由它發現命題。有很多與正整數有關的幾何問題，可以用數學歸納法證明，但在證明之前要找出規律，獲得公式，而后才能應用數學歸納法證明結論。

需要指出，雖然數學歸納法是一種論證與自然數有關的命題的重要方法，但并非結論是自然數的函數的命題都適合用數學歸納法證明。有些題目應用數學歸納法進行證明，過程相當繁瑣，尤其是由n=k到n=k+1的變化過程很多，不易操作。事實上，很多與正整數有關的命題，若能避開數學歸納法的思維定式，利用其命題本身的特點，采用非數學歸納法的證明，則能避繁就簡。

通過以上只是想說明對于有關自然數的命題的證明。不一定都采用數學歸納法這一種方法而應該針對題目本身的特點，選擇適當的方法達到簡化證明過程的目的。從另一個角度來講也能克服學習中的思維定式，使知識融會貫通，靈活運用。

以上我們對數學歸納法的基本形式及在中學數學中和自然數函數有關的整式、不等式、整除問題和幾何問題等一些常見題型中的應用做了簡單的舉例，并通過相應的例題對這幾種方法進

行了解析，使學生對數學歸納法有了更進一步的了解。縱觀科學技術迅猛發展的當今時代，我們對數學歸納法的研究已經取得了很

大的進步，對于它更加優越的性質和更廣泛的應用仍需要我們繼續努力鉆研。深入探討數學歸納法的相關性質，究竟何時使用歸納法何時不使用、中學數學歸納法還有哪些應用，還有待仔細研究和探索。

（作者單位 陜西西安徐楊初級中學）