淺談數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

摘 要：數(shù)學(xué)歸納法作為一種數(shù)學(xué)證明方法有著廣泛的應(yīng)用，它不僅可以用來證明與自然數(shù)n有關(guān)的初等代數(shù)問題，在高等代數(shù)、幾何、離散數(shù)學(xué)、概率論甚至是物理、生物、計(jì)算機(jī)等方面的應(yīng)用也相當(dāng)突出。在用數(shù)學(xué)歸納法證明以上問題時(shí)，不僅思路清晰，大大降低了問題的復(fù)雜性，又能找出相應(yīng)的遞推關(guān)系，非常奏效。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)教學(xué)；證明；應(yīng)用

數(shù)學(xué)歸納法是高中數(shù)學(xué)中一種常用的論證方法，它雖然有一定的局限性，只適用和正整數(shù)有關(guān)的命題，但它在中學(xué)數(shù)學(xué)中的作用是不可或缺的。因此，它不僅是高考數(shù)學(xué)的一個(gè)重要考點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)。在看似簡(jiǎn)單易懂、形式固定的外表下，它卻使得很多學(xué)生不能真正掌握，難以理解其內(nèi)在實(shí)質(zhì)。有些學(xué)生僅僅只是生硬地記憶和牽強(qiáng)地套用形式，沒有真正體會(huì)到數(shù)學(xué)歸納法的核心思想。我們應(yīng)該怎樣理解數(shù)學(xué)歸納法，在高中數(shù)學(xué)中又有哪些方面的應(yīng)

用呢？在哪些類型的題上使用可以更加方便？數(shù)學(xué)歸納法又有哪些局限性？我們應(yīng)該怎樣具體問題具體分析，更好地學(xué)習(xí)和利用數(shù)學(xué)歸納法呢？

當(dāng)然，數(shù)學(xué)歸納法在很多時(shí)候也會(huì)使解題變得復(fù)雜繁瑣，因此

我們要理解其實(shí)質(zhì)，真正掌握正確運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的能力。下面我們來探討一下數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

一、應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式

應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的恒等式，包括與正整數(shù)有關(guān)的代數(shù)恒等式、三角恒等式、組合數(shù)公式及其恒等式等，證明過程中只要實(shí)現(xiàn)等式左右兩邊相等即可。

例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）2（n∈N*）

證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1=（2×1-1）=右邊，等式成立。

（2）假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即k+（k+1）+（k+2）…（3k-2）=（2k-1）2

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)有

（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+3k+（3k+1）

=［k+（k+1）+（k+2）+…+（3k+2）］+8k

=（2k-1）2+8k

=4k2+4k+1

=（2k+1）2

=［2（k+1）-1］2

即當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立，對(duì)于任意正整數(shù)n，等式都成立。

二、應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題

應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題，是數(shù)學(xué)歸納法的重要應(yīng)用

之一。這類問題涉及整除性的知識(shí)，如果a能被b整除，那么a的倍數(shù)ma也能被c整除，如果a，b都被c整除，那么它們的和或差a±b也能被c整除，從整數(shù)的基本入手，通過添項(xiàng)、去項(xiàng)進(jìn)行“配湊”，使之能夠獲證。

例2.證明f（n）=5n-1+2·3n+1能被8整除。

證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，f（1）=50+2·31+1=8，顯然能被8整除，命題成立。

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，原命題成立，即f（k）=5k-1+2·3k+1能被8整除，那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，f（k+1）=5k+2·3k+1+1

=5·5k-1+6·3k+1+4·3k-4·3k

=5·5k-1+10·3k+5-4·3k-1-4

=5f（k）-4（3k-1+1）

這里第一項(xiàng)由歸納假設(shè)能被8整除，第二項(xiàng)中3k-1是奇數(shù)，則3k-1+1是偶數(shù)。故第二項(xiàng)4（3k-1+1）能被8整除，由整除性質(zhì)可知，它們的差也能被8整除，這就是說：當(dāng)n=k時(shí)命題也成立。即原命題對(duì)所有自然數(shù)n都成立。

三、應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題

應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題是數(shù)學(xué)歸納法的一個(gè)重要應(yīng)用。數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的重要方法，但是運(yùn)用它只能證明命題的正確性，而不能指望由它發(fā)現(xiàn)命題。有很多與正整數(shù)有關(guān)的幾何問題，可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，但在證明之前要找出規(guī)律，獲得公式，而后才能應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論。

需要指出，雖然數(shù)學(xué)歸納法是一種論證與自然數(shù)有關(guān)的命題的重要方法，但并非結(jié)論是自然數(shù)的函數(shù)的命題都適合用數(shù)學(xué)歸納法證明。有些題目應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，過程相當(dāng)繁瑣，尤其是由n=k到n=k+1的變化過程很多，不易操作。事實(shí)上，很多與正整數(shù)有關(guān)的命題，若能避開數(shù)學(xué)歸納法的思維定式，利用其命題本身的特點(diǎn)，采用非數(shù)學(xué)歸納法的證明，則能避繁就簡(jiǎn)。

通過以上只是想說明對(duì)于有關(guān)自然數(shù)的命題的證明。不一定都采用數(shù)學(xué)歸納法這一種方法而應(yīng)該針對(duì)題目本身的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟ_(dá)到簡(jiǎn)化證明過程的目的。從另一個(gè)角度來講也能克服學(xué)習(xí)中的思維定式，使知識(shí)融會(huì)貫通，靈活運(yùn)用。

以上我們對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的基本形式及在中學(xué)數(shù)學(xué)中和自然數(shù)函數(shù)有關(guān)的整式、不等式、整除問題和幾何問題等一些常見題型中的應(yīng)用做了簡(jiǎn)單的舉例，并通過相應(yīng)的例題對(duì)這幾種方法進(jìn)

行了解析，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法有了更進(jìn)一步的了解。縱觀科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展的當(dāng)今時(shí)代，我們對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的研究已經(jīng)取得了很

大的進(jìn)步，對(duì)于它更加優(yōu)越的性質(zhì)和更廣泛的應(yīng)用仍需要我們繼續(xù)努力鉆研。深入探討數(shù)學(xué)歸納法的相關(guān)性質(zhì)，究竟何時(shí)使用歸納法何時(shí)不使用、中學(xué)數(shù)學(xué)歸納法還有哪些應(yīng)用，還有待仔細(xì)研究和探索。

（作者單位 陜西西安徐楊初級(jí)中學(xué)）