解析幾何中最值問題的常用解法

摘要：有關解析幾何中的最值問題，在中學數學中較為常見，在高考中亦占據了相當的比重，以下將從具體的實例出發，分析并介紹幾種比較典型的解題方法，找出一般的解題程序與技巧。

關鍵詞：數學；最值；解法

最大值和最小值的問題是生產、科學研究和日常生活中經常遇到的一類特殊的數學問題，所謂“多、快、好、省”的問題就屬于這一類。

求解最大值或最小值的問題， 雖然在中學課本中沒單獨列出章節專門講授，可是它卻與中學數學中眾多的知識和方法緊密相關。譬如：二次函數、不等式、函數的有界性等有關知識和方法的利用。所以，這類最大值和最小值問題就在高考數學的考查中占有了比較重要的地位。再有，最大值和最小值問題的另一個顯著特點是它廣泛的應用性和實用性。很多實際問題的解決可以歸結為一個數學上的最大值或最小值問題的求解。所以這類實際問題的求解，將有利于學生把實際問題抽象成數學問題的訓練，有利于分析問題和解決問題能力的培養，有利于數學應用意識的形成。從近幾年的高考“在考查知識的同時，逐步加強了對能力的考查”的趨勢看，高考將注重檢查考生在所學課程內容能夠融會貫通所達到的程度，所以，從這一角度看，最大值和最小值的應用問題在高考數學試卷中仍是一個熱點。下面將針對解析幾何中的最值問題，作出幾種具體分類討論：

一、利用二次函數的知識求最值

關于二次函數：y=ax2+bx+c（a≠0），x∈R，

當x=-時，y=為最值。

當a＞0時，有ymin，

當a＜0時，有ymax。

但通常二次函數有相應的定義域，自變量x的具體取值范圍有所不同，討論最值的方式也有所不同。主要有兩種情況：

1.x∈R，當a＞0，則有ymin=；

當a＜0，則有ymax=。

2.當x定義在閉區間，即x∈[a，b]（a，b為常數），則應當看對稱軸x=- 是否在此區間，如果x在此區間，則函數同時有最大值與最小值，如果x不在此區間，則函數的最大值與最小值必定分別取在該區間兩個端點上（具體由函數單調性決定）。當x定義在一個含參數的閉區間即x∈[t，t+a]（t為參數，a為常數）時，需要對參數進行討論。

例1.點A、B分別是以雙曲線的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓C長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓C上，且位于x軸上方，

（1）求橢圓C的的方程；

（2）求點P的坐標；

（3）設M是橢圓長軸AB上的一點，點M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到M的距離d的最小值。

分析：這道題應歸結于上述類別2。

解：1．解（1）已知雙曲線實半軸a1=4，虛半軸b1=2，半焦距c1=，

∴橢圓的長半軸a2=c1=6，橢圓的半焦距c2=a1=4，橢圓的短半軸b2=，∴所求的橢圓方程為。

（2）由已知A（-6，0）、F（4，0），設點P的坐標為（x，y），則=（x+6，y），=（x-4，y）， 由已知得：

則2x2+9x-18=0，解之得 ，

由于y＞0，所以只能取與，于是，所以點P的坐標為（，） 。

（3）直線，設點M是（m，0），則點M到直線AP的距離是，于是，

又∵點M在橢圓的長軸上，即，，

∴當m=2時，橢圓上的點到M（2，0）的距離

又，

∴當時，d取最小值。

二、運用判別式求解

讓我們先具體看一下例題，找出這類求解方法的題目特征。

例2.已知定點P（3，2）和直線，試在直線上求一點Q，使過PQ的直線與直線以及x軸在第一象限內圍成的三角形面積最小。

分析：本題設問的是達到最值時過PQ的直線，此時我們需要根據題設尋出關于面積最值的函數解析式，找出它與所求未知量之間的聯系。

解：如圖，設上的點Q（x0，y0）

由題設知，y0=2x0，

又P（3，2），由直線兩點方程得：

設交x軸于M點（x1，0），代入上式得：

∴，即M點（，0 ）

又S△OMQ=

∴①

∵，

∴△=S2-8S

由S＞0可得S≥8

∴Smin=8

代入①式得：

∴當Q為（2，4）時，S△OMQ最小。

評注：關于這類題目，通常其提問方式都是以最值作為前提條件，再由此求出其對應所求自變量的值，具體特征：所列最值的函數解析式或化簡后的解析式s=f(x)可以化為：

的形式（是s的函數）。

一般的解決方法：在上式中，由x∈R（或x可在某一定義域范圍內取值）可以得出△，解這個不等式求出s的變化范圍，得到最值，再將其代回原式解x，最終求出其對應自變量的值。

三、利用不等式法求解

均值不等式的一般形式：A=G，（其中a1，a2，…an為正數且n＞1，n∈Z）不等式通常分“基本不等式”和“均值不等式”兩種結構特征，利用基本不等式求最值時，一定要關注等號成立的條件及等號是否能夠取得，而利用均值不等式求最值，則必須關注三個條件“一正、二定、三相等”，所謂一正，即正值，這是運用此方法的前提條件，在解題中應予以說明論述；二定，即定值，它須通過恒等變換包括必要的技巧方能解決，是運用此方法的關鍵條件也是難點；三相等，即等值，是當且僅當等號成立的條件，則可求出自變量的值，最后還應注意的是最值，應為和的最值（此時積為定值）或積的最值（此時和為定值）。

例3、設點F（0，），動圓P經過點F且和直線y=-相切，記動圓的圓心P的軌跡為曲線W。

（Ⅰ）求曲線W的方程；

（Ⅱ）過點F作互相垂直的直線l1、l2，分別交曲線W于A、B和 C、D。求四邊形ABCD面積的最小值。

解：（Ⅰ）過點P作PN垂直直線y=-于點N。依題意得，所以動點P的軌跡為是以F（0，）為焦點，直線 為準線的拋物線，即曲線W的方程是x2=6y。

（Ⅱ）解：依題意，直線l1、l2的斜率存在且不為0，

設直線l1的方程為y=kx+，

由得l2的方程為。

將y=kx+代入x2=6y化簡得x2-6kx-9。

設A（x1，y1），B（x2，y2）則x1+x2=6k，x1x2=-9

=

同理可得

四邊形ABCD的面積：

當且僅當，即時，Smin=72

故四邊形ABCD面積的最小值是72。

點評：本題考查了向量的有關知識，拋物線與直線的基本關系，二次方程的根與系數的關系及不等式，轉化的基本思想方法以及運用綜合知識解決問題的能力。

四、利用三角函數求最值

①函數y=sinx，在x=+2kπ，K∈Z時取最大值y=1，

在x=-+2kπ，K∈Z時取小值y=–1。

②函數y=cosx，在x=2K ，K∈Z時取最大值y=1，

在x=(2K+1)π，K∈X時取最小值y=–1。

例4.求拋物線y2=2Px過焦點F的弦長的最小值。

分析：線段AB上的端點均為流動點，且由題設知該一段與x軸所成夾，角θ應作為一個參變量，此時可考慮用曲線的參數方程來表達流動點。

解： 設過焦點的弦所在的直線的參數方程為：

（t為參數）

代入y2=2Px得t2sinθ－2Ptcosθ－P2=0