一個基本圖形的應用

在幾何教學中，常常對一些幾何圖形進行分析后再解答，有時需要對復雜圖形進行分解成學過的定理的基本圖形，在八年級教學中，我們遇到了這樣一個基本圖形，在數學題目中，只要識別出這個基本圖形，再利用這個基本圖形的結論，可以使問題變得簡單。

基本圖形及其結論：

如圖所示，有∠BDC（小于平角的角）=∠A+∠B+∠C。下面先證明這個基本圖形的結論。

證明：延長BD，交AC于點E，

∵∠BDC是△DCE的一個外角，

∴∠BDC=∠C+∠DEC，

∵∠DEC是△ABE的一個外角，

∴∠DEC=∠A+∠B，

∴∠BDC=∠A+∠B+∠C。

例1.如圖，在△ABC中，E是BD上的一點，∠A=62°，∠ABD=30°，∠DCE=48°，則∠BEC的度數為（ ）。

A.140° B.120° C.100° D.80°

解析：找出“基本圖形ABEC”，得：

∠BEC=∠A+∠ABD+∠DCE

=62°+30°+48°=140°，

故選A。

例2.一個零件的形狀如圖所示，按規定∠A應等于90°，∠B=32°，∠C=21°，檢驗工人量得∠BDC=148°，就斷定零件不合格。說明理由。

解析：根據基本圖形的結論，得

∠BDC=∠A+∠B+∠C=90°+32°+21°=143°，

所以工人量得∠BDC=148≠143°，

因此，零件不合格。

例3.如圖，∠B=60°，∠C=20°，∠1=3∠A，

則∠A=（ ）度。

解析：根據基本圖形的結論，得：

∠BDC（小于平角的角）=∠A+∠B+∠C，

所以，3∠A=∠A+60°+20°，

所以，∠A=40°。

例4.已知：△ABC的∠B和∠C的角平分線交于點D，∠A=40°，求∠1的度數。

解析：找出“基本圖形ABDC”，得∠1=∠A+∠ABD+∠ACD。

∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，

∴∠ABD= ∠ABC，∠ACD= ∠ACB，

∴∠ABD+∠ACD= （∠ABC+∠ACB）

= （180°-∠A）

= ×140

=70°

∴∠1=40°+70°=110°。

例5.圖中甲、乙、丙三個圖形是五角星和它的變形。

圖甲 圖乙 圖丙

（1）圖甲，是一個五角星，求證：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。

（2）圖乙，是圖甲的點A向下移到BE上時，五角星的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有無變化？證明你的結論。

（3）圖丙，是圖乙中的點C向上移到BD上時，五個角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有無變化？證明你的結論。

解析：（1）找出“基本圖形ACMD”，得：

∠CMD=∠A+∠C+∠D，

在△BME中，∠BME+∠B+∠E=180°，

∵∠BME=∠CMD，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。

（2）找出“基本圖形ACMD”，得：

∠CMD=∠CAD+∠C+∠D，

在△BME中，∠BME+∠B+∠E=180°，

∵∠BME=∠CMD，

∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。

（3）找出“基本圖形BDME”，得：

∠EMD=∠D+∠B+∠E，

在△AMC中，∠ACE+∠CAD+∠AMC=180°。

∵∠AMC=∠EMD，

∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=180°。

通過以上例子的分析與解答，可以充分認識到在我們的教學實踐中，只要多多觀察、處處留心，總會發現一些規律性的知識，使一些看起來復雜的數學問題變得簡單，更有利于學生掌握。