淺談數學中的分類討論

中學階段的某些數學問題經常要進行分類討論。引起分類討論的原因有：1.由數學概念引起，如絕對值的概念、不等式的定義、直線與平面成的角、直線的傾斜角、兩異面直線所成的角等；2.由數學運算引起的，如分式中分母不為零、開偶次方根被開方數非負、對數中真數與底數的要求、指數運算中底數的要求等；3.由函數的性質、定理、公式的限制引起的；4.由圖形的位置和形狀的不確定性引起的；5.由參數的變化引起的。

解決數學中分類討論問題的關鍵在于將整體問題化為局部問題解決，因為為局部問題后相應地增加了題設條件。

解決分類討論問題的步驟：

1.確定分類討論的對象，針對哪個參數進行分類討論；

2.對要討論的對象進行合理的分類，分類的標準一經確定不能更改，分類要做到不重復、不遺漏、不越級；

3.分清別后逐類解決；

4.最后將各類情況總結歸納。

下面筆者從四個方面淺談數學中的分類討論。

一、對問題中的變量或參數進行分類討論

例1：解關于x的不等式x2-(a+a2)x+a3＞0(a∈R)

解：不等式x2-(a+a2)x+a3＞0(x-a)(x-a2)＞0

當a＞a2，即0＜a＜1時，原不等式解集是{x|x＜a2或x＞a}

當a=a2時，即a=0或a=1時，

（1）若a=0，則原不等式x2＞0{x|x＞0}

（2）若a=1，則原不等式(x-1)2＞0{x|x≠1}

當a＜a2時，即a＜0或a＞1時，則原不等式解集是{x|x＜a或x＞a2}

綜合可知：當a＜0或a＞1時原不等式解集是{x|x＜a或x＞a2}

當0＜a＜1時，原不等式解集是：{x|x＜a2或x＞a}

例2：已知不等式mx2+mx+2＞0對一切實數x恒成立，試確定實數m的取值范圍.

解：(1)當m≠0時

mx2+mx+2＞0對一切實數x恒成立的充要條件是：

0＜m＜0

例3：已知函數圖像經過點(0，1)，#8195; (，1)且x∈[0，]時，恒成立，試求實數a的取值范圍。

解：圖像過（0，1）和（，1），

，

∴b=c=1

∴

∵x∈[0，]

∴

∴

從而的取值范圍與1-a的符號有關，應討論如下：

(1)當1-a≥0時，即a≤1時，1≤≤a+，

∵

∴

∴

∴

（2）當a＞1時，

∵

∴

∴

∴

綜合（1）（2）可知：

實數a的取值范圍是[]

二、問題給出的條件是分類的，解答時要進行分類討論

例4：已知數列{an}的前n項和Sn=32n-n2，求數列{|an|}前n項和Pn

解：∵Sn=32n-n2，

∴an=Sn-Sn-1（n≥2），a1=S1=31

∴an=33n-2n2（n≥1）

當n≤16時，an≥0，當n＞16時，an＜0

當n≤16時

Pn=a1+a2+a3+……+an=32-n2

當n＞16時

Pn=（a1+a2+a3+……+an）-（a17+a18+a19+……+an）

=S16-（Sn-S16）

=2S16-Sn

=2（32×16-162）-（32-n2）

=512-32n+n2

綜上可知：

例5，設函數，若且，試證明

證：∵，由的單調性可知：

又

由（1）（2）綜合可知：

從而

當時，由（2）可知：

∴

∴

當時，由得

綜合以上兩方面可知：

三、解題過程不能統一敘述，必須進行分類討論

例6：已知函數，其中，求該函數的定義域.

解：要使該函數有意義，則有：

∴

當時，即時，或

當時，即時，

當時，即時，

綜合所述函數的定義域：

當時為R；

當m=1為（，1）（1，）；

當時為（，）（1+，）

例7：已知在R上為減函數，求實數a的取值范圍。

∵

∴

(1)當時，在R上為減函數

即，

∴

∴

即時，在R上為減函數

(2)時，

由在R上是減函數及函數變換可知：當時，在R上位減函數。

(3)當時，，在R上存在一個區間使得

①當時，時 為增函數。

②當時，，顯然不是減函數.

③當時，，

或時為增函數.

綜上所述當時在R上位減函數。

四、有關幾何問題中元素的形狀、位置變化的必須進行分類討論

例8：動圓與定圓，直線都相切，動圓圓心軌跡是什么曲線？

解：設定圓：x2+y2=r2，圓心為0，定直線x=a，動圓圓心為M（x，y）半徑R

（1）當動圓與定圓外切時：

又動圓與直線x=a外切，則R=a-x

，化簡得：

即：

若a=-r，則y=0，此時動圓圓心軌跡為射線，該射線落在x軸上，端點(-r，0)方向向左，射線方程：y=0，(x＜a)

若a≠-r時，此時動圓圓心軌跡拋物線，

方程：

(2) 當動圓與定圓內時：

又動圓與直線x=a外切 ，則R=a-x

，

即：

若a=r時y=0，此時動圓圓心軌跡為射線

若a≠r時，此時動圓圓心軌跡拋物線，

方程：

綜合可知：

當a＞r即定直線與圓相離時，動圓圓心軌跡為兩條拋物線

當時，即定直線與定圓相切時，動圓圓心軌跡為一條拋物線和兩條射線

當a＜r時，而定直線與定圓相交時，動圓圓心軌跡為兩條拋物線。