重視數學思想方法 提高高考復習效果

在高考數學試題中數學思想和方法的考查常常與數學基礎知識的考查結合在一起進行，因此，在高三數學復習的各個教學環節中都應該重視挖掘、運用其中的數學思想和方法。

一、中學數學與高考考查中的數學思想和方法

在中學數學與高考考查中的數學思想主要有：函數與方程，數形結合，分類與整合，化歸與轉化，特殊與一般，有限與無限，偶然與必然。基本數學方法有：待定系數法，換元法，配方法，割補法，反證法等，數學邏輯方法與思維方法有：分析與綜合，歸納與演繹，比較與類比，具體與抽象等，它們是數學考查中理解、思考、分析與解決問題的常用方法。

二、“雙基”復習時滲透數學思想方法，豐富知識內涵

基礎知識和基本方法的復習是高考數學第一輪復習的重要內容，在這個復習過程中，要充分挖掘其中的數學思想和數學方法。如復習函數的極值、方程解的個數時可用數形結合的思想，在復習等比數列前n項和公式時，應注意對公比q的討論，寫出q=1時Sn=na1和q≠1時兩種情況的不同公式，體會其中的分類討論思想，使學生充分領悟到數學思想方法普遍存在于數學基礎知識中。

在梳理基礎知識時，充分發揮思想方法在知識間的紐帶作用，可幫助學生合理構建知識網絡，優化思維結構。例如，在二次函數、一元二次方程、一元二次不等式關系的復習中，可充分利用函數思想，轉化為方程的解、不等式解的幾何意義，運用轉化和數形結合的思想，深化對知識的理解。

三、解題中滲透數學思想方法，提高學生的解題能力

數學解題的過程實質上是運用數學思想方法加工、處理已知條件、數學知識和結論，將已知轉化為結論的過程。運用數學思想方法可優化學生的解題策略。

例1．若函數在區間（1，4）內為減函數，在區間內為增函數，試求實數a的取值范圍。

分析：這是一個利用導數研究函數單調性的問題。首先把函數的增、減性轉化為導數的正、負來研究，求函數f(x)的導數在區間（1，4）內為負，在區間內為正的充要條件，而這個問題則可利用二次函數的問題，借助圖形來解決。

例2.已知F為雙曲線C:的右焦點，P為雙曲線C右支上的一點，且位于x軸上方，M為直線上一點，O為坐標原點，已知且，求雙曲線C的離心率.

分析：根據向量的平行四邊形運算法則，易知四邊形OFPM是邊長為c的菱形，因此利用數形結合的轉化方法，引導學生利用幾何關系得到P點到雙曲線右準線的距離為，再用雙曲線的定義得到，所以。

這里通過數形轉化思想的應用，啟發學生的利用雙曲線的定義，結合雙曲線的圖形、雙曲線的準線、菱形的幾何性質得到問題的答案。

例3.已知雙曲線，問過點P(1，1) 能不能作一條直線l，使它與雙曲線交與A、B兩點，并且P是線段AB的中點，如果能，寫出直線l的方程，如果不能說明理由。

分析：

（1）如果直線l垂直于x軸，易知不合題意。

（2）如果直線l不垂直于x軸，則可設直線l的方程為y-1=k(x-1)，A（x1，y1），B（x2，y2）線段AB的中點為M（x0，y0）討論方程組得（）。

所以，因此，得k=2。

但是，當k=2時，方程成為，其，方程無實數解，直線l與雙曲線沒有交點。所以，符合題意的直線l不存在。

這個題目的解題過程中，將直線與曲線相交的問題巧妙地轉化為方程組的解的問題.

四、利用專題講座，提高數學思想方法的駕馭能力

高考數學第二輪復習，主要幫助學生構建知識網絡，提升解題能力，通常以專題復習講座的方式進行，可以設計一個以數學思想方法為主線把中學數學中的基礎知識串連起來的專題，讓學生深刻領悟數學思想方法在數學學科中的支撐和統帥作用。比如以函數與方程思想為主線，可以聯結代數中的基本初等函數如二次函數、二次方程、一元二次不等式的關系，三角函數的性質和圖像，直線與圓、直線與圓錐曲線的位置關系，利用導數研究函數的單調性、極值點、最大值和最小值等問題：以轉化思想為主線，將空間直線與平面的位置關系轉化為平面幾何中的三角形、四邊形的位置關系和數量關系；將簡單的分式不等式、高次不等式轉化為一元一次不等式和一元二次不等式；將解析幾何中的直線與曲線的交點個數轉化為方程組的解的個數等等。

五、在模擬考試的試卷講評中，強調數學思想方法在解題方法中的作用

試卷評講課是學生積累解題經驗的最好環節，評講應該有明確的目標，有學生獨立質疑與反思的時間和空間，有解題方法和思路的歸納與小結等，更要重視利用數學思想方法在解題中的作用，化繁為簡，化難為易。

例4.（2010年高考全國卷1）半徑為2的球面上有A、B、C、D四點，若AB=CD=2，則四面體ABCD的體積的最大值為

（A） （B）（C） （D）

這道題按常規方法既繁瑣又難以理解，但如果利用特殊與一般的思想與方法，將問題特殊化，大膽猜想線段AB、CD處于特殊情況下有可能取到最值，因而設想當且僅當它們的中點連線為二者的中垂線時，四面體的體積有最大值，而這個證明與解法就非常容易了。

例5.已知三棱錐P-ABC的三條側棱PA、PB、PC兩兩垂直，且長度分別為3、4、5，則三棱錐P-ABC外接球的表面積是。

分析：直接尋找三棱錐P-ABC外接球的球心和半徑比較困難，如果將三棱錐P-ABC 補成以PA、PB、PC為同一個頂點出發的三條棱的長方體，顯然這個長方體外接球就是三棱錐P-ABC外接球，從而三棱錐P-ABC外接球的直徑就等于長方體的對角線長，可容易求出三棱錐P-ABC外接球的表面積。

可見，利用試題講評的機會挖掘題目中的數學思想方法，可以更好地提高學生的解題能力。

總之，在數學復習的各環節中重視數學思想方法，可以加強學生對基礎知識的理解，提高學生分析問題、解決問題能力，提高數學課的復習效率。