重視數(shù)學(xué)思想方法 提高高考復(fù)習(xí)效果

在高考數(shù)學(xué)試題中數(shù)學(xué)思想和方法的考查常常與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的考查結(jié)合在一起進(jìn)行，因此，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中都應(yīng)該重視挖掘、運(yùn)用其中的數(shù)學(xué)思想和方法。

一、中學(xué)數(shù)學(xué)與高考考查中的數(shù)學(xué)思想和方法

在中學(xué)數(shù)學(xué)與高考考查中的數(shù)學(xué)思想主要有：函數(shù)與方程，數(shù)形結(jié)合，分類與整合，化歸與轉(zhuǎn)化，特殊與一般，有限與無(wú)限，偶然與必然。基本數(shù)學(xué)方法有：待定系數(shù)法，換元法，配方法，割補(bǔ)法，反證法等，數(shù)學(xué)邏輯方法與思維方法有：分析與綜合，歸納與演繹，比較與類比，具體與抽象等，它們是數(shù)學(xué)考查中理解、思考、分析與解決問(wèn)題的常用方法。

二、“雙基”復(fù)習(xí)時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想方法，豐富知識(shí)內(nèi)涵

基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的復(fù)習(xí)是高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)的重要內(nèi)容，在這個(gè)復(fù)習(xí)過(guò)程中，要充分挖掘其中的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。如復(fù)習(xí)函數(shù)的極值、方程解的個(gè)數(shù)時(shí)可用數(shù)形結(jié)合的思想，在復(fù)習(xí)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)注意對(duì)公比q的討論，寫(xiě)出q=1時(shí)Sn=na1和q≠1時(shí)兩種情況的不同公式，體會(huì)其中的分類討論思想，使學(xué)生充分領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)思想方法普遍存在于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)中。

在梳理基礎(chǔ)知識(shí)時(shí)，充分發(fā)揮思想方法在知識(shí)間的紐帶作用，可幫助學(xué)生合理構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，優(yōu)化思維結(jié)構(gòu)。例如，在二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式關(guān)系的復(fù)習(xí)中，可充分利用函數(shù)思想，轉(zhuǎn)化為方程的解、不等式解的幾何意義，運(yùn)用轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想，深化對(duì)知識(shí)的理解。

三、解題中滲透數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的解題能力

數(shù)學(xué)解題的過(guò)程實(shí)質(zhì)上是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法加工、處理已知條件、數(shù)學(xué)知識(shí)和結(jié)論，將已知轉(zhuǎn)化為結(jié)論的過(guò)程。運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法可優(yōu)化學(xué)生的解題策略。

例1．若函數(shù)在區(qū)間（1，4）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

分析：這是一個(gè)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題。首先把函數(shù)的增、減性轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的正、負(fù)來(lái)研究，求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間（1，4）內(nèi)為負(fù)，在區(qū)間內(nèi)為正的充要條件，而這個(gè)問(wèn)題則可利用二次函數(shù)的問(wèn)題，借助圖形來(lái)解決。

例2.已知F為雙曲線C:的右焦點(diǎn)，P為雙曲線C右支上的一點(diǎn)，且位于x軸上方，M為直線上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知且，求雙曲線C的離心率.

分析：根據(jù)向量的平行四邊形運(yùn)算法則，易知四邊形OFPM是邊長(zhǎng)為c的菱形，因此利用數(shù)形結(jié)合的轉(zhuǎn)化方法，引導(dǎo)學(xué)生利用幾何關(guān)系得到P點(diǎn)到雙曲線右準(zhǔn)線的距離為，再用雙曲線的定義得到，所以。

這里通過(guò)數(shù)形轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，啟發(fā)學(xué)生的利用雙曲線的定義，結(jié)合雙曲線的圖形、雙曲線的準(zhǔn)線、菱形的幾何性質(zhì)得到問(wèn)題的答案。

例3.已知雙曲線，問(wèn)過(guò)點(diǎn)P(1，1) 能不能作一條直線l，使它與雙曲線交與A、B兩點(diǎn)，并且P是線段AB的中點(diǎn)，如果能，寫(xiě)出直線l的方程，如果不能說(shuō)明理由。

分析：

（1）如果直線l垂直于x軸，易知不合題意。

（2）如果直線l不垂直于x軸，則可設(shè)直線l的方程為y-1=k(x-1)，A（x1，y1），B（x2，y2）線段AB的中點(diǎn)為M（x0，y0）討論方程組得（）。

所以，因此，得k=2。

但是，當(dāng)k=2時(shí)，方程成為，其，方程無(wú)實(shí)數(shù)解，直線l與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)。所以，符合題意的直線l不存在。

這個(gè)題目的解題過(guò)程中，將直線與曲線相交的問(wèn)題巧妙地轉(zhuǎn)化為方程組的解的問(wèn)題.

四、利用專題講座，提高數(shù)學(xué)思想方法的駕馭能力

高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)，主要幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提升解題能力，通常以專題復(fù)習(xí)講座的方式進(jìn)行，可以設(shè)計(jì)一個(gè)以數(shù)學(xué)思想方法為主線把中學(xué)數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識(shí)串連起來(lái)的專題，讓學(xué)生深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)科中的支撐和統(tǒng)帥作用。比如以函數(shù)與方程思想為主線，可以聯(lián)結(jié)代數(shù)中的基本初等函數(shù)如二次函數(shù)、二次方程、一元二次不等式的關(guān)系，三角函數(shù)的性質(zhì)和圖像，直線與圓、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)、最大值和最小值等問(wèn)題：以轉(zhuǎn)化思想為主線，將空間直線與平面的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為平面幾何中的三角形、四邊形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；將簡(jiǎn)單的分式不等式、高次不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式和一元二次不等式；將解析幾何中的直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為方程組的解的個(gè)數(shù)等等。

五、在模擬考試的試卷講評(píng)中，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法在解題方法中的作用

試卷評(píng)講課是學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn)的最好環(huán)節(jié)，評(píng)講應(yīng)該有明確的目標(biāo)，有學(xué)生獨(dú)立質(zhì)疑與反思的時(shí)間和空間，有解題方法和思路的歸納與小結(jié)等，更要重視利用數(shù)學(xué)思想方法在解題中的作用，化繁為簡(jiǎn)，化難為易。

例4.（2010年高考全國(guó)卷1）半徑為2的球面上有A、B、C、D四點(diǎn)，若AB=CD=2，則四面體ABCD的體積的最大值為

（A） （B）（C） （D）

這道題按常規(guī)方法既繁瑣又難以理解，但如果利用特殊與一般的思想與方法，將問(wèn)題特殊化，大膽猜想線段AB、CD處于特殊情況下有可能取到最值，因而設(shè)想當(dāng)且僅當(dāng)它們的中點(diǎn)連線為二者的中垂線時(shí)，四面體的體積有最大值，而這個(gè)證明與解法就非常容易了。

例5.已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直，且長(zhǎng)度分別為3、4、5，則三棱錐P-ABC外接球的表面積是。

分析：直接尋找三棱錐P-ABC外接球的球心和半徑比較困難，如果將三棱錐P-ABC 補(bǔ)成以PA、PB、PC為同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)方體，顯然這個(gè)長(zhǎng)方體外接球就是三棱錐P-ABC外接球，從而三棱錐P-ABC外接球的直徑就等于長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)，可容易求出三棱錐P-ABC外接球的表面積。

可見(jiàn)，利用試題講評(píng)的機(jī)會(huì)挖掘題目中的數(shù)學(xué)思想方法，可以更好地提高學(xué)生的解題能力。

總之，在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的各環(huán)節(jié)中重視數(shù)學(xué)思想方法，可以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力，提高數(shù)學(xué)課的復(fù)習(xí)效率。