三角形內接矩形的討論

摘要：從三角形中如何裁得面積較大的矩形，是數學教材中一個提及但未深入討論的問題，本文通過分析論證得出了如何從三角形中裁出面積最大的矩形：當內接矩形的一邊為三角形的中位線時，內接矩形的面積最大。在限定內接矩形高的情況下，只有當三角形一邊上的高等于內接矩形高的2倍，內接矩形的一邊在這條邊上時，所得到的內接矩形的面積最大。

關鍵詞：三角形；矩形；面積最大；中位線

數學教學改革越來越要求數學與實際應用的聯系，這是數學發展方向之一。本文所討論的就是其中的一個問題——三角形內接矩形。

如圖：三角形ABC是一塊銳角三角形余料，BC=a，高AD=h，要把它加工成長方形零件，使長方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，這個長方形零件的邊長是多少時，面積最大？

分析：由BC=a，高AD=h，那么三角形ABC的面積=0.5ah；四邊形PQMN為△ABC的內接矩形，它的面積隨著點P在AB上的不同位置而變化。當點P與點A重合時，矩形退縮為一條直線，面積為零。當點P在線段AB上自點A向點B移動時，矩形PQMN的面積會由小變大，然后由大變小。所以當點P移動到某個位置時，矩形PQMN的面積一定能取到最大值。

當點P在邊AB的什么位置時，面積取最大值呢？假設點P在如圖的位置時，面積有最大值，為了確定點P，設PN=x，然后通過計算確定x應滿足的條件。

證明：設PN=x，BC=a，AD=h，由△APN∽△ABC∴即又內接矩形PQMN的面積=PQ·PN

==（x－）2+

當x=時，矩形面積取到最大值。即當PN為三角形中位線時，面積最大，最大面積為三角形面積的一半。

結論一：當三角形內接矩形的一邊為三角形的中位線時，內接矩形的面積最大，最大值為三角形面積的一半。

我們知道：周長相等的正方形、長方形，正方形的面積大于長方形的面積。對于三角形的內接矩形，是否當內接矩形為正方形時面積最大呢？根據上面的結論，能得到正確的答案嗎？

事實上，不同的三角形內接矩形的存在情況是不同的。直角三角形中內接矩形有兩種，銳角三角形內接矩形有三種，而鈍角三角形只有一種。不論什么樣的三角形，只有當它的內接矩形的一邊為三角形的中位線時，內接矩形的面積最大，且最大值為三角形面積的一半。這時的內接矩形不一定為正方形。

問題似乎已經解決，我們應注意到：內接矩形的四邊一定有一邊落在三角形的某一邊上，在銳角三角形的每一條邊上都存在一個內接矩形。同一塊三角形余料中，可以根據要求裁出三個不同的內接矩形，只要滿足內接矩形的一邊為三角形的中位線，面積都可以取到最大且相等，如果三角形的三邊不相等，得到的三個內接矩形就會不全等，即三個內接矩形的長和寬各不相等，但面積的最大值相等。

在實際應用中，受現實條件的限制，常常有幾種情況，但只有一種或兩種符合條件。例如在上面的問題中要求內接矩形的高一定（是個常數），問題變為：如何從一塊三角形余料中裁出高一定，面積較大的內接矩形？對于一個三條邊長給定的三角形，三邊上的高隨之確定，當三角形內接矩形的一邊（矩形的長）分別落在三角形的三邊上時，所得到的三個內接矩形的面積也不相等，落在哪條邊上時，內接矩形的面積較大呢？設△ABC的底邊BC=a，高AD=h，要求從該三角形中裁出矩形PQMN，且使矩形PQMN的高PQ=h0，當矩形的一邊QM落在BC邊上時，計算此時矩形的面積。設PN=x，DE=PQ= h0，則AE=AD-DE=h- h0，

由△CPN∽△CAB∴即，矩形PQMN的面積=PQ·PN=h0·PN

=h0·h02+h0c

=（h0－）2+

當h0=h/2時，矩形面積取到最大值。由h0=h/2得h=2h0，也就是當AB邊上的高h為2h0（h0為矩形的高）時，矩形面積最大。

結論二：當限定矩形PQMN的高為h0時，三角形的三邊哪條邊上的高較接近2h0，則內接矩形的一邊應該在這條邊上，這時滿足條件的內接矩形的面積較大。

我們通過一個簡單的例子來說明：在直角三角形ACB中，AC=8，BC=6，斜邊AB=10，AB邊上的高CD=4.8，從這個直角三角形中截取一個高為2的內接矩形，應如何截取面積較大？我們分三種情況分別計算。

（1）內接矩形的一邊落在邊BC上，這時高PC=2在邊AC上，AP=AC-PC=6，由△APN～△ACB，可得PN=4.5，內接矩形PCMN的面積=PC·PN=9.

（2）內接矩形的一邊落在邊AC上，這時高PC=2在邊BC上，BP=BC-PC=6-2=4，由△BPN∽△BCA，可得PN=16/3，內接矩形PCMN的面積=PC·PN=32/3。

（3）內接矩形的一邊落在斜邊AB上，高PQ=2，CE=CD-DE=4.8-2=2.8由△CPN∽△CAB，可得PN=35/6，內接矩形PQMN的面積=PN·PQ=35/3。

可以看出高為2的內接矩形的一邊落在斜邊AB上時面積較大。這正是因為邊長為8、6、10的三邊上的高分別為6、8、4.8，內接矩形的高為2，內接矩形的高2與邊長為10的邊上的高4.8較接近，所以當內接矩形的一邊落在斜邊上時面積較大。這時它的面積為35/3，小于三角形ACB面積的一半12，即面積沒有取到最大值。這也驗證了上面得到的結論是正確的。

總之，對于一塊三角形布料余料，根據現實的具體要求，采用不同的方法以達到充分利用的目的。從三角形中裁得面積最大的內接矩形與要求高一定的內接矩形的方法也不同，是不同的兩個問題，希望讀者能從文中得到啟發，有所收益。