解析高考中的線性規劃問題

線性規劃問題在實際生活、生產中應用十分廣泛。近年來，在全國各地的高考數學命題中，線性規劃類問題已經越來越受到命題人的青睞，而且題型新穎，形式多樣。下面筆者以歷年高考中的線性規劃題為例，就線性規劃問題的一些解法和大家做以探討。

一、準確畫出可行域是求解線性規劃問題的前提

判斷二元一次不等式（組）表示區域的方法：

對于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)，

(1)若B≠0，總可以把y項的系數變形為正數。

若B＞0時，

①Ax＋By＋C＞0表示直線Ax＋By＋C＝0 的區域；

②Ax＋By＋C＜0表示直線Ax＋By＋C＝0 的區域。

(2)若B＝0，則A≠0，可與B≠0時類似考慮。

例1：

設變量x，y滿足約束條件：

則目標函數z＝3x－4y的最大值和最小值分別為( )

A．3，－11 B．－3，－11 C．11，－3 D．11，3

解析：約束條件，對應的可行域如圖1所示。

作直線l：3x－4y＝0，可觀察出目標函數在A點取到最大值，在B點取到最小值。

解方程組

得，即A（5，3）

解方程組，得，即B（3，5）

則zmax＝3，zmin＝－11。

答案：A

二、利用目標函數的幾何意義求解

常見代數式的幾何意義主要有以下幾點：

(1)表示點(x，y)與原點(0，0)的距離；

表示點(x，y)與(a，b)的距離。

(2)表示點(x，y)與原點(0，0)連線的斜率；

表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率。

理解這些代數式的幾何意義，往往是解決問題的關鍵。

例2：已知，x2＋y2在x，y取何值時取得最大值、最小值？最大值、最小值各是多少？

解：如圖2所示可作出不等式組表示的區域，過原點O作OB垂直于直線2x＋y－2＝0，垂足為B，則x2＋y2在A、B點分別取得了最大值和最小值。

由，得。

即A(2，3)。

由，得。即B(，)。

∴x2＋y2的最大值和最小值分別為13，。

例3：已知x、y滿足條件：

，P(x，y)。求：的取值范圍。

解：畫出不等式組表示的平面區域：其中A(4，1)，B(－1，－6)，C(－3，2)。

可以理解為區域內的點與點(－4，－7)連線的斜率。由圖可知，連線與直線BD重合時，傾斜角最小且為銳角；連線與直線CD重合時，傾斜角最大且為銳角。kBD＝，kCD＝9，所以的取值范圍為[，9]。

規律總結

1.二元一次不等式組所確定的平面區域是不等式組中各個不等式所表示的半平面區域的公共部分，畫出平面區域的關鍵是把各個半平面區域確定準確，其基本方法是“直線定界、特殊點定域”。

2.給定平面區域求解一些非線性目標的最值或范圍時，要根據解析幾何知識確定求解目標的幾何意義，結合解析幾何知識解決問題，適當變換求解目標可以使其幾何意義更加明確、或者轉化為函數問題解決。

3.線性規劃問題是在約束條件是線性、目標函數也是線性的情況下的一類最優問題，在約束條件是線性的情況下，線性目標函數只有在可行域的頂點或者邊界上取得最值，在解答選擇題或者填空題時可以根據可行域的頂點直接進行檢驗。

4.含有實際背景的線性規劃問題其關鍵是找到制約求解目標的兩個變量，用這兩個變量建立可行域和目標函數，在解題時要注意題目中的各種相互制約關系，列出全面的制約條件和正確的目標函數。

只要從以上各方面對線性規劃加以總結和學習，將在我們以后的教學和學習中取得長足的進步。不足之處還請各位同行批評指正。