基于“過(guò)程→生成”的教學(xué)理念

摘要：論述了基于“過(guò)程→生成”理念的基克問(wèn)題解決教學(xué)模式，給出了相應(yīng)的教學(xué)案例。

關(guān)鍵詞：過(guò)程→生成；基克問(wèn)題解決模式；有理系數(shù)多項(xiàng)式；可約性；教學(xué)設(shè)計(jì)

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2012）05-015-03

培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題解決能力，已是各國(guó)教育改革中倍受關(guān)注的問(wèn)題，然而我國(guó)的實(shí)際教學(xué)卻不盡如人意，尤其是高等數(shù)學(xué)課堂，大都沉浸在“定義→性質(zhì)→定理→例題”的注入教學(xué)中，無(wú)益于數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高與創(chuàng)造型人才的培養(yǎng)。為何如此？一是遺傳多年的傳統(tǒng)觀念的冥頑不化，二是教育研究重理論而不重實(shí)踐。筆者倡導(dǎo)“過(guò)程→生成”教學(xué)理念，本文給出基于“過(guò)程→生成”理念的基克問(wèn)題解決模式教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)例。

一、過(guò)程→生成理念

基于過(guò)程哲學(xué)思想，參照基礎(chǔ)教育新課改的三維目標(biāo)，筆者提出“過(guò)程→生成”教學(xué)理念：

教學(xué)是動(dòng)態(tài)的知識(shí)生成過(guò)程。該過(guò)程始于某種背景，在思想、情操的層層支配下，激發(fā)對(duì)學(xué)習(xí)目標(biāo)的步步追求，從而誘導(dǎo)已有知識(shí)、技能、方法的循循攝入，形成流變與合生：在流變中創(chuàng)造新知識(shí)、練就新技能、獲得新方法、增長(zhǎng)新智慧、形成價(jià)值觀、積聚創(chuàng)造能量。

過(guò)程→生成不是過(guò)程與生成的簡(jiǎn)單疊加，而是強(qiáng)調(diào)在過(guò)程中生成(因?yàn)閷?duì)教學(xué)而言，有教學(xué)過(guò)程未必有生成，有生成未必有良好的過(guò)程)，其中過(guò)程是基礎(chǔ)，生成是創(chuàng)造，二者缺一不可，相輔相成。

過(guò)程→生成教學(xué)以過(guò)程哲學(xué)為世界觀，以意會(huì)哲學(xué)為認(rèn)知論，以知識(shí)在過(guò)程中生成為基本策略，以動(dòng)態(tài)性、整體性、連續(xù)性、攝入性、生成性為基本原則。

二、基克問(wèn)題解決模式

20世紀(jì)初以來(lái)，人們對(duì)問(wèn)題解決及其相關(guān)思維技能作了大量的研究，尤其是自皮業(yè)杰的認(rèn)知理論面世和認(rèn)知心理學(xué)產(chǎn)生以后，人們更熱衷于從認(rèn)知的角度來(lái)解釋人類解決問(wèn)題的過(guò)程，更真實(shí)地描述了人類解決問(wèn)題的動(dòng)態(tài)過(guò)程，基克問(wèn)題解決模式(圖1所示)就是其中之一。

三、基于“過(guò)程→生成”理念的基克問(wèn)題解決教學(xué)模式

遵循“過(guò)程→生成”理念，參照基克問(wèn)題解決模式，提出基于“過(guò)程→生成”理念的基克問(wèn)題解決教學(xué)模式如下：

1、提出問(wèn)題

2、理解表征問(wèn)題

找出相關(guān)信息，忽略無(wú)關(guān)細(xì)節(jié)，分析詞句含義，理解表征問(wèn)題。許多問(wèn)題中，運(yùn)用圖形表征可能更有助于理解整個(gè)問(wèn)題。在理解表征問(wèn)題過(guò)程中，若問(wèn)題的解析與頭腦中已有的的解題系統(tǒng)產(chǎn)生某種匹配(即“圖式激活”)，則直接進(jìn)入嘗試解答階段，否則需要尋求解答的路線。

3、尋求解答路線

尋求解答路線的一般方法可能有算法式和啟發(fā)式，常用的啟發(fā)式有目的分析法、逆向反推法、爬山法、類比思維法等。如果尋求失敗即退回到№2。

4、嘗試解決方案

亦即是執(zhí)行解答計(jì)劃，此時(shí)要保證每一個(gè)步驟的正確。

5、評(píng)價(jià)總結(jié)

當(dāng)完成某個(gè)解決方案后，要對(duì)結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)總結(jié)。如果成功且滿意就停止，那么就要對(duì)求解過(guò)程予以完善且建構(gòu)；否則就退回到前面幾個(gè)階段，重新求解。

需要注意的是，如此分步只是一種表述形式，實(shí)際的問(wèn)題解決過(guò)程并非為如此線性，可能是跳來(lái)跳去的、跨步的。

基于“過(guò)程→生成”理念的基克問(wèn)題解決教學(xué)重在體現(xiàn)具有動(dòng)態(tài)性、整體性、連續(xù)性、攝入性和生成性的問(wèn)題解決過(guò)程。

四、案例設(shè)計(jì)

在高等代數(shù)教材或教學(xué)中，關(guān)于有理系數(shù)多項(xiàng)式的可約性都是直接定義本原多項(xiàng)式，直接給出高斯引理，直接給出愛(ài)森斯坦判別法，無(wú)益于數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)造能力的培養(yǎng)。本文使用基于“過(guò)程→生成”理念的基克問(wèn)題解決模式，給出有理系數(shù)多項(xiàng)式的可約性問(wèn)題的教學(xué)設(shè)計(jì)，意在拋磚引玉，達(dá)到棄絕注入式教學(xué)模式的目的。

1、問(wèn)題提出

我們知道，在上只有一次多項(xiàng)式不可約多項(xiàng)式，在上只有一次或二次不可約多項(xiàng)式，但在上卻有任意次不可約多項(xiàng)式．那么就存在問(wèn)題：如何判斷有理系數(shù)多項(xiàng)式在上的可約性？

2、理解和表征問(wèn)題

（1）分析聯(lián)想：激活基本圖式

有理數(shù)，即整數(shù)之比，聯(lián)想到解分式方程去分母，頓悟出：有理系數(shù)整系數(shù)。如，顯然與在上有相同的可約性，此例具有一般性。于是有理系數(shù)多項(xiàng)式在上可約性的研究可歸結(jié)為整系數(shù)多項(xiàng)式在上的可約性來(lái)研究。

（2）奇思異想：初擬求解路線

設(shè)，討論的可約性。因?yàn)檎禂?shù)容易處理，并且“在上可約在上也可約”，所以如果能證明“在上可約在上可約”，那么有理系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上可約性問(wèn)題即可以轉(zhuǎn)化為整系數(shù)多項(xiàng)式在整數(shù)環(huán)上來(lái)研究，倘若如此豈不快哉！因此我們大膽地確定問(wèn)題解決路線：

嘗試證明以上“期望”：在上可約在上可約；

當(dāng)“期望”成立時(shí)，尋求整系數(shù)多項(xiàng)式在整數(shù)環(huán)上可約性的判別方法。

3、尋求解答

探究：設(shè)且在上可約，為簡(jiǎn)明起見(jiàn)，簡(jiǎn)寫為，探究過(guò)程見(jiàn)圖2。

圖2說(shuō)明：只要證明的系數(shù)互素，我們的期望就能夠?qū)崿F(xiàn)。注意到，其中是系數(shù)的最大公因數(shù)，所以的系數(shù)互素。于是所要證明的問(wèn)題即是“由、的系數(shù)互素推出的系數(shù)互素。為了表述方便，稱系數(shù)互素的整系數(shù)多項(xiàng)式為“本原多項(xiàng)式”。這樣所證問(wèn)題即可表為：

猜想I：本原多項(xiàng)式的乘積是本原多項(xiàng)式。

4、嘗試解決方案

（1）試證猜想I

設(shè)、都是本原多項(xiàng)式，且，，要證是本原多項(xiàng)式，即需證明。但因?yàn)榈南禂?shù)是抽象的而無(wú)法直接推演，故考慮反證法。

假如，為爭(zhēng)取更好的可用條件，取的素因子而代替。分析已知條件與的關(guān)系：因?yàn)?、都是本原多?xiàng)式，所以的系數(shù)中存在著不能被整除的數(shù)，的系數(shù)中也存在著不能被整除的數(shù)，于是應(yīng)抓住這些不能被整除的系數(shù)來(lái)“做文章”。不過(guò)因?yàn)榛蛘咧胁荒鼙徽南禂?shù)并不確定，所以如何“抓”就成了問(wèn)題。然而“槍打出頭鳥(niǎo)”卻隱喻著深刻的數(shù)學(xué)哲理：第一個(gè)、最大的、最小的等等都是很好的數(shù)學(xué)方法！所以不妨設(shè)、…、但，、…、但，依此假設(shè)及素?cái)?shù)的性質(zhì)即可推得，獲得矛盾，所以猜想成立，亦即是得到了高斯引理。

至此我們得到結(jié)論“若，則在上可約在上可約”。于是可進(jìn)入。

（2）進(jìn)入

①表征問(wèn)題 設(shè)，尋求在上可約性的判別方法。這是毫無(wú)目標(biāo)的問(wèn)題，不過(guò)作為判別方法，自然應(yīng)該從的系數(shù)著手。這樣問(wèn)題的關(guān)鍵詞即是“系數(shù)”、“分解”等，因此我們聯(lián)想到高斯引理及其證明：其一，本原×本原＝本原，從左往右看是乘法，但從右往左看即是因式分解；其二，高斯引理揭示的是系數(shù)之間的關(guān)系。