書山有路勤為徑

摘要：數學的三種基本數學能力（邏輯思維能力、運算能力、空間想象能力）之一的空間想象能力（所謂空間想象能力，就是人們對客觀事物的空間形式進行觀察、分析和抽象思維的能力。）使很多到了高三的學生還感到猶豫和苦惱的，如何培養這項能力呢？在數學教學中，尤其是在立體幾何教學中是很多學生所需求的。

關鍵詞：數學；幾何；數學教學；教師；學生；畫圖

中圖分類號：G632.0 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）05-171-02

眾所周知，為了更好的突出高考的選拔作用，現在數學試題的命題已強調了“以能力立意”，即從問題入手，把握學科的整體意義，用統一的數學觀點組織材料，對知識的考察傾向于理解和應用，特別是知識的綜合性和靈活運用。這就表現在能否從題目的條件或結論中獲得確切的信息；能否從記憶系統中提取與題目有關的信息；對從雙方面提取的信息能否進行有機組合；組合能否條理化的整理形成解題的行動序列；在實施解題序列過程中，推理與運算能否順利完成，種種表現概括為我們常說的四大能力——邏輯思維能力、運算能力、空間想象能力和分析問題與解決問題的能力。

畫圖

學習立體幾何首先就要對基本的幾何圖形必須非常熟悉，能正確畫圖，能在頭腦中分析基本圖形的基本元素之間的度量關系及位置關系。所謂基本的幾何圖形是指在課本中的概念、定理、推論和例題以及部分練習中所出現的附圖，特別是圖中基本元素之間的度量關系及位置關系尤為重要。譬如：我們經常看到這樣的條件“已知三個平面α、β、γ，其中α⊥β、β⊥γ、γ⊥α…”那么圖形該如何畫呢？“墻角…”——我的學生會異口同聲答道，這就是平常積累素材所達到的效果，但是僅僅積累不行，還要善于組合。因為想象并繪制正確的空間圖形是學習和解答立體幾何問題的基礎。透過空間圖形，把握各種幾何元素（點、線、面、角度、距離）之間的內在聯系，可以啟迪思維，發現解題規律。我曾經在課堂上提過這樣一道陳題——“有三個角是直角的空間四邊形不一定是矩形，對嗎？”雖然學生們都說對，但究其原因，有的說不出、有的說是猜的，理由是“空間四邊形嘛！”——好一個空間四邊形！德國數學教育理論專家棟科教授認為——思維著的教學活動決定著學習的質量。于是我開始幫助他們整理素材（借助教室）——“把教室中間的橫梁看成幾何線段a，與之相交的墻柱為線段b，則a⊥b，接著找三位學生“表演”，學生甲站在墻柱邊，學生乙站在教室的一個墻角處，則甲乙構成線段c，即a與c異面，最后請學生丙從學生甲處側著走到學生乙處，在此過程中，讓其左臂側平舉保持與c重合，右臂前臂舉以成直角，眼睛始終望著橫梁的另一端點，當這一點與右臂共線時即停。”此時，我請全班同學看好這一時刻構成的空間四邊形，大家倍感興奮，都想重溫一次，而我則提出問題：此圖中由哪幾個基本圖形組合的呢？話音剛落，學生丙就答道——是由異面直線上兩點間距離的附圖與三垂線定理的附圖合成的。

變圖

所謂變圖是指遇到有關客觀世界中實際物體的問題時，我們可以撇開抽象的空間圖形所代表實際物體的那些物理性質、化學性質等，而只研究它們的幾何性質，即變客觀世界在實際物體為數學中的幾何圖形。由于空間圖形的抽象性，一個圖形可以是許多實際物體的抽象形式，而且有時還可以不必畫出其全貌，只要畫出圖形的骨架就能體現圖形的本質特征，這樣可以刪繁就簡，排除干擾，使圖形簡明清晰，利于解決問題。在數學史上，“蜂房問題”曾吸引了許多人的關注。為了貯存蜂蜜和養育后代，一群蜜蜂可以在一晝夜間就能蓋起成千上萬間精致的蜂房。這一點引起了不少數學家的興趣，他們通過變圖，發現每一間蜂房都是一個六角形柱狀體，它的一端有一個平整的六角形開口，另一端則是閉合的六角棱錐形的底。因為鋪滿整個平面區域的正多邊形一共只有三種，即正三角形、正方形和正六邊形，而使用同樣的材料，正六邊形比正三角形和正方形具有更大的面積，由此解決了蜂房的奇妙結構。與此同時，科學家們又通過變圖發現，蜂巢的底是由三個大小完全相同的菱形蠟板彼此毗鄰相接所拼成。公元1743年，蘇格蘭著名數學家馬克勞林利用初等幾何方法論證出此菱形的鈍角是，銳角是，且是最省材料的。這一點與法國自然科學家馬拉爾蒂測量出來的結果完全吻合，但后者卻不能得出緣由。正因為數學家們的卓越論證，使人們了解了蜜蜂的“建筑藝術”，使建筑師們設計出許多質輕、耐用、隔音、隔熱的“蜂窩結構”，而這一切首先應當歸功于數學家們的成功變圖。變圖不僅如此，還能加深我們對概念的理解。例如，教材中關于二面角的闡述。開始利用人造衛星軌道平面與赤道平面的關系引入，產生興趣，但并不易觀察，通過講解定義后，又引入了一個木工用活動角尺測量了一個有關登山的問題，調動大家的思路，并且畫出一個實物圖與幾何圖交合在一起的附圖，讓學生看的更加貼切，對二面角的概念也就印象深刻，故多看看書是非常必要的。

用圖

所謂用圖是指利用圖形來反映并思考用語言或式子所表達的空間形狀及位置關系。掌握這一點，首先就要能讀懂幾何語言。在教學實踐中發現，不少學生不善于對數學語言的多種形式進行轉換，尤其是對抽象的符號語言，常常有意回避，造成表達死板、思維僵化的惡果。去年我有幸參加了市教研室組織的高中學業水平測試的閱卷工作，批改的正是解答題中的一道幾何題。在閱卷中，我深切的體會到，有很多學生雖然了解題意，但就是講不清。譬如第一小題需證明兩個三角形全等，僅僅一個“”符號，難倒了無數“好漢”！有的用漢字“全等”、有的用“～”、有的干脆空著，好像在說——“就是那個意思嘛！”、還有的大概急了，竟用“”（化學里反應式中的符號），細細一看，倒有幾分聯想！實際上，幾何語言的運用一般都在教材中提到的。引導學生學好課本中精湛的數學語言，對課本中的概念、定理認真辨析，甚至咬文嚼字，有利于學生數學語言的基本功的形成。我曾在高中水平測試復習中布置了這樣的一份作業——把《必修2》中第二章所有的定理、推論，先用幾何語言表示出來，再畫出與之對應的圖形，最后把所有有關作圖的語句摘錄下來。當做完這份作業的同學都感到幾何語言從未有過的親切。因為只有了解幾何語言，才能讀懂幾何語言，最后才能運用幾何語言。下面請看這樣一道題：有不共面的三條互相平行的直線a，b，c，過a做平面α，使得b、c到α的距離相等，則這樣的平面有（）個。

A、1個B、2個 C、4個 D、無數個

此題，很多學生回答A或D。大概是受很多類似問題的影響，不是“一個”就是“無數個”。實際上是沒讀懂題意，準確的說，是沒畫出圖形。不共面的三條平行線好畫，畫三棱柱的三條側棱就可以了，但再畫一個平面具備后面的條件，并且究其個數就比較麻煩。事實上，只要聯想到立體幾何中的“點——線——面”三者的關系，及時準確的“降維”就可以解決問題，即等價于“平面內有不共線的三個點A、B、C，過A做一條直線l，使得B、C到l的距離相等的直線有多少條”，于是圖形就好畫了。也可以說是俯視剛才的三棱柱吧。

四、識圖

所謂識圖就是指從復雜的圖形中能區分出基本圖形，能分析其中的基本圖形和基本元素之間的基本關系。例如，有這樣一道題：截面圖形是下圖中的（ ）

在一個倒置的正三棱錐容器內放入一個鋼球，鋼球恰與棱錐的四個面都接觸上，過棱錐的一條側棱和高做截面，正確的

本題主要是考察空間圖形的組合以及空間想象能力。只要對多面體與旋轉體的性質稍加熟悉，考慮周密，即能正確作答。球是旋轉體，有旋轉軸；正三棱錐是特殊的多面體，正三棱錐的三個側面與底面的高所成角均相等，且三個側面為全等的正三角形，故鋼球放入容器內，球心必在這條高上，觀察選項，即排除C和D；又截面是過棱錐的一條側棱和高，故球的軸截面不可能與截面三角形的三條邊都相切，即排除A，得出正確的答案。

會畫圖是學習立體幾何的基本要求，畫好圖還要讓人看的懂就更為重要。畫家肯定是將自己感到滿意的作品向人展示的。所以當能夠用圖形表示題目的條件信息時，也應該會從圖中讀出題目的條件信息，即“會畫圖也會識圖”。這一點不僅僅在立體幾何中要求做到，就連函數中也要具備。

綜合上述四點，空間想象能力的培養猶如作家的寫作修養，在于平常積累素材，開動腦筋，放開視野，多看看、多聽聽、多想想、多問問，當然更主要的是多畫畫，正所謂“書山有路勤為徑”！