數學思想方法在教學中的滲透

數學思想在學習和運用數學知識的過程中，是知識轉化為能力的橋梁，是數學發現、創新的關鍵和動力，抓住數學思想方法，是提高解題能力的根本所在.教師在平時的教學過程中，只有有效地引導學生發現解題過程中的數學思想，并且有效地能加以歸納和總結，才能使學生真正體會數學的奧妙，領會數學的真諦，抓住問題的本質，提高解題能力.

一、轉化思想

轉化思想就是將不熟悉的數學問題轉化為熟悉的數學問題來解決的一種思想方法.在學習過程中，遇到不熟悉的數學問題時要善于分析該問題的結構，通過“拼”、“拆”、“合”、“分”等方法，將之轉化為熟悉的問題來解決.

【例1】如圖1，P是⊙O的弦CB延長線上一點，點A在⊙O上，且∠PCA=∠BAP.

（1）求證：PA是⊙O的切線；

（2）若PB∶BC=2∶3，且PC=10，求PA的長.

分析：（1）要證明PA是⊙O的切線，定理只有一個，連接AO并延長交⊙O于D，證∠PAD=90°.

（2）由三角形相似得PA2=PB·PC，只要求出PB就可以了.據PB∶BC=2∶3，可求出PB.

（1）證明：連接AO并延長交⊙O于D，連接BD.

∵AD是⊙O的直徑，∴∠ABD=90°，

∴∠D+∠DAB=90°，

又∵∠D=∠C=∠PAB，∴∠DAB+∠PAB=90°，即OA⊥PA.∴PA是⊙O的切線.

（2）∵∠C=∠PAB，∠P=∠P，∴△PAC∽△PBA.

∴PAPC=PBPA，又PB∶BC=2∶3，PC=10，

即（10-BC）∶BC=2∶3，故BC=6，

∴PB=10-6=4，PA2=PB·PC=4×10=40，

∴PA=±210，∴PA=210.

二、方程思想

方程思想就是從分析問題的數量關系入手，通過設未知數，把問題中的已知量與未知量的數量關系轉化為方程或方程組，然后通過解方程（組），使問題得到解決.應用方程思想解題的關鍵是找到題目中隱含的等量關系.

【例2】 某班40名學生某次數學測驗成績統計表如下：

成績（分）5060708090100人數（人）2x10y42若這個班的數學平均成績是69分，求x和y的值.

分析：由題意知，題中有兩個等量關系：所有人數的和等于40，平均分等于69分，據此可列出方程組，解之即可.

解：由題意，得

2+x+10+y+4+2=40

50×2+60×x+70×10+80×y+90×4+100×2=69×40.

解得x=18，

y=4.

三、整體思想

整體思想就是化零為整，化分散為集中，把一些看似彼此獨立，實質上緊密相連的量作為整體進行處理的一種解題策略.

【例3】 如圖3所示，已知⊙A，⊙B，⊙C，⊙D相互外離，它們的半徑都是1，順次連接四個圓心得到四邊形ABCD，則圖形中四個扇形（陰影部分）的面積之和為

A.2πB.πC.23πD.π2

解析：利用整體思想，四個扇形的圓心角之和為四邊形ABCD的內角之和，又因為四個圓的半徑都是1，所以陰影部分的面積之和為：S=360π×12360=π，故選（B）.

四、分類討論思想

分類討論思想就是按照一定的標準，把研究對象分成為數不多的幾個部分或幾種情況，然后逐個加以解決，最后予以總結得出結論的思想方法.其實質是化整為零，各個擊破的轉化策略.運用分類思想解題時，要做到“確定對象的全體，明確分類的標準，不重復、不遺漏”.

【例4】正比例函數y=2kx與反比例函數y=k-1x在同一平面直角坐標系中的圖像不可能是（）.

分析：因為一個函數關系式中k的取值范圍不確定，所以需要根據k的符號進行分類討論，從而找出不可能的圖像.

解：（1）當k-1>0，即k>1時，反比例函數的圖像在第一、三象限，正比例函數圖像過第一、三象限，即圖像可能是B；（2）當k-1<0，即k<1時，反比例函數的圖像在第二、四象限，正比例函數圖像可能過第一、三象限，也可能過第二、四象限，即圖像可能是A或C.故應選D.

五、數形結合思想

數學是研究數量關系與空間形式的學科，“數”與“形”以及它們的聯系與轉化，是數學的永恒主題.以坐標系為紐帶使函數的解析與函數圖像、方程與曲線建立了一一對應的關系，從而對數量關系的研究可轉化為對圖形性質的研究，反之亦然.既充分發揮了形的直觀性，又注意了數的嚴謹性.這種解決數學問題中的“數”與“形”的相互轉化，交互使用的技能，解決了數與形的兩面性，反映了數學的本質.

【例2】若a、b、c在數軸上對應的點如圖所示：

化簡：|a-b|+|b-c|-|c+a|.

解：由數軸可知：a-b<0，b-c>0，c+a<0，

∴原式=-（a-b）+（b-c）-[-（c+a）]

=-a+b+b-c+c+a

=2b.

（責任編輯黃桂堅）