淺談數形結合法的應用

數學是解決問題的科學，即數學的主要功能是解決問題，在解決一個具體問題或一個數學問題時，如何選擇較為恰當的方法直接影響著解題的速度和效率.有一種慣用的數學思想——數形結合，可以為我們解決某些問題帶來很大的好處，可以減少某些計算過程的麻煩，提高我們的解題速度和解題能力.因此，在教學過程中，貫穿數形結合的思想至關重要.

所謂數形結合就是把數、式與圖形結合起來，用代數的方法分析圖形；用圖形來直觀地理解數、式中的關系.換言之，數形結合就是將抽象的數學語言與直觀的圖像語言結合起來，使代數問題幾何化，幾何問題代數化.也可以簡單地理解為“形題數解”、“數題形解”.

定義中的兩個方面是對稱的，在學習中切忌厚此薄彼，由于學生在學習中，對于“用代數的方法分析圖形”比較注重，而對于“用圖形來直觀地理解數、式中的關系”卻很生疏.究其原因是沒有養成“用圖形研究數和式”的習慣.

下面我就結合函數的教學實際，談一下如何培養學生的數形結合能力.

提到“函數”教學，學生感到畏懼，教師也有無從下手之感；學生難學，教師難教.我認為原因有二，一是“函數”一詞是新詞，覺得陌生，教師在這之前也講得少，突然提到，學生在心理上沒有準備.其二，函數是“數”與“形”緊密的結合，改變了以前單純的“數”、“形”學習，一時還不能適應，從而造成函數教與學的兩大誤區：一是認為函數是一門獨立的數學科目，重數不重形；二是認為函數是研究圖形的，重形不重數.

我們知道，函數是把“數”和“形”連在一起的“紐帶”，貫穿于整個數學之中.可以說沒有函數，數學就是零碎的，不完整的.教學時，教師一定要利用好這條“紐帶”，把學生所學的知識串為一體.

在講一次函數的教學之前，就必須讓學生理解函數這一概念，認清函數的本質就是量與量之間的一種對應，這種對應關系我們從小就知曉，只不過沒有把它上升到數學層面.比如，我們看一本書，看得快，用的時間就少.很多事例都反應了量與量的這種對應關系，而一次函數就是這諸多對應關系中的一種特例.通過列舉一些一次函數關系的事例，概括出兩個變量x、y之間的共同特點：y=kx+b（k、b為常數，且k不為0）.在學習一次函數的性質和應用時，應該把一次函數與一元一次方程、一元一次不等式聯系起來，使學生深刻的認識到一元一次方程ax+b=0，就是一次函數y=kx+b在y=0時的特例，一元一次不等式ax+b>0，就是一次函數y=kx+b在y>0時的特例，二元一次方程組的解，就是兩個一次函數圖像的交點坐標.這樣形成了知識體系，既重視數，又重視形，誤區一自然就不會產生.

對于誤區二，實際上歪曲了“數”、“形”結合的數學思想，把數和形分割所致.要避免這一誤區，關鍵是理解函數的三種表示方法，認清解析法、列表法和圖像法的各自優點.函數的圖像只不過在研究函數的性質時，直觀性較強，所以常提及它.但并不能說圖像（形）比解析式（數）重要，解析式反應了變量之間的精確對應，它又是作圖的重要依據，它們相輔相成，被坐標系融為一體，本來就沒有輕重之分，誤區二也就迎刃而解.

全面搜集，綜合處理信息，構建解題思路，如果你注意觀察，許多代數結構都有它對應的幾何意義，可以將數與形巧妙地轉化.例如，將a>0與距離轉化，將a2與面積轉化，將a2+b2-2|a||b|cosθ（θ=60°或θ=120°）與余弦定理溝通，將a≥b≥c>0且b+c>a與三角形三邊溝通，將有序實數對（或復數）和點溝通，將二元一次方程和直線、將二元二次方程與圓錐曲線對應等，而用圖形研究數和式，卻常常能給問題的解決帶來新的希望.

總之，“數無形不直觀，形無數難入微”，見到數量就要考慮它的幾何意義，見到圖形就應考慮它的代數關系.數形結合思想主要體現在“數”和“形”的互相滲透和轉化，不論從“形”到“數”，還是從“數”到“形”的目的都是提供一種靈活的解題思路，平時要注意培養這種思想意識，爭取胸中有圖，見數想圖，以開闊自己的視野.

（責任編輯黃桂堅）