淺析求函數(shù)值域的幾種常用方法

求函數(shù)的值域是函數(shù)中的一個(gè)重要內(nèi)容， 在歷年的高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)，但教材中對(duì)求函數(shù)的值域所舉例題較少，為此許多學(xué)生對(duì)求函數(shù)值域感到很困難，它所涉及到的知識(shí)面廣，方法靈活多樣。若方法運(yùn)用適當(dāng)，就能起到簡(jiǎn)化運(yùn)算過程，避繁就簡(jiǎn)，事半功倍的作用。本文就這個(gè)問題，舉例說明幾種比較行之有效的求函數(shù)值域的方法。

一、直接觀察法

對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。

例1 ：求函數(shù)y=3-■的值域。

解：因?yàn)椤觥?，

所以-■≤0，3-■≤3，

故函數(shù)的值域是: （-∞，3]。

二、圖象法

利用函數(shù)的圖象，直觀地得出函數(shù)的值域。此方法廣泛應(yīng)用于一些分段函數(shù)的值域和求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域。其關(guān)鍵在于能否準(zhǔn)確作出函數(shù)的圖象。

例２：求函數(shù)y＝x■-x-6（如圖所示），x∈-2，4的值域。

解：由函數(shù)圖象得所求函數(shù)的值域?yàn)?6.25，6.

三、配方法

當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時(shí)，可以利用配方法求函數(shù)值域。其關(guān)鍵在于能否正確地將二次函數(shù)式配成完全平方式。

例３：求函數(shù)y=■的值域。

解：由-x■+x+2≥0，可知函數(shù)的定義域?yàn)閤∈[－1，2].此時(shí)-x■+x+2=-(x-■)■+■∈0，■，所以0≤■≤■，函數(shù)的值域是0，■。

四、判別式法

若函數(shù)式為分式結(jié)構(gòu)，分子分母均為二次式，且函數(shù)的定義域?yàn)镽，則可用此法.通常先將分式轉(zhuǎn)化為一元二次方程，再由?駐≥0，確定y的范圍，即得原函數(shù)的值域.

例4：求函數(shù)y=■的值域。

解：函數(shù)的定義域?yàn)镽（∵?駐=(-1)■-4×1×1）=-3＜0，∴x■-x+1＞0恒成立).原函數(shù)化為關(guān)于x的一元二次方程為(y-1)x■+(1-y)x+y=0，由x∈R知上述方程一定有解，所以

（1）當(dāng)y≠1時(shí)，?駐=(1-y)■-4y(y-1)≥0，

解得-■≤y≤1。

（2）當(dāng)y=1時(shí)，1≠0，故y≠1。

綜上，原函數(shù)的值域?yàn)閇-■，1)。

評(píng)注：把函數(shù)關(guān)系化為二次方程F(x，y)=0，由于方程有實(shí)數(shù)解，故其判別式為非負(fù)數(shù)，可求得函數(shù)的值域.常適應(yīng)于形如y=■的函數(shù)。

五、換元法

通過簡(jiǎn)單的換元把一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單函數(shù)，常用代數(shù)代換或三角代換法，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，如y=ax+b±■（a，b，c，d均為常數(shù)，且ac≠0）等。

例5 ：求函數(shù)y=x+■的值域。

解：令■=t(t≥0)，則x=t■+1，

所以y=t■+t+1=(t+■)■+■.又t≥0，

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知原函數(shù)的值域?yàn)閇1，+∞)。

六、函數(shù)單調(diào)性法

首先確定函數(shù)的定義域，然后再根據(jù)函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)性求值域.常用到函數(shù)y=x+■(p＞0)的單調(diào)性：增區(qū)間為(-∞，-■]和[■，∞)，減區(qū)間為[-■，0]和[0，■]。

例6：求函數(shù)y=2■+log■■(2≤x≤10)的值域。

解：令y■=2■，y■=log■■，

則y■，y■在[2，10]上都是增函數(shù)，

所以y=y■+y■在[2，10]上是增函數(shù)。

當(dāng)x=2時(shí)，y■=2■+log■■=■；

當(dāng)x=10時(shí)，y■=2■+log■■=33，

故所求函數(shù)的值域?yàn)椋骸觯?3。

例7：求函數(shù)y=x+■，x∈(0，5]的值域。

解：原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y＇=1-■，其單調(diào)遞增區(qū)間為[■，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，■]，故原函數(shù)在x=■處取得最小值2■，在x=5處取得最大值■，所以原函數(shù)的值域?yàn)閇2■，■]。

七、分離常數(shù)法

此方法適用于分式型函數(shù)，且分子、分母是同次，如y=■（a，b，c，d是常數(shù)，且ac≠0），這時(shí)通過拼湊，將分子進(jìn)行常數(shù)分離。

例8：求函數(shù)y=■的值域。

解：由y=■=1-■≠1，可得值域y｜y≠1。

評(píng)注：此題也可利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域，即反函數(shù)法。

八、函數(shù)有界性法

利用函數(shù)的有界性：形如sinα=f（x），x■=g（y），因?yàn)閟inα≤1，x■≥0，可解出y的范圍，從而求出其值域或最值.

例９：求函數(shù)y=■的值域。

解：由原函數(shù)式可得e■=■，

∵e■＞0，

∴■＞0，

解得-1＜y＜１。

故所求函數(shù)的值域?yàn)?-1，1)。

總之，在具體求某個(gè)函數(shù)的值域時(shí)，首先要仔細(xì)、認(rèn)真觀察其題型特征，然后再選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ话銉?yōu)先考慮直接觀察法，函數(shù)單調(diào)性法和圖象法，然后才考慮用其他各種特殊方法。

【責(zé)編 馮立偉】