初中平面幾何總復習之我見

摘要：平面幾何是初中數學的重要內容。搞好平面幾何的總復習， 一要通過基本例題的講解分析，復習好基礎知識；二要通過典型例題的講解分析，培養學生分析和解決問題能力。這樣才有利于引導學生歸納知識，培養能力。

關鍵詞：初中；平面幾何；總復習

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 B 【文章編號】 1671-1297（2012）08-0135-02

平面幾何是初中數學的重要組成部分，是培養學生邏輯思維能力的重要學科。初三總復習，時間緊，內容多。那么，在平面幾何總復習中，應如何指導初三學生將所學的平面幾何知識作全面而系統地復習，達到進一步理解、掌握、實踐之目的呢？筆者就這一問題，結合教學實踐談談淺見。

一 通過基本例題的講解分析，復習基礎知識

這一階段的復習，以原來數學課本的章節為單位進行為宜。教師備課時，先把要復習的知識進行系統歸納，簡單復述，然后圍繞歸納出來的知識點，講解一些基本例題以鞏固。這些例題不宜太難，涉及面也不宜太廣，一定要突出所復習的知識點，下面以復習兩直線平行為例作一個說明。

1.歸納基本知識點

⑴如圖①示，a∥b，b∥c， 則a∥c。

⑵如圖②示，直線 a，b被直線c 所截，若∠1=∠4或∠2=∠3或 ∠1+∠3=180則a∥b。

⑶平行四邊形的兩組對邊分別平行；三角形的中位線平行于它的第三邊；梯形的中位線平行于它的兩底。

⑷如圖③示：若 = 或 = 則DE//BC。

圖① 圖② 圖③

上述知識雖已學過，但不是集中在一起，復習時就應把它們歸納集中起來，并給予簡單證明。

2.基礎知識的應用

僅僅靠歸納，把學過的知識在學生面前重現一次是不夠的，主要還是通過應用，使知識得以鞏固和掌握。

例1：如圖⑴，在平行四邊形ABCD中，E﹑F分別在AB﹑CD上，且BE=DF，求證：AF∥CE。

分析：由BE=DF，四邊形ABCD是平行四邊形，易證AE∥CF且AE=CF，因此，得到平行四邊形AECF，所以AF∥CE。

例2：如圖（2），在△ABC中，E是BC中點，D是△ABC內一點且AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足為D。

求證：DE∥AB

略證：延長CD交AB于F，由已知條件易證：△ADF≌△ADC

∴CD=FD，又E是BC中點，所以DE∥AB。

圖（1） 圖（2）

通過上述例題分析講解，學生就能掌握證明兩條直線平行的各種方法，碰到問題時，才會找出多種途徑去解決。

二 通過典型例題的講解分析，培養學生分析和解決問題的能力

這一階段，主要通過精選例題，著重在于分析，側重于培養學生如何分析去尋找解題途徑。用綜合法來簡述證明過程，復習時，應注意以下幾點。

1.精選例題，以點帶面

復習時，例題應選擇最有代表性，能突出教材重點，反映大綱基本要求的題目，注意發揮例題以點帶面的功能，并有意識對例題進行變式，挖掘問題的內涵和外延，提高思維的深度和廣度，培養學生隨問題變化而變化的應變能力。力爭“講一題，學一法，會一類，通一片?！币赃_到觸類旁通，舉一反三的目的。變化的基本方法有：①變化解題方法，訓練發散思維；②對例題﹑習題進行變化，作出類比，推測引伸；③題型變化，把封閉式變為開放式，證明題變為計算題；④變問題情境，變圖形位置﹑度數和符號等。

例如， 復習“直線和圓的位置關系時，”舉一例：如圖（1）經過⊙O上，點A和切線和弦BC的延長線相交于D，求證：∠BAD=∠ACD

引導學生分析解答后，再進行如下變化。

變式1：變“證角相等”為“求角度”或“求線段長”。

①如圖⑴，△ABC中，AB=AC，∠B=42 ，AD是△ABC的外接圓切線，且過BC的延長線于D，則∠D= ________度。

②如圖⑴，已知AD是△ABD外接圓的切線，并交BC的延長線于D，若AD= +1，CD=2，求BC的長。

變式2：變證題方法或引伸命題結論。

①如圖⑴，△ABC內接于 ⊙O，過A作⊙O切線交BC延長線于D，試用三種不同方法，證明：△ABD∽△CAD。

②已知同上，求證：AC ：AB =CD∶BD。

圖（1）

變式3：增加題設條件，變“單一題”為“綜合題”。

①如圖（2），已知⊙O的弦BC的延長線和切線PA交于點P，A為切點，E是AB中點，PE交AC于D，求證：PA ：PC =DA∶DC

②如圖（3），過⊙O外一點P引兩切線PA，PB，切點為A﹑B，割線PCD，交⊙O于D，求證：AC.BD=BC.AD

圖（2） 圖（3）

變式4：變封閉式習題為“開放式習題”。

如圖（4），AD切⊙O于A，BD經過O， AE⊥BD，垂足為E，根據圖形得出一些不同線段，比例式（至少寫出10個）

圖（4）

這樣，通過“變中抓不變”的變式訓練，不僅有利于學生更加直接接觸及數學問題的實質，溝通知識間的內在聯系，還可提高學生的觀察分析能力，激發學習興趣。

2.分析法綜合法是解決幾何證明題的兩種基本方法

目前，許多學生在證明幾何題目時，思路較敏捷，但表達能力較差，難以有條理地把證明過程表述出來.所以教師復習時，一般應把分析法和綜合法并起來應用，對于一個問題先用分析法尋求解決，然后用綜合法有條理去表述出來。

例如圖（1），在△ABC中， ∠ACD=90 ，M是AB中點，DM⊥AB交BC于D，交AC的延長線于E，求證：MC =MD.ME。

分析：要證MC =MD.ME 只須證：△MCE∽△MDC.

只須證：∠E=∠1（本題關鍵所在，要求學生思考）

由已知條件可證： ∠1=∠B， ∠B=∠E 所以∠E=∠1。

圖（1）

分析完后，教師應總結證明三角形相似的基本方法及證明比例式和等式常見的方法。

3.通過一題多解，提高學生解題能力和解題速度

平面幾何的證明千變萬化，不可能窮盡所有的幾何題，一題多解可以幫助學生把所學的知識連貫起來并能熟練地運用所學知識去分析和解決問題。

例：九年級上冊數學課本練習題：△ABC中， ∠B=90 、以AB為直徑的⊙O交AC于E，D是BC的中點。求證：DE是⊙O的切線

證法一：如圖（2）連接OE、OD。易證：OD∥AC

所以∠2=∠3、∠1=∠A又OA=OE

所以∠A=∠3 ∠1=∠2 這樣易證： △OBD≌△OED

∴∠OED=∠OBD=90 ∴DE是⊙O的切線.

圖（2）

證法二：如圖（3）. 連接OE、BE.由AB是直徑

∴BE⊥AC 又D是BC中點， ∴ DE= BC=DB

∴∠DEB=∠DBE又 OB=OE∴∠OBE=∠OEB

∴∠DEB +∠OEB =∠DBE+∠OBE =90 即∠OED=90

∴DE是⊙O切線。

圖（3）

一題多解，溝通了不同知識的聯系，拓寬了學生知識面，引導學生進行發散思維，從中找到簡捷的解題方法。

總之，復習課是針對性相當強的課，它既要考慮彌補學生不足，又要幫助學生提高綜合分析解決問題的能力；既要復習學過的公理﹑定理﹑法則，又要加強對學生思維能力的培養。因此，只有重視幾何復習課例題的選編和講解，查缺補漏，分析比較，才能引導學生歸納知識，培養能力。