微元法應用

摘要 微元法是將積分應用于求解實際問題的重要工具，是將實際問題抽象成定積分非常實用的方法，文章通過分析方法的理論背景、方法的推導、方法的應用，引導學生尋找“微元”，學會用“微元法”解決定積分的應用問題。

關鍵詞 微元法 積分

中圖分類號：O13 文獻標識碼：A

微元法是分析、解決物理數學問題中的常用方法，是從部分到整體的思維方法。該方法可以使一些復雜的物理數學過程用我們熟悉的物理規律迅速地加以解決，使所求的問題簡單化。在使用微元法處理問題時，需將其分解為眾多微小的“元”，而且每個“元”所遵循的規律是相同的，這樣，我們只需分析這些“元”，然后再將“元”進行必要的數學方法或物理思想處理，進而使問題求解。

一、微元法的理論背景

在同濟大學所編的《高等數學》“定積分的應用”一章里介紹了微元法 （也稱元素法 ） ，應用微元法可將一些幾何、物理等實際問題轉化為定積分來計算。.微元法的理論是建立在如下基礎之上的：二、微元法

微元法一般解題思路如下：

將研究對象或過程無限分割，或假設研究對象發生微小的變化，被選的微元應具有整體研究對象所具有的特征。

從微元入手，以某個微元為研究對象，或以某個微小變化為研究過程，找出所選微元或微小變化所遵循的物理規律，列出對應的物理方程。

找出微元對象與整個物理現象或微元過程與整個物理過程之間的隱含關系，列出對應的數學關系式，求解整體物理量。

微元的選取應遵循的規則：

（1）所選取的微元必須具有代表性，即微元應具有物體的某些物理特征，并代表物體的受力特征，運動特征，狀態變化特征等。（2）所選取的微元必須與所求物理量相關聯，這樣才能通過研究微元得到問題的解。

（3）所選取的微元要盡量簡單，這樣有助于建立簡單的數學物理模型，易于研究分析。

三、微元法在物理數學中的應用。

（一）利用高斯公式推證阿基米德原理。

浸沒在液體中的物體所受液體的壓力的合力（即浮力）的方向鉛直向上、其大小等于這物體所排開的液體的重力。

證明：取液面為xoy面，z軸沿鉛直向下，設液體的密度為 ，在物體表面∑上取微元dS上一點，并設∑在點（x，y，z）處的外法線的方向余弦為cos ，cos ，cos ，則dS所受液體的壓力在坐標軸x，y，z上的分量分別為：

（二）微元法在數學中的應用。

這是因為不是 的高階的無窮小。

“微元法”是分析、解決物理問題的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。利用“微元法”處理問題，將復雜的物理過程分解為眾多微小的、遵循相同規律的微，微元可以是一小段線段、圓弧、一小塊面積、一個小體積、小質量、一小段時間……，從而將非理想數學物理模型變成理想數學物理模型，然后利用必要的數學和物理方法處理微元，從而解決問題。□

（作者單位：三峽大學理學院）

參考文獻：

[1]王榮乾，余小飛.正確使用微元法解決旋轉體的側面積問題.數學學習與研究（教研版），第2期，105，2009.

[2]同濟大學數學系.高等數學.高等教育出版社.