微元法應(yīng)用

摘要 微元法是將積分應(yīng)用于求解實(shí)際問(wèn)題的重要工具，是將實(shí)際問(wèn)題抽象成定積分非常實(shí)用的方法，文章通過(guò)分析方法的理論背景、方法的推導(dǎo)、方法的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生尋找“微元”，學(xué)會(huì)用“微元法”解決定積分的應(yīng)用問(wèn)題。

關(guān)鍵詞 微元法 積分

中圖分類號(hào)：O13 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

微元法是分析、解決物理數(shù)學(xué)問(wèn)題中的常用方法，是從部分到整體的思維方法。該方法可以使一些復(fù)雜的物理數(shù)學(xué)過(guò)程用我們熟悉的物理規(guī)律迅速地加以解決，使所求的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。在使用微元法處理問(wèn)題時(shí)，需將其分解為眾多微小的“元”，而且每個(gè)“元”所遵循的規(guī)律是相同的，這樣，我們只需分析這些“元”，然后再將“元”進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)方法或物理思想處理，進(jìn)而使問(wèn)題求解。

一、微元法的理論背景

在同濟(jì)大學(xué)所編的《高等數(shù)學(xué)》“定積分的應(yīng)用”一章里介紹了微元法 （也稱元素法 ） ，應(yīng)用微元法可將一些幾何、物理等實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為定積分來(lái)計(jì)算。.微元法的理論是建立在如下基礎(chǔ)之上的：二、微元法

微元法一般解題思路如下：

將研究對(duì)象或過(guò)程無(wú)限分割，或假設(shè)研究對(duì)象發(fā)生微小的變化，被選的微元應(yīng)具有整體研究對(duì)象所具有的特征。

從微元入手，以某個(gè)微元為研究對(duì)象，或以某個(gè)微小變化為研究過(guò)程，找出所選微元或微小變化所遵循的物理規(guī)律，列出對(duì)應(yīng)的物理方程。

找出微元對(duì)象與整個(gè)物理現(xiàn)象或微元過(guò)程與整個(gè)物理過(guò)程之間的隱含關(guān)系，列出對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，求解整體物理量。

微元的選取應(yīng)遵循的規(guī)則：

（1）所選取的微元必須具有代表性，即微元應(yīng)具有物體的某些物理特征，并代表物體的受力特征，運(yùn)動(dòng)特征，狀態(tài)變化特征等。（2）所選取的微元必須與所求物理量相關(guān)聯(lián)，這樣才能通過(guò)研究微元得到問(wèn)題的解。

（3）所選取的微元要盡量簡(jiǎn)單，這樣有助于建立簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)物理模型，易于研究分析。

三、微元法在物理數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

（一）利用高斯公式推證阿基米德原理。

浸沒(méi)在液體中的物體所受液體的壓力的合力（即浮力）的方向鉛直向上、其大小等于這物體所排開的液體的重力。

證明：取液面為xoy面，z軸沿鉛直向下，設(shè)液體的密度為 ，在物體表面∑上取微元dS上一點(diǎn)，并設(shè)∑在點(diǎn)（x，y，z）處的外法線的方向余弦為cos ，cos ，cos ，則dS所受液體的壓力在坐標(biāo)軸x，y，z上的分量分別為：

（二）微元法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

這是因?yàn)椴皇?的高階的無(wú)窮小。

“微元法”是分析、解決物理問(wèn)題的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。利用“微元法”處理問(wèn)題，將復(fù)雜的物理過(guò)程分解為眾多微小的、遵循相同規(guī)律的微，微元可以是一小段線段、圓弧、一小塊面積、一個(gè)小體積、小質(zhì)量、一小段時(shí)間……，從而將非理想數(shù)學(xué)物理模型變成理想數(shù)學(xué)物理模型，然后利用必要的數(shù)學(xué)和物理方法處理微元，從而解決問(wèn)題。□

（作者單位：三峽大學(xué)理學(xué)院）

參考文獻(xiàn)：

[1]王榮乾，余小飛.正確使用微元法解決旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積問(wèn)題.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究（教研版），第2期，105，2009.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué).高等教育出版社.