淺談中學(xué)生的數(shù)學(xué)能力及培養(yǎng)

一 數(shù)學(xué)能力的概念

究竟什么是數(shù)學(xué)能力，許多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育學(xué)家對此給出過不同的答案。恩格斯在《反杜林論》中指出：“純數(shù)學(xué)的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和量的關(guān)系，所以是非常現(xiàn)實的材料。”恩格斯的說法是，數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)能力是思維作用于數(shù)量關(guān)系、空間形式、數(shù)與形相結(jié)合的特定數(shù)學(xué)材料的具體表現(xiàn)，也就是思維對數(shù)學(xué)知識的實際操作。前蘇聯(lián)學(xué)者克魯切茨基說過：“數(shù)學(xué)能力是運用數(shù)學(xué)材料去形成它們的概括的靈活的可逆的聯(lián)想的和系統(tǒng)的能力。”教學(xué)新課標(biāo)也要求“具有正確迅速的運算能力、一定的邏輯思維能力和一定的空間想象能力，從而逐步地培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力”。

二 培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的前提是訓(xùn)練數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)能力不是人們天生就有的，而是在人們的生活、學(xué)習(xí)和工作中不斷形成的。而學(xué)習(xí)階段尤其是中學(xué)階段是人們形成數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)和關(guān)鍵時期。在學(xué)習(xí)階段，數(shù)學(xué)能力的形成則是與數(shù)學(xué)思想的嚴格訓(xùn)練密切相關(guān)的。搞好數(shù)學(xué)思想的嚴格訓(xùn)練，是提高數(shù)學(xué)能力的重要保證。

1．訓(xùn)練數(shù)學(xué)思想，提高數(shù)學(xué)能力

核心是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力，這是由于數(shù)學(xué)的高度抽象性決定的。邏輯思維能力的培養(yǎng)，首先可以通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識本身達到，這是最重要的途徑；其次可以通過邏輯知識的學(xué)習(xí)得到。從傳統(tǒng)的觀點看，邏輯思維能力包括判斷能力、邏輯推理能力、建立數(shù)學(xué)模型能力和分析數(shù)學(xué)解題能力。詳述如下：

（1）培養(yǎng)數(shù)學(xué)判斷能力。判斷是對客觀事物情況有所斷定的思想。數(shù)學(xué)判斷主要是對事物的空間形狀和數(shù)量關(guān)系有所肯定和否定的思維。這種判斷要兼用分析和綜合的方法。先應(yīng)用分析，把命題分為部分，找出已知和未知，化整為零，找出已知與未知的聯(lián)系紐帶。然后用綜合的方法把證題的全過程寫出來。以上過程都涉及數(shù)學(xué)概念、辯證思維和聯(lián)想思維。聯(lián)想越多，記憶越牢，思路就越開闊，判斷能力也就越強。所以，數(shù)學(xué)判斷能力的培養(yǎng)要靠經(jīng)常、嚴格的訓(xùn)練。

判斷貫穿整個數(shù)學(xué)中，判斷力是解決數(shù)學(xué)問題的一種關(guān)鍵能力，而判斷與推理又緊密聯(lián)系在一起。

（2）培養(yǎng)邏輯推理能力。推理，就本質(zhì)而言，是由條件得出結(jié)論這一過程，就是要根據(jù)題目中的條件，運用有關(guān)數(shù)學(xué)概念、定義、公理和定理等進行邏輯推理，逐步推出結(jié)論。其目的培養(yǎng)是多方面的，主要包括歸納推理和類比推理能力的培養(yǎng)。

歸納推理能力的培養(yǎng)是一種綜合邏輯思維能力的培養(yǎng)。歸納推理是由個別的事物或現(xiàn)象推出該類事物或現(xiàn)象的普遍性規(guī)律的推理。許多數(shù)學(xué)概念、公理、定理等就是經(jīng)過歸納推理得出。通過具體數(shù)學(xué)問題來培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理相同，推出它們在其他屬性上相同的一種邏輯推理方法。一些數(shù)學(xué)公式、運算法則、定理等就是經(jīng)過類比推理得出。通過具體數(shù)學(xué)問題來培養(yǎng)學(xué)生的類比推理能力，無疑會使學(xué)生學(xué)習(xí)變被動為主動，而且會學(xué)得更好記得更牢。

推理能力的培養(yǎng)，要注意三個方面的問題。首先，要看清題意，分清已知和未知（有些問題還要將其“轉(zhuǎn)譯”為數(shù)學(xué)語言）；其次，掌握推理格式和一些基本的證明方法，如分析法、反證法、歸納法等；最后，積累證題思路。所謂證題思路，就是溝通已知與未知的橋梁，即方法。如平面幾何中在證明線段相等問題時，可利用比例、兩條線段都等于第三條線段、全等三角形對應(yīng)邊相等、等腰三角形兩腰相等及弦、弧等有關(guān)定理。這些方法的積累，無疑開拓了我們的思路，起到了“舉一反三”的作用。

（3）培養(yǎng)建立數(shù)學(xué)模型能力。現(xiàn)實生活中大量問題都與數(shù)學(xué)有關(guān)。如工業(yè)、建筑設(shè)計、證券股票、計劃生育、人口普查等。要研究它們，必須從大量資料中提取數(shù)據(jù)，定性、定量、詳細地加以研討。將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，在某種意義上說就是建立數(shù)學(xué)模型。通過具體實例培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)對問題的分析建立數(shù)學(xué)模型的能力，不僅使學(xué)生更好地掌握所學(xué)數(shù)學(xué)知識，也了解了一些解決實際問題的方法，有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

（4）培養(yǎng)分析數(shù)學(xué)解題能力。培養(yǎng)學(xué)生分析數(shù)學(xué)解題能力也是非常重要的。如在一塊三角形的廢料上如何切割出一個最大面積的正方形；對一項工程如何合理分配人力和物力才能省工、省時、省力、省料等職中生很實用的知識。培養(yǎng)學(xué)生分析數(shù)學(xué)解題的能力對其今后進一步學(xué)習(xí)和工作大有裨益。

2．訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)能力，還要注意培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的運算能力和空間想象能力

運算能力是數(shù)學(xué)的基本能力。數(shù)學(xué)運算貫穿整個數(shù)學(xué)學(xué)科，不僅是自然科學(xué)和社會科學(xué)強有力的工具，在日常生活中也廣泛應(yīng)用。數(shù)學(xué)運算的實質(zhì)是根據(jù)運算定義及性質(zhì)，利用數(shù)據(jù)推導(dǎo)出結(jié)果。因此，學(xué)好有關(guān)運算的基礎(chǔ)知識是形成正確迅速的運算力的根本。

空間想象能力可充分體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的思維作用。思維從問題開始，想象力是思維活動的翅膀。空間想象可看做是全部數(shù)學(xué)中的形象思維，和邏輯思維相輔相成，通過邏輯思維，由具體到抽象，又通過空間想象，由抽象回到具體。于是，空間想象能力便可通過數(shù)形結(jié)合和空間圖形的學(xué)習(xí)來培養(yǎng)。培養(yǎng)學(xué)生具有空間想象能力可更好地促進其思維發(fā)展，充分發(fā)揮其創(chuàng)造才能。

總之，數(shù)學(xué)能力是多方面的。提高數(shù)學(xué)能力，非一日之功，是一項長久而艱巨的工作，要靠嚴格的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練才能打好基礎(chǔ)達到目的，才能全面、更好地提高一個人的能力和素質(zhì)。

三 數(shù)學(xué)教學(xué)中需重視培養(yǎng)的學(xué)生能力

教學(xué)實踐中，要始終抓住課本這個“綱”，在課本教學(xué)上狠下工夫。通過幾年教學(xué)實踐，筆者總結(jié)主要應(yīng)抓好學(xué)生以下幾方面的能力培養(yǎng)。

1．重視課本概念的閱讀，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力

中學(xué)生往往缺乏閱讀數(shù)學(xué)課本的習(xí)慣，這除了數(shù)學(xué)難以讀懂外，另外一個原因是許多數(shù)學(xué)教師在講課時，也很少閱讀課本，喜歡滔滔不絕地講，滿黑板地寫，使學(xué)生產(chǎn)生依賴性。數(shù)學(xué)課本是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的載體，課堂上指導(dǎo)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)課本，不僅可以正確理解書中的基礎(chǔ)知識，同時，可以從書中字里行間挖掘更豐富的內(nèi)容，此外，還可以發(fā)揮課本使用文字、符號的規(guī)范作用，潛移默化培養(yǎng)和提高學(xué)生準(zhǔn)確說練的文字表達能力和自學(xué)能力。

重視閱讀數(shù)學(xué)課本，首先要教師引導(dǎo)，應(yīng)讓學(xué)生翻開課本，教師按課本原文逐字、逐句、逐節(jié)閱讀。在閱讀中，讓學(xué)生反復(fù)認真思考，對書中敘述的概念、定理、定義中有本質(zhì)特征的關(guān)鍵詞句要仔細品味，深刻理解其語意，要讀出書中的要點、難點和疑點，讀出字里行間所蘊含的內(nèi)容，讀出從課文中提煉的數(shù)學(xué)思想、觀點和方法。教師在課堂上閱讀數(shù)學(xué)課本，不僅可以節(jié)省不必要的板書時間，而且可以防止因口誤、筆誤所產(chǎn)生的概念錯誤，從而使學(xué)生能準(zhǔn)確地掌握課本知識，提高課堂效率。

2．挖掘課本隱含知識，培養(yǎng)學(xué)生的研究能力

高中數(shù)學(xué)新教材中知識點的抽象性和隱含性比其他學(xué)科顯得更為突出，數(shù)學(xué)中的知識點要通過思維和邏輯推理才能揭示，由于學(xué)生受思維和推理能力的限制，以及沒有閱讀數(shù)學(xué)課本的習(xí)慣，許多學(xué)生對數(shù)學(xué)教材看不懂、不理解。為了完成中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)目的和任務(wù)，教師要認真鉆研和熟悉教材，把蘊藏在教材中那些隱含的知識點挖掘出來，幫助學(xué)生理解教材和掌握教材以培養(yǎng)學(xué)生的研究能力。

例如，判斷函數(shù)的奇偶性的等式f（－x）=f（x），f（－x）=－f（x）就隱含著定義域關(guān)于原點對稱這個前提，而學(xué)生往往忽視這個重要前提而導(dǎo)致失誤。經(jīng)過教師對教材隱含知識的挖掘，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，增加了學(xué)生探索問題、研究問題的能力。

3．剖析課本例題，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力

教材中所選的例題都是很典型的，是經(jīng)過精選，具有一定的代表性的。例題教學(xué)占有相當(dāng)重要的地位，搞好例題教學(xué)，特別是搞好課本例題的剖析教學(xué)，不僅能加深對概念、公式、定理的理解，而且對培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力以及抽象思維能力等方面，能發(fā)揮其獨特的功效。

4．歸納課本知識，培養(yǎng)學(xué)生的概括能力

教師在授完一節(jié)或一章內(nèi)容后，要根據(jù)教材的特點，有重點地對課本知識進行深入淺出的歸納，這種歸納不是概念的重復(fù)和羅列，也不同于單元復(fù)習(xí)，而是源于課本又高于課本的一種知識概括。“概括”需要有一定的思維能力，這種能力不同于其他的思維能力，它是通過對眾多事物的觀察以及對許多知識的提煉而得出的條理化、規(guī)律化的東西，經(jīng)過概括的知識易記、易懂。對實用知識的歸納、概括不僅是學(xué)習(xí)的需要，而且在未來的工作實踐中，這種概括能力也是不可缺少的，教師要在教學(xué)中逐步培養(yǎng)學(xué)生這種能力，以適應(yīng)未來社會工作的需要，這也是素質(zhì)教育一個方面。

〔責(zé)任編輯：王以富〕