抽象函數圖像的對稱性與周期性初探

抽象函數f（x），由于不知道其解析式，因而不能畫出其圖像的全貌，對它的研究成了中學生學習的一個難點.本文介紹有關抽象函數圖像對稱性與函數周期性的幾個定理，幫助同學們提高解決此類函數問題的能力.

一、對稱性

定理1：函數y=f（x）圖像關于點A（a，b）對稱的充要條件是f（x）+f（2a-x）=2b恒成立.

證明：在y=f（x）圖像上任取一點，設為P（x，y），則y=f（x）.點P（x，y）關于點A（a，b）的對稱點為P′（2a-x，2b-y）.

1.必要性

若y=f（x）圖像關于點A（a，b）對稱，則點P′也在y=f（x）圖像上，∴2b-y=f（2a-x），又y=f（x），∴f（x）+f（2a-x）=2b成立.由P點的任意性得f（x）+f（2a-x）=2b恒成立.

2.充分性

若f（x）+f（2a-x）=2b恒成立，則f（x）+f（2a-x）=2b，∴2b-y=f（2a-x），∴點P′也在y=f（x）圖像上.由P點的任意性得y=f（x）圖像關于點A對稱.

說明：f（x）+f（2a-x）=2b有許多等價形式，如f（a+x）+f（a-x）=2b，應用時關鍵看橫坐標之和、縱坐標之和皆為常數.

以上證法是證明函數圖像對稱性的一般方法，以后幾個結論可以仿此證明.

推論：函數y=f（x）圖像關于原點對稱的充要條件是f（x）+f（-x）=0恒成立（即函數為奇函數）.

定理2：函數y=f（x）圖像關于直線x=a對稱的充要條件是f（x）=f（2a-x）恒成立.

說明：f（x）=f（2a-x）也有許多等價形式，如f（a+x）=f（a-x），應用時關鍵看橫坐標之和為常數、縱坐標相等.

推論：函數y=f（x）圖像關于y軸對稱的充要條件是f（x）=f（-x）恒成立（即函數為偶函數）.

例1.如果二次函數y=f（x）滿足f（3+x）=f（3-x），且方程f（x）=0有兩個實根x、x，那么x+x=（ ）

A. 0 B.3 C.6 D.不能確定

解析：∵f（3+x）=f（3-x），∴f（x）圖像關于直線x=3對稱（定理2），∴f（x）圖像與x軸兩交點關于直線x=3對稱，∴x+x=6，故選C.

例2.設f（x）是定義在R上的函數，F（x）=f（x）-f（a-x），求證：y=F（x）圖像關于點（a/2，0）中心對稱.

解析：仿定理1的證明.在y=F（x）圖像上任取一點P（x，F（x）），它關于（a/2，0）的對稱點為（a-x，-F（x））.∵F（a-x）=f（a-x）-f[a-（a-x）]=f（a-x）-f（x）=-F（x），∴點P′也在y=F（x）圖像上.由P點的任意性得結論成立.

二、周期性

定理3：若函數y=f（x）恒滿足下列條件之一，則它是周期函數.|2T|是它的一個周期.

（1）f（x+T）=-f（x）；（2）f（x+T）=；（3）f（x+T）=-；（4）f（x+T）=；（5）f（x+T）=，其中T≠0.

下面對第四個進行證明，其他類似，請同學們自己完成.

（4）證明：∵f（x+2T）=f[（x+T）+T]===f（x），又T≠0，∴|2T|是f（x）的一個周期.

例3.f（x）是R上的偶函數，且滿足f（x+2）=-，當2≤x≤3時，f（x）=x，那么f（5.5）= .

解析：由f（x+2）=-，根據定理3，得4為f（x）的一個周期.∴f（5.5）=f（5.5-8）=f（-2.5）=f（2.5）=2.5.

三、對稱性與周期性

定理4：若函數y=f（x）圖像滿足下列條件之一，則y=f（x）是周期函數.其中前兩個的一個周期為2|a-b|，第三個為4|a-b|.

（1）同時關于點A（a，c）和點B（b，c）（a≠b）中心對稱.

（2）同時關于直線x=a和直線x=b（a≠b）軸對稱.

（3）既關于點A（a，c）中心對稱，又關于直線x=b（a≠b）軸對稱.

下面對第三條進行證明，其他類似.

（3）證明：∵y=f（x）圖像關于點A（a，c）中心對稱

∴f（x）+f（2a-x）=2c①

∵y=f（x）圖像關于直線x=b軸對稱

∴f（2a-x）=f[2b-（2a-x）]=f（2b-2a+x）②

②代入①得

f（x）+f（2b-2a+x）=2c③

把上式中x換成2b-2a+x得f（2b-2a+x）+f（4b-4a+x）=2c④

由③④得f（x）=f（4b-4a+x）

∵a≠b

∴4b-4a≠0

∴4|a-b|為f（x）的一個周期.

例4.設函數f（x）在（-∞，+∞）上滿足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），則函數y=f（x）的一個周期為 .

解析：由f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），根據定理2得函數y=f（x）的對稱軸為x=2和x=7.再根據定理4得y=f（x）的一個周期為T=2|7-2|=10.

例5.f（x）是定義在R上的奇函數，且滿足f（x-2）=-f（x），給出下列4個結論：①f（2）=0；②f（x）是以4為周期的函數；③f（x）圖像關于y軸對稱；④f（x+2）=f（-x），其中正確結論的序號是 .

解析：①在f（x-2）=-f（x）中令x=2得f（0）=-f（2）；又f（x）是奇函數，∴f（0）=0∴f（2）=0正確；②根據定理3知一個周期為4正確；③若正確，則f（x）又為偶函數，應有f（x）恒為0，∴不正確；④根據周期為4，∴f（x+2）=f（x-2），再根據題設f（x-2）=-f（x），∴f（x+2）=-f（x）=f（-x）正確.因此答案是①②④.