妙用向量解立體幾何例談

立體幾何是高考數學中的必考點，用傳統的立體幾何解決，過程復雜，難度較大.解題中往往一要作圖，二要證明，需要較強的空間思維能力和邏輯思維能力.若能巧用向量，則思路簡單，解法固定，簡捷方便，可以不用作圖直接計算或證明.下面列舉幾例進行說明，供大家參考.

一、巧用向量求空間距離

1.立體幾何中的點面距離、線面距離、面面距離可用某一向量在法向量上的射影長d來求解，即公式d=解決.如圖1，其中為A（或線、面上任一點）與平面α上的任意一點連線所構成的向量.

例1.（2012山東卷改編）在如圖2所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF.求點F到平面AED的距離.

解：如圖，過C作垂直于平面FCDE的直線為x軸，以DC，CF為y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標系C-xyz.

設CF=CB=CD=1，則有：F（0，0，1），D（0，-1，0），B（，，0）.由等腰梯形ABCD，∠DAB=60°，CD=CB可得∠CDB=30°，于是∠ADB=90°，即AD⊥BD，而已知AE⊥BD，所以BD⊥平面AED，則為平面AED的法向量=（，，0）.

設向量在法向量上的射影長為d，即F到平面AED的距離，則：

d===.

2.立體幾何中兩點間的距離，可用向量模長公式來求解，即公式||=，這里的坐標為（x，y，z），表示所求線段的向量.

例2.（2011江蘇卷）如圖3，在正四棱柱ABCD-ABCD中，AA=2，AB=1，點N是BC中點，點M在CC上.設二面角A-DN-M的大小為θ，

（1）當θ=90°時，求AM的長；

（2）當cosθ=時，求AM長.

解：以DA、DC、DD分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，設CM=t（0≤t≤2），則各點坐標為：A（1，0，0），A（1，0，2），N（，1，0），M（0，1，t），所以=（，1，0），=（0，1，t），=（1，0，2），設平面DMN的法向量為=（x，y，z），

則·=0？搖？搖？搖？搖·=0

即：x+2y=0？搖？搖？搖？搖y+tz=0

令z=1，則y=-t，x=2t.

所以=（2t，-t，1）.

同理得平面ADN的一個法向量=（-2，1，1）.

因為θ=90°，所以·=0，

即-5t+1=0，得t=

從而M為（0，1，），所以=（-1，1，）

于是AM==

（2）因為||=，||=

所以cos<，>==

因為<，>=θ或π-θ，

所以||=，得t=0或t=

由圖和結論（1）可知t=

即M的坐標為（0，1，）

所以=（-1，1，-）

于是AM==

二、巧設向量求空間角

1.異面直線a、b的夾角α，可利用兩直線的方向向量，的夾角θ求解.由于α∈（0，]，因此cosα=|cosθ|=，即α=arccos.

例3.正方體ABCD-ABCD中，E在AD上，且3AE=2AD，求異面直線DB與EC所成角θ.

解：如圖4，以DA，DC，DD為x、y、z軸建立空間直角坐標系D-xyz.

設正方體棱長為3，則各點坐標為：

D（0，0，3），B（3，3，0），E（1，0，0），C（0，3，0），

所以=（3，3，-3），=（-1，3，0）

故cosθ==

所以異面直線DB與EC所成的角θ=arccos.

2.直線與平面所夾的角如圖5，為直線a的方向向量，為平面α的法向量，直線a與平面α所成的角為θ，則有：

Sinθ=|cos<，>|，θ=-arccos

例4.如圖6，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，PB⊥面ABCD，BA=BC=BP=2CD=2.求直線CP與面ADP所成角的大小.

解：如圖，以BC、BA、BP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系B-xyz，則有A（0，2，0），C（2，0，0），D（2，1，0），P（0，0，2），

故=（-2，0，2），=（0，-2，2），=（-2，-1，2），

設平面ADP的一個法向量為=（x，y，z）

則有則·=0？搖？搖？搖？搖·=0

即：-2y+2z=0？搖？搖？搖？搖-2x-y+2z=0

令y=1，得z=1，x=

所以，=（，1，1）

設直線CP與平面ADP所成的角為θ，則

Sinθ=|cos<，>|===

所以θ=arcsin

即直線CP與平面ADP所成角大小為arcsin.

3.求平面與平面所夾角，如圖7，設平面α與平面β的法向量分別為，，所夾角為θ，則θ與法向量，的夾角相等或互補.

①當二面角α-l-β大于90°時，θ=π-arccos

②當二面角α-l-β不大于90°時，θ=arccos

例5.（2012新課標全國）如圖8，直三棱柱ABC-ABC中，AC=BC=AA，D是AA的中點，DC⊥BD.

（1）證明：DC⊥BC；

（2）求二面角A-BD-C的大小.

解：（1）略.

（2）由（1）知BC⊥DC，且BC⊥CC，則BC⊥平面ACC，所以CA、CB、CC兩兩互相垂直.以CA、CB、CC分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系C-xyz.

設CA=1，則各點坐標為：

A（1，0，2），B（0，1，0），D（1，0，1），C（0，0，2），

所以=（0，0，-1），=（1，-1，1），=（-1，0，1），

設=（x，y，z）是平面ABBD的法向量

則·=0？搖？搖？搖？搖·=0

即：x-y+z=0？搖？搖？搖？搖z=0

令x=1，則y=1，于是=（1，1，0）

同理得平面CBD的法向量=（1，2，1）

從而|cos<，>|==

故二面角A-BD-C的大小為30°.

三、巧用單位向量，求角平分線向量

如圖9，求角平分線向量，可先求與角的兩邊所在射線同向的單位向量，，再利用菱形對角線平分一組對角的性質，結合向量加法原理可得角平分線向量=+.

例6.在底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=a，點E在PD上，且PE：ED=2：1，試問∠PBC的角平分線BF是否平行于平面AEC？證明你的結論.

解：由∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=a，易得PA⊥平面ABCD，因此，以A為坐標原點，直線AD、AP分別為y軸和z軸，過點A作垂直平面PAD的直線為x軸，建立如圖10所示空間直角坐標系A-xyz，則有：

B（a，-a，0），C（a，a，0），P（0，0，a），E（0，a，a），

于是=（0，a，0），=（-a，a，a）

則的單位向量=（0，1，0）；的單位向量=（-，，）

所以∠PBC的角平分線BF的方向向量=+=（-，，）

設平面AEC的法向量為=（x，y，z），

則：·=0？搖？搖？搖？搖·=0

即：ay+az=0？搖？搖？搖ax+ay=0

解得：y=-x，z=2x

取x=，則=（，-3，6）

如果BF∥平面AEC，則·必等于0

而·=-×+×（-3）+×6=≠0

所以BF與平面AEC不平行.