理解創(chuàng)新，學(xué)會(huì)構(gòu)造

隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施的不斷深入，高考對考生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力的要求逐步提高.要求考生能夠綜合運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識、思想方法解決創(chuàng)新型問題已經(jīng)成為高考中的一道風(fēng)景線.處理這部分試題，難度很大，具有挑戰(zhàn)性，而構(gòu)造法是解決此類題目常用的方法之一.因此，在教學(xué)中我們應(yīng)該加深對構(gòu)造法的認(rèn)識，掌握常見的構(gòu)造方法，這對高考解題很有幫助.

1.構(gòu)造函數(shù)

著名數(shù)學(xué)家克萊因說：“一般受教育者在數(shù)學(xué)課上應(yīng)該學(xué)會(huì)的重要事情是用變量和函數(shù)思考.”函數(shù)作為聯(lián)系高中數(shù)學(xué)知識的主線，與不等式、數(shù)列、解析幾何等內(nèi)容均有很密切的聯(lián)系.因此，學(xué)會(huì)構(gòu)造函數(shù)，才能主動(dòng)地去思考一些問題，把表面上不是函數(shù)的問題化歸為函數(shù)問題，從而使問題得到解決.

例1已知函數(shù)f（x）=+aln（x-1）其中n∈N，a為常數(shù).

當(dāng)a=1時(shí)，證明：對任意的正整數(shù)n，當(dāng)x≥2時(shí)，有f（x）≤x-1.

解：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=+ln（x-1）.

當(dāng)x≥2時(shí)，對任意的正整數(shù)n，恒有≤1，故只需證明1+ln（x-1）≤x-1.

令h（x）=x-1-（1+ln（x-1））=x-2-ln（x-1），x∈[2，+∞）

則h′（x）=1-=，當(dāng)x≥2時(shí)，h′（x）≥0，故h（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，

因此當(dāng)x≥2時(shí)，h（x）≥h（2）=0，即1+ln（x-1）≤x-1成立.

故當(dāng)x≥2時(shí)，有+ln（x-1）≤x-1.即f（x）≤x-1.

點(diǎn)評：對于許多較難不等式的證明，通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)得以解決，該種方法備受高考命題者的青睞.

2.構(gòu)造數(shù)列

高考試題中數(shù)列的基本問題還是等差數(shù)列和等比數(shù)列，它幾乎一直圍繞這兩個(gè)基本數(shù)列來命題.構(gòu)造數(shù)列就是根據(jù)已知條件進(jìn)行變形、整理，構(gòu)造一個(gè)新的等差數(shù)列或等比數(shù)列，通過新數(shù)列來解決問題.

例2已知數(shù)列{a}，{b}滿足a=2，b=1，且a=a+b+1b=a+b+1（n≥2）.

（I）令c=a+b，求數(shù)列{c}的通項(xiàng)公式；

（II）求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式S.

解：（I）由題設(shè)得a+b=（a+b）+2（ n≥2），即c=c+2（n≥2）

易知{c}是首項(xiàng)為a+b=3，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為c=2n+1.

（II）由題設(shè)得a-b=（a-b）（n≥2），令d=a-b，則

d=d（n≥2）.

易知g0gggggg是首項(xiàng)為a-b=1，公比為的等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為d=.

由a+b=2n+1a-b=，解得a=+n+，求和得S=-++n+1.

點(diǎn)評：利用構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)，高考解答題中經(jīng)常出現(xiàn)，望多加注意.

3.構(gòu)造方程

例3設(shè)數(shù)列{a}滿足a+3a+3a+…+3a=，n∈N.

（Ⅰ）求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)b=，求數(shù)列{b}的前n項(xiàng)和S.

解：（Ⅰ）a+3a+3a+…+3a=，①

a+3a+3a+…+3a=（n≥2），②

①-②，得3a=-=（n≥2）.

所以a=（n≥2）.驗(yàn)證：當(dāng)n=1時(shí)也滿足上式.因此a=（n∈N）.

（Ⅱ）b=n·3，S=1·3+2·3+3·3+…+n·3③

3S=1·3+2·3+3·3+…+n·3④

③-④，得-2S=3+3+3+…+3-n·3，

從而-2S=-n·3，所以S=·3-·3+.

點(diǎn)評：在解答數(shù)列問題時(shí)，經(jīng)常利用數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系，構(gòu)造方程解決有關(guān)的問題.

4.構(gòu)造復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)的應(yīng)用十分廣泛，對很多“非復(fù)數(shù)”問題，可以通過構(gòu)造復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及其幾何意義簡潔地解決.

例4已知θ∈（0，），求證：（1+）（1+）>5

分析：該題證法很多，以構(gòu)造復(fù)數(shù)證明最為簡潔.

解：設(shè)z=1+i，z=1-i，

（1+）（1+）=|z||z|=|zz|

=|1++i（-）|

≥|1+|≥（1+）=3+2>5

5.構(gòu)造圖形

形數(shù)轉(zhuǎn)化是構(gòu)造法解題中常用的方法之一.在解題過程中，可以根據(jù)已知條件的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出符合條件的圖形，然后通過圖形啟發(fā)思維，找到簡潔的解題思路.

例5某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則a+b的最大值為 .

分析：該題缺少解題必要的圖形，比較抽象，所以采用構(gòu)造圖形的方法來解答.

解：結(jié)合長方體的對角線在三個(gè)面的投影來理解計(jì)算.如圖，設(shè)長方體的長，寬，高分別為m，n，k，由題意得=，=？圯n=1

=a，=b，所以（a-1）+（b-1）=6？圯a+b=8，

∴（a+b）=a+2ab+b=8+2ab≤8+a+b=16.

？圯a+b≤4.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)，取等號.

通過對以上幾道高考試題的解析，我們很容易發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造法在函數(shù)、數(shù)列、不等式等方面都有著廣泛的運(yùn)用，特別是對中高檔高考試題的解答大有幫助.因此，我們在平時(shí)的復(fù)習(xí)中應(yīng)多關(guān)注構(gòu)造法，使學(xué)生更好地掌握構(gòu)造法，開闊學(xué)生解題的視野，爭取在高考中取得好成績.