理解創新，學會構造

隨著新課程標準實施的不斷深入，高考對考生創新意識和創新能力的要求逐步提高.要求考生能夠綜合運用所學的數學知識、思想方法解決創新型問題已經成為高考中的一道風景線.處理這部分試題，難度很大，具有挑戰性，而構造法是解決此類題目常用的方法之一.因此，在教學中我們應該加深對構造法的認識，掌握常見的構造方法，這對高考解題很有幫助.

1.構造函數

著名數學家克萊因說：“一般受教育者在數學課上應該學會的重要事情是用變量和函數思考.”函數作為聯系高中數學知識的主線，與不等式、數列、解析幾何等內容均有很密切的聯系.因此，學會構造函數，才能主動地去思考一些問題，把表面上不是函數的問題化歸為函數問題，從而使問題得到解決.

例1已知函數f（x）=+aln（x-1）其中n∈N，a為常數.

當a=1時，證明：對任意的正整數n，當x≥2時，有f（x）≤x-1.

解：當a=1時，f（x）=+ln（x-1）.

當x≥2時，對任意的正整數n，恒有≤1，故只需證明1+ln（x-1）≤x-1.

令h（x）=x-1-（1+ln（x-1））=x-2-ln（x-1），x∈[2，+∞）

則h′（x）=1-=，當x≥2時，h′（x）≥0，故h（x）在[2，+∞）上單調遞增，

因此當x≥2時，h（x）≥h（2）=0，即1+ln（x-1）≤x-1成立.

故當x≥2時，有+ln（x-1）≤x-1.即f（x）≤x-1.

點評：對于許多較難不等式的證明，通過構造函數，利用函數性質得以解決，該種方法備受高考命題者的青睞.

2.構造數列

高考試題中數列的基本問題還是等差數列和等比數列，它幾乎一直圍繞這兩個基本數列來命題.構造數列就是根據已知條件進行變形、整理，構造一個新的等差數列或等比數列，通過新數列來解決問題.

例2已知數列{a}，滿足a=2，b=1，且a=a+b+1b=a+b+1（n≥2）.

（I）令c=a+b，求數列{c}的通項公式；

（II）求數列{a}的通項公式及前n項和公式S.

解：（I）由題設得a+b=（a+b）+2（ n≥2），即c=c+2（n≥2）

易知{c}是首項為a+b=3，公差為2的等差數列，通項公式為c=2n+1.

（II）由題設得a-b=（a-b）（n≥2），令d=a-b，則

d=d（n≥2）.

易知g0gggggg是首項為a-b=1，公比為的等比數列，通項公式為d=.

由a+b=2n+1a-b=，解得a=+n+，求和得S=-++n+1.

點評：利用構造法求數列通項，高考解答題中經常出現，望多加注意.

3.構造方程

例3設數列{a}滿足a+3a+3a+…+3a=，n∈N.

（Ⅰ）求數列{a}的通項公式；（Ⅱ）設b=，求數列的前n項和S.

解：（Ⅰ）a+3a+3a+…+3a=，①

a+3a+3a+…+3a=（n≥2），②

①-②，得3a=-=（n≥2）.

所以a=（n≥2）.驗證：當n=1時也滿足上式.因此a=（n∈N）.

（Ⅱ）b=n·3，S=1·3+2·3+3·3+…+n·3③

3S=1·3+2·3+3·3+…+n·3④

③-④，得-2S=3+3+3+…+3-n·3，

從而-2S=-n·3，所以S=·3-·3+.

點評：在解答數列問題時，經常利用數列通項與前n項和之間的關系，構造方程解決有關的問題.

4.構造復數

復數的應用十分廣泛，對很多“非復數”問題，可以通過構造復數，利用復數的運算法則及其幾何意義簡潔地解決.

例4已知θ∈（0，），求證：（1+）（1+）>5

分析：該題證法很多，以構造復數證明最為簡潔.

解：設z=1+i，z=1-i，

（1+）（1+）=|z||z|=|zz|

=|1++i（-）|

≥|1+|≥（1+）=3+2>5

5.構造圖形

形數轉化是構造法解題中常用的方法之一.在解題過程中，可以根據已知條件的結構特征，構造出符合條件的圖形，然后通過圖形啟發思維，找到簡潔的解題思路.

例5某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則a+b的最大值為 .

分析：該題缺少解題必要的圖形，比較抽象，所以采用構造圖形的方法來解答.

解：結合長方體的對角線在三個面的投影來理解計算.如圖，設長方體的長，寬，高分別為m，n，k，由題意得=，=？圯n=1

=a，=b，所以（a-1）+（b-1）=6？圯a+b=8，

∴（a+b）=a+2ab+b=8+2ab≤8+a+b=16.

？圯a+b≤4.當且僅當a=b=2時，取等號.

通過對以上幾道高考試題的解析，我們很容易發現，構造法在函數、數列、不等式等方面都有著廣泛的運用，特別是對中高檔高考試題的解答大有幫助.因此，我們在平時的復習中應多關注構造法，使學生更好地掌握構造法，開闊學生解題的視野，爭取在高考中取得好成績.