數(shù)學學習不良學生解決比例應用題的干預策略及其啟示

摘 要： 基于圖式的教學策略和一般教學策略是兩種常用的干預數(shù)學學習不良學生的方法。基于圖式的教學策略和一般教學策略都由四個步驟組成：閱讀、表征問題、計劃解決問題和檢查。然而，但基于策略的教學強調(diào)策略更具有針對性——識別問題結(jié)構(gòu)并用圖式去表征問題，而一般教學策略組教學生畫半直觀圖形來表示問題中的信息。策略比較對數(shù)學學習不良學生解決應用題干預研究的啟示為：（1）應強調(diào)抽象的圖式表征；（2）應強調(diào)強調(diào)具體問題類型的圖式表征。

關鍵詞： 數(shù)學學習不良 比例應用題 干預策略 啟示

數(shù)學學習不良是學齡兒童普遍的學習不良類型，美國一些大規(guī)模研究發(fā)現(xiàn)：約有6%的小學生和初中生被診斷為數(shù)學學習不良。數(shù)學學習不良領域的傳統(tǒng)研究主要集中在兒童的基本算術(shù)技能上[1]。與數(shù)學學習不良兒童基本算術(shù)技能的研究相比而言，對數(shù)學學習不良兒童更高水平的數(shù)學思維和問題解決的研究較少。研究發(fā)現(xiàn)：數(shù)學學習不良兒童最大的困難是解決數(shù)學應用題[2]。

雖然我國在國際數(shù)學競賽中取得了優(yōu)異成績，但是對于數(shù)學學習不良的研究卻顯得有些滯后。有道是“它山之石，可以攻玉”，所以，介紹Xin Yan Ping對數(shù)學學習不良學生解決比例應用題的兩種干預策略無疑是非常必要的[3]。本文首先介紹兩種干預策略，然后對兩種策略進行比較，探討對數(shù)學應用題干預的啟示。

一、兩種干預策略

（一）基于圖式的教學

1.圖式

最早提出圖式這個概念的心理學家是巴特萊特（F.C.Bartlett，1932）。他采用有意義的故事、圖畫和散文作為實驗材料做記憶實驗，研究發(fā)現(xiàn)：回憶得到的信息與實驗材料相比，實驗材料的結(jié)構(gòu)保存下來了，但那些不重要的部分被忘記了。在記憶研究基礎上，巴特萊特提出了圖式概念，將圖式界定為：“關于過去反應或以往經(jīng)歷的一種主動組織。”[4]

2.比例應用題圖式

以比例應用題“一個菜譜使用3只雞蛋做20個蛋糕，假如你想做80個蛋糕，則需要12個雞蛋”為例，例示比例應用題圖式。比例問題圖式（見圖1）具有下列特征：（1）比例問題描述兩個物體之間的聯(lián)系；（2）兩個物體涉及兩對聯(lián)系，涉及四個量；（3）兩對物體之間的數(shù)量聯(lián)系（比率）是不變的[3]。

3.基于圖式的教學[3]

基于圖式的教學包括四個階段，前兩個階段為問題圖式教學階段，后兩個階段為問題解決教學階段。

（1）問題圖式教學階段

步驟1：識別兩個事物（一個為主語，另一個為賓語）：雞蛋和蛋糕。在圖1上的主語和賓語下面寫上它們。

步驟2：識別兩個數(shù)量關系（共4個量），在圖式圖中填入數(shù)字。表征和匹配強調(diào)用對應的量正確安排兩個維度（主語和賓語）。即，當?shù)谝粚γ枋?個雞蛋和20個蛋糕之間的聯(lián)系時，第二對描述12個雞蛋對80個蛋糕，而不是80個蛋糕對12個雞蛋。通過等式檢查正確與否：3/20=12/80，20×12=3×80，說明兩對數(shù)量關系正確匹配。

（2）問題解決教學階段

步驟3：在問題解決教學階段，呈現(xiàn)具有未知信息的問題。指導學生使用圖式圖表征問題。與問題圖式教學階段一致，僅有的差異是使用問號“？”代替未知量。轉(zhuǎn)換圖式圖為等式，并且求出未知量：3/20=？/80，？=（3×80）/20=12。

步驟4：寫出完整答案，檢查計算的精確性。

（二）一般策略教學[3]

一般策略教學包括問題解決四個步驟：理解；計劃；解題；檢查。

步驟1：理解。問學生：“你在問題中發(fā)現(xiàn)了什么？”“問題給出什么信息？”此外，鼓勵學生用自己的話復述問題，列出已知信息。

步驟2：計劃。可以使用一些策略解題（畫圖、畫表格，寫出數(shù)學等式，等等）。“你準備使用什么解題策略？”因為學生通常使用畫圖策略，教師集中于使用畫圖表征信息，然后通過數(shù)圖形來獲得解答。

步驟3：解題。展示他們的圖形，求出答案。

步驟4：檢查。要求學生說明答案是合理的，是否可以用另外的方法解決問題？

例如問題：“假如Ann使用5只檸檬制作2夸脫的檸檬水，若想制作8夸脫的檸檬水，需要多少只檸檬？”每只檸檬用一個*表示，每夸脫的檸檬水用@表示，先畫出5只檸檬*****，接著對應畫出2夸脫的檸檬水@@，然后畫出8夸脫的檸檬水，即8個@（每2個畫在一起），而每2個@對應5只*，所以，可以畫出所有的*，最后，數(shù)出*的數(shù)目。

二、兩種干預策略的比較

（一）問題解決過程

基于圖式的教學和一般教學策略都遵循：閱讀、表征、解題和檢查四個步驟，但是兩種教學在步驟2和3有很大差異，一般教學策略更籠統(tǒng)，基于圖式教學策略更具體。

（二）策略干預效果

Xin[3]研究了兩個問題解決教學方法（基于圖式教學和一般策略教學）對22名數(shù)學學習不良中學生教學效果。結(jié)果表明：基于圖式策略在及時和延時后測、遷移測驗都優(yōu)于一般策略組。

三、啟示

（一）干預策略應強調(diào)應用題的抽象圖式表征

比例應用題圖式定義為：學生在比例應用題學習過程中，對學習材料進行概括的基礎上形成的、存儲在長時記憶中的、具有一定框架結(jié)構(gòu)的陳述性知識。如圖1，圖式表征能夠揭示變量（或常量）之間的聯(lián)系，是一種抽象的表征。而圖2是一個半抽象半具體的圖形表征，這種表征在數(shù)字較小的情況下能夠解決問題，但是，解題速度較慢，更大的缺陷是：當問題中的數(shù)字很大時，幾乎無法用半直觀的形式來表示，問題將無法解決。因此，半直觀的表征方式不值得推廣。

（二）干預策略強調(diào)具體問題類型的圖式表征

波利亞提出數(shù)學問題解決四階段模型：（1）理解問題。（2）制訂計劃。（3）執(zhí)行計劃。（4）檢查算式和結(jié)果。此模型適用于所有數(shù)學問題解決。在此基礎上，梅耶提出數(shù)學應用題解決四階段模型：（1）問題轉(zhuǎn)換階段：提取語言學知識和事實知識，用以將應用題中的各句子轉(zhuǎn)化成某種心理表征。（2）問題整合階段：提取問題類型的圖式知識，形成能夠反映文本命題之間關系信息的一個整合的心理表征。（3）解答計劃階段：選擇一個解答計劃。（4）解答執(zhí)行階段：執(zhí)行運算以求得一個數(shù)字答案。此模型更適合數(shù)學應用題的問題解決，他認為四個階段中前兩個階段是問題表征階段，最重要的是整合表征，但是他未指出對某些類型的應用題如何表征。

解決不同類型應用題的策略應該在整合表征方面更具體，應該強調(diào)此類型的問題圖式。例如，比例問題強調(diào)比例問題的圖式，加減應用題強調(diào)加減應用題的圖式，乘除應用題應該強調(diào)乘除應用題的圖式。所以，在新手階段，也就是學習的開始階段，解題策略越具體就越能夠促進問題的解決。

參考文獻：

[1]曾盼盼，俞國良.數(shù)學學習不良的研究及趨勢[J].心理科學進展，2002，10（1）：48-56.

[2]Diane，P.B.，Brain，R.B. Donald，D.H.Characteristic behaviors of students with LD who have teacher-identified math weakness.Journal of Learning Disability，1999，33（2）：168-177.

[3]Xin，Y.P，Jitendra，A.K，Buchman，A.D.Effects of mathematical word problem-solving instruction on middle school students with learning problems.The Journal of Special Educationa，2005，39（3）：181-192.

[4]郭兆明.數(shù)學高級認知圖式獲得方式的比較研究[D].西南大學博士論文，2006.

基金項目：江蘇省教育廳2008年度高校哲學社會科學課題（08SJDXLX0005）。