數學學習不良學生解決比例應用題的干預策略及其啟示

摘 要： 基于圖式的教學策略和一般教學策略是兩種常用的干預數學學習不良學生的方法。基于圖式的教學策略和一般教學策略都由四個步驟組成：閱讀、表征問題、計劃解決問題和檢查。然而，但基于策略的教學強調策略更具有針對性——識別問題結構并用圖式去表征問題，而一般教學策略組教學生畫半直觀圖形來表示問題中的信息。策略比較對數學學習不良學生解決應用題干預研究的啟示為：（1）應強調抽象的圖式表征；（2）應強調強調具體問題類型的圖式表征。

關鍵詞： 數學學習不良 比例應用題 干預策略 啟示

數學學習不良是學齡兒童普遍的學習不良類型，美國一些大規模研究發現：約有6%的小學生和初中生被診斷為數學學習不良。數學學習不良領域的傳統研究主要集中在兒童的基本算術技能上[1]。與數學學習不良兒童基本算術技能的研究相比而言，對數學學習不良兒童更高水平的數學思維和問題解決的研究較少。研究發現：數學學習不良兒童最大的困難是解決數學應用題[2]。

雖然我國在國際數學競賽中取得了優異成績，但是對于數學學習不良的研究卻顯得有些滯后。有道是“它山之石，可以攻玉”，所以，介紹Xin Yan Ping對數學學習不良學生解決比例應用題的兩種干預策略無疑是非常必要的[3]。本文首先介紹兩種干預策略，然后對兩種策略進行比較，探討對數學應用題干預的啟示。

一、兩種干預策略

（一）基于圖式的教學

1.圖式

最早提出圖式這個概念的心理學家是巴特萊特（F.C.Bartlett，1932）。他采用有意義的故事、圖畫和散文作為實驗材料做記憶實驗，研究發現：回憶得到的信息與實驗材料相比，實驗材料的結構保存下來了，但那些不重要的部分被忘記了。在記憶研究基礎上，巴特萊特提出了圖式概念，將圖式界定為：“關于過去反應或以往經歷的一種主動組織。”[4]

2.比例應用題圖式

以比例應用題“一個菜譜使用3只雞蛋做20個蛋糕，假如你想做80個蛋糕，則需要12個雞蛋”為例，例示比例應用題圖式。比例問題圖式（見圖1）具有下列特征：（1）比例問題描述兩個物體之間的聯系；（2）兩個物體涉及兩對聯系，涉及四個量；（3）兩對物體之間的數量聯系（比率）是不變的[3]。

3.基于圖式的教學[3]

基于圖式的教學包括四個階段，前兩個階段為問題圖式教學階段，后兩個階段為問題解決教學階段。

（1）問題圖式教學階段

步驟1：識別兩個事物（一個為主語，另一個為賓語）：雞蛋和蛋糕。在圖1上的主語和賓語下面寫上它們。

步驟2：識別兩個數量關系（共4個量），在圖式圖中填入數字。表征和匹配強調用對應的量正確安排兩個維度（主語和賓語）。即，當第一對描述3個雞蛋和20個蛋糕之間的聯系時，第二對描述12個雞蛋對80個蛋糕，而不是80個蛋糕對12個雞蛋。通過等式檢查正確與否：3/20=12/80，20×12=3×80，說明兩對數量關系正確匹配。

（2）問題解決教學階段

步驟3：在問題解決教學階段，呈現具有未知信息的問題。指導學生使用圖式圖表征問題。與問題圖式教學階段一致，僅有的差異是使用問號“？”代替未知量。轉換圖式圖為等式，并且求出未知量：3/20=？/80，？=（3×80）/20=12。

步驟4：寫出完整答案，檢查計算的精確性。

（二）一般策略教學[3]

一般策略教學包括問題解決四個步驟：理解；計劃；解題；檢查。

步驟1：理解。問學生：“你在問題中發現了什么？”“問題給出什么信息？”此外，鼓勵學生用自己的話復述問題，列出已知信息。

步驟2：計劃。可以使用一些策略解題（畫圖、畫表格，寫出數學等式，等等）。“你準備使用什么解題策略？”因為學生通常使用畫圖策略，教師集中于使用畫圖表征信息，然后通過數圖形來獲得解答。

步驟3：解題。展示他們的圖形，求出答案。

步驟4：檢查。要求學生說明答案是合理的，是否可以用另外的方法解決問題？

例如問題：“假如Ann使用5只檸檬制作2夸脫的檸檬水，若想制作8夸脫的檸檬水，需要多少只檸檬？”每只檸檬用一個*表示，每夸脫的檸檬水用@表示，先畫出5只檸檬*****，接著對應畫出2夸脫的檸檬水@@，然后畫出8夸脫的檸檬水，即8個@（每2個畫在一起），而每2個@對應5只*，所以，可以畫出所有的*，最后，數出*的數目。

二、兩種干預策略的比較

（一）問題解決過程

基于圖式的教學和一般教學策略都遵循：閱讀、表征、解題和檢查四個步驟，但是兩種教學在步驟2和3有很大差異，一般教學策略更籠統，基于圖式教學策略更具體。

（二）策略干預效果

Xin[3]研究了兩個問題解決教學方法（基于圖式教學和一般策略教學）對22名數學學習不良中學生教學效果。結果表明：基于圖式策略在及時和延時后測、遷移測驗都優于一般策略組。

三、啟示

（一）干預策略應強調應用題的抽象圖式表征

比例應用題圖式定義為：學生在比例應用題學習過程中，對學習材料進行概括的基礎上形成的、存儲在長時記憶中的、具有一定框架結構的陳述性知識。如圖1，圖式表征能夠揭示變量（或常量）之間的聯系，是一種抽象的表征。而圖2是一個半抽象半具體的圖形表征，這種表征在數字較小的情況下能夠解決問題，但是，解題速度較慢，更大的缺陷是：當問題中的數字很大時，幾乎無法用半直觀的形式來表示，問題將無法解決。因此，半直觀的表征方式不值得推廣。

（二）干預策略強調具體問題類型的圖式表征

波利亞提出數學問題解決四階段模型：（1）理解問題。（2）制訂計劃。（3）執行計劃。（4）檢查算式和結果。此模型適用于所有數學問題解決。在此基礎上，梅耶提出數學應用題解決四階段模型：（1）問題轉換階段：提取語言學知識和事實知識，用以將應用題中的各句子轉化成某種心理表征。（2）問題整合階段：提取問題類型的圖式知識，形成能夠反映文本命題之間關系信息的一個整合的心理表征。（3）解答計劃階段：選擇一個解答計劃。（4）解答執行階段：執行運算以求得一個數字答案。此模型更適合數學應用題的問題解決，他認為四個階段中前兩個階段是問題表征階段，最重要的是整合表征，但是他未指出對某些類型的應用題如何表征。

解決不同類型應用題的策略應該在整合表征方面更具體，應該強調此類型的問題圖式。例如，比例問題強調比例問題的圖式，加減應用題強調加減應用題的圖式，乘除應用題應該強調乘除應用題的圖式。所以，在新手階段，也就是學習的開始階段，解題策略越具體就越能夠促進問題的解決。

參考文獻：

[1]曾盼盼，俞國良.數學學習不良的研究及趨勢[J].心理科學進展，2002，10（1）：48-56.

[2]Diane，P.B.，Brain，R.B. Donald，D.H.Characteristic behaviors of students with LD who have teacher-identified math weakness.Journal of Learning Disability，1999，33（2）：168-177.

[3]Xin，Y.P，Jitendra，A.K，Buchman，A.D.Effects of mathematical word problem-solving instruction on middle school students with learning problems.The Journal of Special Educationa，2005，39（3）：181-192.

[4]郭兆明.數學高級認知圖式獲得方式的比較研究[D].西南大學博士論文，2006.

基金項目：江蘇省教育廳2008年度高校哲學社會科學課題（08SJDXLX0005）。