“微元法”在高中物理解題中的應用

摘 要： 通過對近幾年高考題的仔細研究，不難發現有很多涉及“微元法”的相應試題，特別是在高考物理試卷的最后一題，江蘇試卷已連續幾年涉及，由于所占分數較大，直接決定了學生考試的等級，因此領悟“微元法”的思想，學會用“微元法”解決問題在應考過程中是非常重要的，同時也是非常必要的。

關鍵詞： “微元法” 高中物理解題 應用

“微元法”的基本功能就是“化變為恒”，也就是說抓住“變化”的這一本質特征而通過限制“變化”所需的時間或空間來把變化的事物或變化的過程轉化為不變的事物或不變的過程。這種思想在物理教材中也曾出現，如證明“在速度時間圖像中圖像與坐標軸所圍圖形的面積等于位移”結論時就用到這一重要思想。學生具備了這種思想，更有利于理解和掌握“微元法”問題。在具體操作時，較為合理的操作步驟為：①選取微元量化元過程；②運用規律表達元過程；③實施疊加求解全過程。

關于“微元法”，我們可以通過以下題目進行領悟。

例題：如圖1所示，正方形閉合導線框以速度v在光滑絕緣水平面上勻速運動，穿過有理想邊界的勻強磁場區域后以速度v做勻速直線運動，則當完全處在磁場區域內時的運動速度u為（ ）

A.u>（v+v） B.u=（v+v）

C.u<（v+v） D.無法確定

解答：設：導線框在“穿入”或“穿出”磁場的過程中某一瞬間速度和加速度分別為v和a，則由相應的物理規律依次可得

E=LvB E=IR F=ILB -F=ma

由此可得：v和a間的瞬時關系為-v=ma

此式中，導線框的質量m、邊長L、電阻R，以及磁場的磁感應強度B均為常量，而導線框在“穿入”或“穿出”磁場的過程中某一瞬間的速度v和加速度a均為變量。因此，本題具備用“微元法”解題的特點。具體分析步驟如下：

①取“時間微元Δt”而同乘以上式兩端，為-vΔt=maΔt

②考慮到“速度v和加速度a均為變量”而不具備“平權性”特征，所以應實施“換元”的相關操作。

③考慮到盡管“速度v和加速度a均為變量”，但因為“Δt→0”，所以在趨近于零的“時間微元Δt”內可將“速度v”和“加速度a”均視為“不變”（事實上是“來不及變”）而順利實施“換元”，即：在Δx=vΔt Δv=aΔt

的關系代入后上式變為-Δx=mΔv

④考慮到此式中對應于微元Δx和Δv的“權函數”分別為

f（x）=-=k=常量 f（v）=m=k=常量

而滿足所謂的“平權性”特征，所以分別在導線框“穿入”和“穿出”磁場的過程中對上式實施相應的“疊加”操作，即“穿入”時有-Δx=mΔv

“穿出”時有-Δx=mΔv

（注：設當導線框剛要“穿入”磁場時其位置坐標為x=0，磁場區域的寬度為b）

⑤由此“疊加”分別可得-=m（u-v） -=m（v-u）

⑥聯立上述兩式最終解得u=（v+v）

在相關的教輔資料中，運用“微元法”求解的物理問題也是屢見不鮮。接下來給出兩道這類習題，希望同學們在上面例題的啟發下順利完成。

練習題1：如圖2所示，頂角θ=45°的金屬導軌MON固定在水平面內，導軌處在方向豎直、磁感應強度為B的勻強磁場中。一根與ON垂直的導體棒在水平外力作用下以恒定速度v沿導軌MON向右滑動，導體棒的質量為m，導軌與導體棒單位長度的電阻均為r。導體棒與導軌接觸點a和b，導體棒在滑動過程中始終保持與導軌良好接觸且摩擦不計。t=0時，導體棒位于頂角O處，求：

（1）t時刻流過導體棒的電流強度I和電流方向；

（2）導體棒做勻速直線運動時水平外力F的表達式；

（3）導體棒在0～t時間內產生的焦耳熱Q；

（4）若在t時刻將外力F撤去，導體棒最終在導軌上靜止時的坐標x。

提示：在第（4）小題運用“微元法”解答時的換元技巧：先將時間微元乘以速度而換成空間線元（vΔt=Δx）；再將線元乘以空間坐標而換成面元（yΔx=Δs）。

練習題2：如圖3所示，空間存在著水平方向勻強磁場，磁感應強度B=5T，磁場區域的上、下邊緣相距h=0.5m，邊長L=0.2m，質量m=0.1kg的正方形導線框abcd與質量m=0.5kg的小物塊用跨過兩個定滑輪的輕質細線相連，開始時線框的ab邊距磁場區域下邊緣h=0.6m，而小物塊則位于傾角θ=37°的斜面上的O點處，將小物塊和線框由靜止釋放，小物塊沿斜面滑至P點時線框的ab邊恰好進入磁場，接著小物塊繼續沿斜面下滑s=0.6m至Q點而靜止，線框所在平面始終與磁場方向垂直，斜面上OP段光滑而PQ段與小物塊間的動摩擦因數為μ=0.5，重力加速度g取10m/s，sin37°=0.6，求：

（1）線框的ab邊剛進入磁場時的速度v；

（2）線框中產生的焦耳熱Q；

（3）線框的電阻R。

提示：在第（3）小題的解答中不可避免地要運用“微元法”。

綜上所述，微元法在高中物理解題中的應用是非常廣泛的，學生具備了這種思想基礎后，更有利于理解和掌握“微元法”問題。

參考文獻：

[1]張大昌，等.物理2，（必修）.人民教育出版社，2006，（第2版）.

[2]楊子江.物理教師.2009（04）.