數學知識在物理解題中的應用

摘 要： 本文通過講解典型例題，說明一次函數和二次函數在物理解題中的應用，提高學生應用數學知識來解決物理問題的能力.

關鍵詞： 一次函數 二次函數 物理問題 解題

如何提高學生的解題能力是每位教師都必須面對且亟待解決的問題，而數學知識作為解決問題的工具，在初中物理學科的解題中有廣泛的應用，尤其是一次函數和二次函數在物理解題方面的應用，況且許多物理問題都需要運用數學知識和結合圖像的物理意義才能解決它.近幾年中考物理在這方面也指向明確，重在考查學生的分析、比較、歸納、概括、邏輯思維和創新能力.下面結合自己在物理方面的教學經驗列舉幾例，供同學們學習時參考.

一、一次函數在解題中的應用

一次函數是指解析式形如y=kx+b，在直角坐標系中為一直線，其中k為斜率，其表示這條直線的傾斜程度，在圖像上表現k為的絕對值越大，直線的傾斜程度就越陡.b是截距，b的絕對值越大，直線在y軸上截得的距離就越大.

例1：甲、乙兩名同學進行百米賽跑，假如把他們的運動近似看做勻速直線運動處理，他們同時從起跑線起跑，經過一段時間后他們的位置如圖（1）所示，圖（2）中有四個在這段時間內兩人運動路程s、速度v與時間t的關系圖像，其中正確的是（ ）

分析：從圖（1）明顯可以看出乙跑步的速度大于甲的速度，由一次函數y=kx+b可知k值越大，其傾斜越陡，通過和公式s=vt比較可知v就相當于k.故選圖2中的B選項.而選項C中顯示甲的速度大于乙的速度，選項D中表示甲和乙都做勻加速直線運動.

點評：解決此題的關鍵是正確運用一次函數y=kx+b方面的知識，讀懂物理圖像.選項D具有較強的迷惑性，可以用題干中“假如把他們的運動近似看做勻速直線運動處理”來排除它.

例2：如圖（3）所示，放在水平地面上的物體受到方向不變的水平推力F的作用，如圖（4）所示是推力F與時間t的關系、物體運動速度v與時間t的關系.由圖像可知，在0-2s時間段內，物體處于 狀態，推力F做的功為 J.在物體做勻速直線運動階段，推力F做的功為 J.在2-4s時間段內，推力F做的功為

分析：由圖（4）可知物體在0-2s內，速度為0，故它處于靜止狀態，據做功計算公式W=F·s，可得推力F做的功為0J.同樣可得在物體做勻速直線運動階段，利用速度公式s=vt求出s=8米所以推力F做的功為16J.求在2-4s時間段內，推力F做的功難度很大，因為在常規思維下，無法用s=vt求出s，經過思考，會發現物體做勻速直線運動階段移動距離s，就是這個矩形所圍成的面積，況且純粹從數學角度考慮s=vt也有“面積“意味.故2-4s物體移動距離等于圖中三角形的面積4，進一步求得推力F做的功為12J.

點評：求在2-4s時間段內，推力F做的功，具有挑戰性，要求學生具備創新思維能力，發現物體在某段時間內移動距離s，等于其速度圖像和橫坐標軸（時間）所圍成圖形的面積.問題便迎刃而解，此題也體現了中考考查創造性思維這一命題特點.

二、二次函數應用示例

二次函數是指解析式形如y=ax+bx+c（a≠0）（或y=a（x+）+），當a>0時，在x=-的情況下，y有最小值.當a<0時，在x=-的情況下，y有最大值.

例3：如圖（5）所示電源電壓恒為3v，滑動變阻器的阻值變化范圍為0-40Ω，在不損壞電流表的情況下，滑片P位于什么位置時，電流表的示數最小？最小值是多少？

分析：此題中要使電流表的示數最小，必須確定電路中阻值最大時，滑片P的位置，而滑動變阻器在電路中是上部分Pa和下部分Pb并聯.假設滑動變阻器上部分pa段電阻為R，則下部分Pb段電阻為40-R.由并聯電路電阻關系可得電路總電阻為.根據數學中二次函數配方求最值方面知識，可得到當R=20時，電路總電阻最大值是10Ω.最后，再根據歐姆定律I=把相應的數值代入求出最小電流值是0.3A.

點評：解決此題的關鍵是在識別電路連接的基礎上，列出電路總電阻的表達式.利用二次函數配方求最值的方法，求出該表達式的最大值，進而由歐姆定律求出電路中的最小電流.

[針對性練習]

1.如圖（6）所示是某同學在探究甲、乙、丙三個電阻兩端電壓和流過電流關系時作出的圖像，分析圖像可知（ ）

A.R>R>R B.R>R>R C.R>R>R D.R>R>R

2.某次演練中，直升機懸停于高空，一傘兵跳傘后豎直降落，其速度v與t時間的關系如圖（7）所示.下列判斷正確的是（ ）

A.在0-t內，傘兵（含傘）受到的重力小于阻力.

B.在t-t內，傘兵（含傘）受到的重力等于阻力.

C.在t-t內，傘兵（含傘）的機械能不變.

D.在t-t內，傘兵（含傘）受到的阻力保持不變.

3.兩個相同的容器分別裝了質量相同的兩種液體，用同一熱源分別加熱，液體的溫度與加熱時間的關系如圖（8）所示.根據圖像可知（ ）

A.甲液體的比熱容大于乙液體的比熱容.

B.如果升高相同的溫度，兩種液體吸收的熱量相同.

C.加熱時間相同，甲液體吸收的熱量大于乙液體吸收的熱量.

D.加熱時間相同，甲液體的溫度比乙液體的溫度升高得多.

4.如圖（9）所示電源電壓恒為3V，定值電阻的阻值為20Ω，滑動變阻器的阻值變化范圍為0-40Ω，在不損壞電流表的情況下，滑片P位于什么位置時，電流表的示數最小？最小值是多少？

[答案]

1.C 2.D 3.A 4.R=30Ω時I=0.2A.