一道數列題的多種解法

摘 要： 一道數列題從不同角度、不同側面定位分析其數量關系，可以用不同方法經過不同的解題過程得出相同的結果.一題多解，可以培養學生的發散思維能力，解題過程中從多個角度分析問題、解決問題，還能鍛煉學生舉一反三的能力.本文以一道數列題為例，詳細說說它的三種不同解法.

關鍵詞： 一題多解 數列題 三種解法

數列的通項公式和前n項的和是高考考查的重點內容，二者相互轉化，構造等差、等比數列及綜合知識應用，通過一題多解，培養學生的解題能力.

例：已知數列{a}的前n項和為S，a>0且S=（a+），求數列{a}的通項公式.

解法一：∵S=（a+） a>0，∴S=a=（a+），得：a=1.

S=（a+），a=S-S，S=（S-S+），

S+S=，S-S=1.

∴數列{S}是首項為S=1公差為1的等比數列.

∵S=1+（n-1）×1=n

∴S=

∴a=S-S=- （n≥2），當n=1時也適合，∴a=-.

解法二：∵S=（a+） a>0，∴當n=1時，S=a=（a+），得：a=1.

當n≥2時，a=S-S=（a+）-（a+），

∴a-=-a+.

兩邊平分得：a-=-a+=4.

∴數列{a+}是首項為a+=2公差為4的等差數列.

a+=2+（n-1）×4=4n-2 解方程（不含題意的舍去），

得：a=-，n=1時也適合，∴a=-.

解法三：∵S=（a+） a>0

a=S=1

a=S-S=-1

a=-

a=-

猜想a=-

下面用數學歸納法證明.

①當n=1時，適合.②假設當n=k（k≥1，k∈N）時，等式成立，

即a=-，當n=k+1時，a=S-S=（a+）-（a+），a-=-2，

解方程a=-（不合題意舍去）.

∴n=k+1是等式成立，由①、②知a=-.

總之，一題多解，既能培養學生的思維能力，又能提高學生的綜合知識應用能力.