具視覺美學形態的Mandelbrot集合分形圖案

蔡宗文 林建德 溫國勛

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具視覺美學形態的Mandelbrot集合分形圖案

蔡宗文1,2林建德2溫國勛2

1.廈門地震勘測研究中心 2.福州大學創意產業研究所

分形圖案具有極高的視覺美學形態。該文介紹了Mandelbrot集合分形圖案的生成方法，根據復數平面逃逸時間算法生成分形圖案，程序設計以Visual Basic 2008程序語言及開發整合環境為發展工具，建立一個具有圖案信息顯示的工作系統。應用所發展的程序，分析不同幕次Mandelbrot集合所生成分形圖案的形態，并據此提出色差控制與大色差控制兩種分形圖案的色差控制方法，產生具有極高視覺美學形態的分形圖案。

分形圖案 Mandelbrot集合 視覺美學

0 引言

分形幾何（Fractal Geometry）起源于19世紀，一些著名數學家對連續不可微曲線進行了研究，發現了存在一類結構及形態，與傳統幾何曲線有所不同的“病態”曲線，諸如Cantor集合、Koch曲線、Peano曲線及Sierpinski集合[1, 2]。到了20世紀70年代，Mandelbrot[1,2]透過對復數平面(Complex Plane)的一個簡單函數的迭代研究，得到了令人贊嘆的復雜平面圖案，稱為Mandelbrot集合。該圖案集合的邊界具有復雜而精細的結構，在電腦的計算精度容許下，對其邊界進行任意放大時，可以得到的局部圖案與整體圖案具有自相似性（Self-Similar），亦即分形集合（Fractal Sets）的自相似性結構[1,2]。1982年，Mandelbrot在其著作《自然界中的分形幾何》中，將這類數學問題稱為分形幾何，而這些分形幾何集合則稱為分形藝術圖案或分形圖案（Fractal Art Pattern or Fractal Pattern）[1-6]。

分形藝術圖案在裝飾藝術設計、廣告設計、服裝設計、陶瓷設計等設計領域中已有部份應用[7-14]。應用分形幾何理論于藝術圖案與紡織紋樣設計，可以得到一些具有特殊的線條、圖案與色彩的分形藝術圖案。

1 復數平面上的Mandelbrot集合

在眾多的分形模型中，復數平面分形系統所生成的分形圖案具有令人心動的視覺美學形態。圖1為由Mandelbrot集合進行迭代計算后所產生的圖案，圖案的形態表現出無限細分、重復對稱與自相似的分形性質，具有極高的視覺美學形態。

圖1 Mandelbrot集合分形圖案

1.1 二次Mandelbrot集合

1.2 高次Mandelbrot集合

2 Mandelbrot集合分形圖案生成的程序設計

根據上述Mandelbrot集合的迭代過程，本文發展Mandelbrot集合的逃逸時間算法的視窗程序。程序設計以Visual Basic 2008程序語言及開發整合環境為發展工具，建立一個具有圖案信息顯示的工作系統。圖2所示為視窗程序的Mandelbrot集合分形圖案生成環境，設置集合控制參數的輸入項目及三個按鈕項目：(1)色差繪圖；(2)大色差繪圖；(3)結束程序。

圖2 Mandelbrot集合分形圖案生成程序界面

圖3 大色差控制方法調節Mandelbrot集合分形圖案生成程序界面

表1為復數平面上不同冪次的Mandelbrot集合的分形圖案生成，分別以色差控制與大色差控制進行圖案生成。由表1可知，不同冪次Mandelbrot集合所生的分形圖案明顯具有不同的構造，冪次數目與圖案的對稱角成正比，具有極高的視覺美學形態。

表1 不同冪次Mandelbrot集合所生的分形圖案

3 結論

自相似性是分形理論的重要特征，分形圖案的生成就是因為具有自相似性的特征，而分形圖案的自相似性就是指圖案的局部與整體間，具有規則的幾何相似性，或者是不規則的統計自相似性，圖案的局部中有其局部，整體與局部間結構不斷重復與相似，在視覺表現上成為了無限精細的結構。因此，分形圖案產生強烈的視覺藝術性，特別是經由Mandelbrot集合所生成的分形圖案，形成一種新穎的藝術風格，又與傳統藝術風格一樣具有和諧與對稱的美學特征，其對稱更是在傳統藝術僅有的上、下、左、右及中心對稱之外，揭示另一種相似性的對稱表現。本文結果說明了分形圖案不但具有藝術美學性質，其自相似的視覺特征與表現，可以作為實際圖案設計的應用。

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