兩種形式的豎曲線計算方法及結果分析

黃慶祥

(山西省交通科學研究院，山西太原 030006)

0 引言

公路路線縱斷面為沿道路中線豎直剖切后的展開線，在縱斷面的縱坡變更處，采用豎曲線進行緩和，其計算形式有二次拋物線和圓曲線兩種。JTJ 011-94公路路線設計規范(以下簡稱《舊規范》)中規定一般采用二次拋物線或圓曲線［1］;而JTG D20-2006公路路線設計規范(以下簡稱《新規范》)中規定宜采用圓曲線。但在《新規范》的條文說明中明確在實際設計工作中，可根據計算的方便，采用拋物線或圓曲線［2］。

一般認為兩者的差別很小，但在前后坡差較大的情況下，如低等級公路中，兩者的差距亦應引起實際設計者的注意。

1 兩種形式豎曲線的計算方法

1.1 拋物線式的豎曲線計算

如圖1所示，建立xoy坐標系。i1，i2分別為相鄰兩縱坡坡度，規定上坡為正，下坡為負，其代數差值i2－i1用ω表示。當ω＞0時為凹型豎曲線，當ω＜0時為凸型豎曲線。

可以求得二次拋物線式的豎曲線一般方程:

從而，拋物線上的任一點的曲率半徑:

由式(3)可知，拋物線上任意一點曲率半徑均是變化的，但對于拋物線頂點i=0，則:

其中，R即豎曲線的半徑，將式(4)代入式(1)得:

式(5)即實際工程設計中二次拋物線豎曲線的基本方程。其有以下特性:

1)切線長T1=T2=L/2;

2)曲率逐漸緩和變化，行車較為舒適。

1.2 圓曲線式的豎曲線計算

如圖2所示，建立xoy坐標系。圖中各參數含義與拋物線中對應參數的含義相同。

由圖2可得:

設圓曲線的圓心為o'(圖中未示)，則有:

可以求得圓曲線式豎曲線的一般方程:

由式(9)可得:

將式(7)和式(8)代入式(10):

式(7)～式(11)中，對于i1，i2的正、負關系進行相應組合的時候，相關參數的正、負號亦不相同，本文不做深入探討。

圖2 圓曲線式豎曲線計算示意圖

式(11)即實際工程設計中圓曲線式豎曲線的基本方程。其有以下特性:

1)一般情況下切線長T1≠T2;

2)曲率一致，施工方便。

表1 各級公路選取設計速度及對應最小半徑與豎曲線長度

2 兩種形式豎曲線計算結果

2.1 計算參數選定及計算方法［3］

《新規范》中規定，各級公路對應不同的設計速度、不同的豎曲線最小半徑與豎曲線長度。而最小半徑對應的條文說明中指出，為了行車安全和舒適，豎曲線半徑應采用表1中所列“一般值”的1.5倍～2.0倍或更大值［2］。本文將選取各等級公路取有代表性的設計速度進行對比分析。豎曲線半徑R除選擇設計速度對應的一般值 RN和極限值 RL外，增加選擇1.5RN，2RN和3RN;豎曲線長度L則選擇設計速度對應的一般值LN和極限值LL，詳見表 1。

為了便于對比分析，建立xoy坐標系，其中x代表里程，y代表高程。建立如圖3，圖4所示路線縱斷面模型。

圖3 凹型豎曲線計算示意圖

圖4 凸型豎曲線計算示意圖

實際設計工作中一般為已知路線起點BP、路線變坡點B和路線終點C的坐標以及豎曲線半徑R等參數，相當于已知i1，i2，R和B點坐標，即可確定豎曲線的位置。

圖3，圖4縱斷面模型均為豎曲線的一般形式，需要首先反算出豎曲線起點A的x坐標。

對于二次拋物線:

對于圓曲線:

由式(12)，式(13)和已知的 i1，yB，從而求出 yA。

經計算可知，當i1，i2，R和B點坐標已知的時候，豎曲線長度L拋＞L圓，即當L圓滿足最小豎曲線長度時，L拋必滿足，取L=L圓。根據圓曲線相關關系，有:

對比表1，式(14)，式(15)中除了表1中已知的R及L外，仍有兩個未知數 α1，α2為不定方程。注意到 i1，i2和 α1，α2的對應關系，本文將給定i1，聯立式(14)，式(15)解得i2。

根據式(5)，式(11)，式(12)和式(13)，解得變坡點處路線D點設計高程，進而確定圓曲線式豎曲線和拋物線式豎由線的高程差。

2.2 i1＞0的凹型豎曲線計算結果

設計參數取值:BP點里程K0+000，高程100 m;B點里程K1+000，縱坡i1=1%。

計算結果見表2。

表2 i1＞0的凹型豎曲線計算結果對比表

2.3 i1＜0的凸型豎曲線計算結果

凸型豎曲線建立如圖4所示路線縱斷面模型。設計參數如下:BP點里程K0+000，高程100 m;B點里程K1+000，縱坡i1=－1%。

計算結果見表3。

表3 i1＜0的凸型豎曲線計算結果對比表

2.4 縱坡其他組合方式的豎曲線計算結果

對于如圖5所示i1＜0的凹型豎曲線與i1＞0的凸型豎曲線，可以得出類似的結果，本文不再贅述。

圖5 縱坡其他組合方式計算示意圖

3 結語

對于兩種形式的豎曲線，分析計算過程及結果，可以得出以下結論:

1)豎曲線越短，計算高程越接近。但豎曲線過短，會給人突變的感覺，考慮到行車的舒適性和連續性，豎曲長度不宜過短，除非在極限性情況下，盡量避免采用豎曲線長度極限值。

2)豎曲線半徑越大，計算高程越接近。對于高等級公路，兩種形式豎曲線高程差已經很小;但對于低等級公路，考慮到縱坡可能的實際取值，舍去最大差值0.5563 m，最大差值已經達到0.0571 m，《新規范》中雖然規定豎曲線采用圓曲線，但部分路線計算軟件并沒有進行更新(如較為常用的緯地軟件)，實際設計工作中需要引起足夠的注意。若半徑采用《新規范》規定的半徑一般值的1.5倍以上，兩者差值較小，最大值0.0161 m。若非極限情況，兩者差別還是較為微小的。

3)前后縱坡差在17%以內，計算高程差值最大值不到0.0110 m，兩者計算結果是較為接近的。

4)考慮到二次拋物的曲率是連續變化的，對于行車來說，拋物線式豎曲線要比圓曲線式豎曲線更為平順。

5)對比兩者基本方程，二次拋物線式豎曲線計算公式更為簡單，且T1=T2，概念較為清晰，在實際設計工作中，若非極限情況，筆者仍然推薦采用二次拋物線式豎曲線。

［1］JTJ 011-94，公路路線設計規范［S］.

［2］JTG D20-2006，公路路線設計規范［S］.

［3］潘 威.勘測設計階段公路平縱線形組合的優化設計方法［J］.山西交通科技，2006(3)：30-32.