“數字信號處理”課程中線性相位的探討

童曉兵，徐以濤，蔡躍明

(解放軍理工大學通信工程學院，江蘇 南京 210007)

線性相位是有限脈沖響應(FIR)數字濾波器的一個突出優點。在數據通信和圖像處理等應用領域，往往要求信號在傳輸和處理過程中不能有明顯的相位失真，因此具有線性相位的FIR濾波器在工程實踐上得到了廣泛的應用[1]。然而，在“數字信號處理”課程中線性相位的教學存在兩個問題。一是學生很難理解相位的線性與非線性對信號的特性究竟會造成什么樣的影響。二是線性相位FIR濾波器的推導過程比較繁瑣復雜，學生的理解不夠深刻[2]。本文重點針對這兩個問題，結合筆者的教學經驗提出一種新的教學方法，從另外一個途徑加深學生對線性相位的理解。教學實踐證明，這種方法具有良好的教學效果。

1 非線性相位對信號特性的影響

在線性相位的教學過程中發現，學生對非線性相位產生的相位失真沒有一個直觀的認識。我們現通過一個例子，利用Matlab仿真來解釋線性相位和非線性相位對于信號特性的影響[3]。

假設信號為y1(n)=sin(n)+sin(2n)，其波形如圖1(a)所示。其中兩條虛線分別表示兩個頻率分量sin(n)和sin(2n);粗實線表示的是兩個分量的和，即信號sin(n)+sin(2n)。

若該信號通過一個線性相位的系統，則不同信號頻率分量的相移與頻率成正比，即如果分量sin(n)的相位滯后了φ1。那么分量sin(2n)將滯后2φ1，則輸出信號為

圖1(c)和圖1(d)分別給出了φ1=π和2π時的圖形。從圖上我們可以看出，這兩幅圖的波形和原始的波形一樣，所不同的是其波形和原始波形之間相差一個相位π或2π。可見一旦系統具有線性相位，其合成輸出信號波形就不會發生相位失真。

若該信號經過一個非線性相位的系統，由于非線性相位，信號的相移和頻率不成正比，則如果分量sin(n)的相位滯后1.5π，而分量sin(2n)的相位可能滯后0.5π，則通過系統輸出信號為

由圖1(b)可以看出，合成的輸出信號和原始信號相比，發生了明顯的失真。

圖1 信號經過不同系統后的波形比較

2 傳統的線性相位的教學方法

傳統的線性相位的教學方法，一般是根據序列信號h(n)的奇偶對稱性推導出H(ejω)的結果，從而得出相頻特性，其過程可以簡述如下[4]。

當h(n)為中心偶對稱時，通過理論推導可得

于是得到θ(ω)=-(N－1)ω/2。這就證明了一旦h(n)為中心偶對稱，則具有第一類線性相位。

當h(n)為中心奇對稱時，通過理論推導可得

由此可以得到θ(ω)=-(N－1)ω/2－π/2。這就證明了一旦h(n)為中心奇對稱，則具有第二類線性相位。

這種傳統的教學方法主要依靠數學公式的推導，教師在講解的過程中比較費勁，學生理解起來也比較困難。

3 新的線性相位的教學方法

下面我們提出一種利用序列的離散時間傅里葉變換(DTFT)的共軛對稱特性來理解線性相位條件的教學方法。一個中心偶對稱序列h(n)，可以看成是一個偶對稱序列向右平移(N－1)/2單位，如圖2所示。

圖2 偶對稱序列和中心偶對稱序列

根據DTFT的共軛對稱特性可知，一個序列可以分解為共軛對稱分量和共軛反對稱分量。其中，共軛對稱分量的DTFT對應著原序列DTFT的實部，而共軛反對稱分量的DTFT對應著原序列DTFT的虛部。由于一個偶對稱序列的共軛反對稱分量為0，因此偶對稱序列的DTFT的虛部也就為0，因此偶對稱序列的DTFT只有實部，因此一個偶對稱序列的DTFT的相位為0。根據DTFT時移定理，可知移位之后的序列和原序列的DTFT的關系為

因此，中心偶對稱序列的相頻特性為θ(ω)=-(N －1)ω/2。

同理可知:一個中心奇對稱的序列，可以看成是一奇對稱的序列向右平移(N－1)/2個單位，如圖3所示。

圖3 奇對稱序列和中心奇對稱序列

由DTFT的共軛對稱性可知，一個奇對稱的序列的共軛對稱分量為0，因此奇對稱序列的DTFT的實部為0。因此奇對稱序列的DTFT只有虛部。因此一個奇序列的DTFT的相位為－π/2。根據DTFT時移定理，可知中心奇對稱序列的DTFT的相位特性為θ(ω)=-(N－1)ω/2－π/2。

這里我們利用以前所學過的DTFT的共軛對稱性，說明了為什么中心偶對稱的序列，具備第一類線性相位;為什么中心奇對稱的序列具備第二類線性相位。這種方法相比于傳統的公式推導法要簡單明了，既便于學生記憶，達到了溫故而知新的效果。

4 結語

本文通過一個例子利用Matlab仿真直觀地解釋了線性相位和非線性相位對信號特性的影響，隨后提出了一種利用DTFT共軛對稱性來幫助學生理解線性相位的方法。該方法不但能夠避免復雜的數學推導，而且加深了學生對線性相位條件的理解。多年的教學實踐表明，該方法具有較好的效果。

[1]徐以濤等.數字信號處理[M].西安:西安電子科技大學出版社，2009

[2]王玉德.“數字信號處理”課程的教與學的探討[J].南京:電氣電子教學學報，2008，30(6):97-98

[3]薛年喜.MATLAB在數字信號處理中的應用(第二版)[M].北京:清華大學出版社，2008

[4]胡廣書.數字信號處理--理論、算法與實現[M].北京:清華大學出版社，2003