各向同性湍流能量級串中的旋渦分岔機制

冉 政

(上海大學上海市應用數學和力學研究所，上海200072)

盡管有關湍流的理論研究十分復雜，進展緩慢［1－2］，但沒有人否定湍流研究的重要性.本文選取湍流研究中的能量級串問題，作為主要的關注對象，試圖分析湍流能量級串這一概念的起源和演化，以及目前的發展狀況.簡單地講，湍流的多尺度和湍流的能量級串 (cascade)是湍流研究中一個十分重要的概念，由于非線性相互作用，湍流中存在尺度之間的逐級能量傳遞，一般是大尺度旋渦向小尺度旋渦輸送能量.然而，這一簡單的物理圖象卻蘊涵十分令人困惑的數學物理問題，它一直是湍流理論研究的核心問題.在湍流研究發展過程，包括 Taylor，Richardson，Kolmogorov，Mandelbrot，Frisch等許多科學家均對此問題做出過貢獻，但是，到目前為止，基于第一原理的認識卻一直沒有實質性的進展.本文在簡單闡述這些工作后，介紹了最近的一個理論進展.

1 Richardson能量級串的唯象分析

湍流能量級串的概念起源于Richardson一首廣為流傳的詩［3］，詩中并無精確的數學物理內容，但卻存在清晰的物理圖象:在能量級串過程中，第1級大渦的能量來自外界，大渦失穩后，產生第2級小渦，小渦失穩后又產生更小的旋渦，最后，由于Re數非常大，所有可能尺度的運動模式都被激發.Richardson的湍流級串圖象已經影響了湍流理論和實驗工作者幾十年.1941年，Kolmogorov對于湍流的刻畫［4］實際上已經使用了這一物理圖象.Richardson的湍流級串圖象引入了如下的思想:在湍流場中，能量從大尺度向小尺度的傳輸中，要經歷多步的離散過程，這一過程與旋渦的拉伸變形相關聯.這種圖象自然涉及到一系列的旋渦層次結構以及分岔過程.其中最基本的是認為級串是一個多步過程，這就涉及到不同旋渦尺度的層次結構，一般可以簡單地想象為不同直徑的球形旋渦組成的層次結構.長期以來，這一過程僅在唯象的分析中得到了部分的理解，而目前的研究表明:Richardson的湍流級串圖象具有一定合理的物理性質.但是，由此帶來了一系列基本理論問題:①是否存在內在的自然過程導致能量從大尺度旋渦到小尺度旋渦傳輸;②為什么湍流的能量級串必須是一個多步離散的過程.

2 Kolmogorov湍流理論

Kolmogorov［4］是 第 一 個 用 數 學 公 式 表 述Richardson湍流能量級串圖象的學者，他認為:在Re數很大時，湍流可以看成由相差很大的、各種不同尺度旋渦組成，最大的旋渦直接由平均流動的不穩定性或邊界條件產生.類似Richardson湍流能量級串圖象，這些大尺度旋渦又將破裂成較小的旋渦，較小的旋渦又分岔成更小的旋渦，這樣就形成了一串無窮多級的大大小小的旋渦.與Richardson不同的是，Kolmogorov關注的是小尺度湍流的各向同性統計特性，他認為這種湍流統計特性具有一定的普適性.最為主要的思想是:在高Re數條件下，大尺度旋渦級串到小尺度旋渦的過程要經過許多級，以致到慣性區非各向同性的大尺度的影響可以忽略，而認為湍流小尺度是局部各向同性的，并且此時湍流的統計特征與粘性無關，而主要取決于湍流的平均能量耗散.Kolmogorov使用量綱分析的方法得到了兩條定律，這實際上可以看成目前湍流理論研究的主要成就.

Kolmogorov理論的主要問題在于沒有直接與流體運動方程建立聯系，沒有動力學基礎，同時沒有計及湍流間歇性的影響，在之后的文獻［5］中，湍流的間歇性得到了一定的刻畫，但是第一原理的問題依然沒有解決.

3 湍流能量級串的唯象模型

1949 年 Batchelor和 Townsend［6］在實驗中發現了湍流小尺度結構的間歇性質，在最初的研究中主要是有關湍流能量耗散率的刻畫.這一問題的深入研究最終導致了使用多重分形結構刻畫湍流，這是現代湍流研究極其重要的一步，多重分形結構實質表明各向同性湍流是具有動力學結構的系綜.1962 年，Kolmogorov［5］和 Obukhov［7］分別提出有關湍流耗散率的對數正則分布模型，Novikov［8］和 Mandelbrot［9］探討了對數正則模型的內在問題.另外一種多步間歇湍流模型則是1964 年由 Novikov和 Stewart［10］提出的.1974 年，Mandelbrot［11］引入了分形幾何的概念，用于理解上述模型的特征，這是該領域的一個重要進展.1974年，Kraichnan［12］分析了在廣義自相似意義下湍流能量級串的物理內涵.在湍流學術界影響比較大的是β-模型［13］，這一唯象模型在描述湍流多重分形特性方面較為成功.

值得注意的是，上述的模型實質上屬于唯象性質的模型，缺乏動力學支持［13］.

4 湍流能量級串的低維動力學模型

自1963年Lorenz［14］的開創工作以來，非線性動力學系統混沌的研究發展迅速，極大地刺激了湍流理論研究的發展.非線性動力學系統混沌的研究提供了一種革命性的新觀點和新方法，如何應用這一新觀點和新方法充分發展湍流研究一直是湍流學術界的挑戰［15］.多年來，許多學者提出了一些具有完全發展湍流特征的混沌動力學模型，盡管這些模型能夠再現一些N-S(Navier-Stokes)湍流的本質特征，但仍屬于簡化模型，因此屬于唯象模型，可以歸納為湍流的低維動力學模型范疇.最為著名的是 Burgers方程模型［16］，它可以看成是N-S方程的一維簡化模型，但是它的解不是混沌的，Kolmogorov能譜律也不成立.由 Desnyansky 和 Novikov［17］，以及 Kerr和Siggia［18］，Gloaguen［19］等人提出的殼模型雖然得到了Kolmogorov能譜律，但作為運動方程的定態解，對應相空間中的固定點.中國學者錢儉［20］在1988年也提出一個簡化的湍流級串模型，雖然該模型的相空間維度僅為20，但能模擬充分發展湍流的主要特征，包括Kolmogorov能譜，相比之下，該模型能更好地模擬湍流的動力學特征和統計特征.

在湍流能譜空間，上述所有模型均未提供湍流的大尺度動力學的任何信息，這是除有限截斷外，最為主要的理論缺陷，另外，上述的模型對于湍流多尺度結構的起源也沒有對應的動力學支持，大多數在譜空間討論.一個自然而然的問題是:能否在湍流方程中存在一個自然的動力系統結構，對湍流級串進行更為理性的 (基于第一原理)刻畫.有關各向同性湍流Karman-Howarth方程的精確解的進展［21－24］部分回答了上述問題.

5 各向同性湍流的映射動力系統

出發方程是三維不可壓縮流體的Karman-Howarth方程

式 (1)不封閉，需要引入一定的封閉條件.采用Sedov提出的封閉方法，可以證明存在以下湍流空間尺度自封閉的演化方程［21－24］:

其中a1，a2為兩個積分常數.這是一個第二類非線性Lienard型方程，并且可以按標準方法得到精確解.研究以下形式解 (冪次解)，這兩類解為

在滿足大波數情況的冪次能譜條件下，可以證明所設的湍流參數必須是離散值

為了有效地度量旋渦系統尺度，必須選擇一定的參考尺度，一旦選定參考尺度，其他量與參考尺度做比例，則可以得到對應的度量.本文得到了兩種不同的旋渦尺度，如果選擇的參考尺度為

由式 (2)可知，lm是遞減函數，結合到湍流場中旋渦尺度的范圍 (L是湍流外尺度，η是湍流內尺度)L＞lm＞η，則在湍流流場中存在一個遞減的旋渦譜系:

完全按照上述思路，如選取測量的尺度是

利用兩種遞增和遞減的旋渦譜系，可以建立對應的尺度遞推關系.

注意到兩點的邊界條件，可得如下線性方程組:

其解可以寫為

代入有關的定義，有:

同理有

式 (4)減去式 (3)，有

同樣的方法可以得到第二特征尺度對應的一個新的遞推公式

簡單的計算如下:

如果引入條件:A?1，則可以有近似關系:

可以證明:各向同性湍流系統的旋渦尺度動力系統拓撲等價如下標準Logistic映射:

由上述分析可以得到:根據本文新得到的各向同性湍流尺度演化方程，在各向同性湍流系統中存在以湍流Taylor微尺度為動力學量的非線性動力系統

其中

xm為湍流Taylor微尺度面積測度;Rc為 線性穩定性理論得到的臨界Re數，注意到僅僅由Re數確定，這與實驗的觀測相符合.

根據上述理論，可以認為:湍流能量級串由一系列的旋渦非線性分岔過程刻畫，呈現Feigenbaum倍周期分岔的途徑.有關的分岔序列計算可以參見文獻 ［24］.

從簡單的對比可以看到本文提出的湍流級串旋渦動力學模型與β-模型有許多類似之處，但存在如下根本的區別:

1)β-模型中的離散來自假設的旋渦的概念，沒有數學基礎，而本文新模型中離散的出現有物理數學原因;

2)β-模型中尺度的演化只有遞減的模態，并且是人為設定的，沒有動力學基礎.

6 結論

本文簡要回顧了有關湍流能量級串問題的概念的源起和演化，簡要評述了目前各種研究方法的局限性.最后給出了本文在這一方向上基于Karman-Howarth方程的研究進展.主要結果表明:湍流能量級串由一系列的旋渦非線性分岔過程刻畫，呈現Feigenbaum倍周期分岔的途徑，這定量地反映出湍流能量級串中的非線性相互作用.

References)

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