翼身組合體的變可信度優化設計

周 婷 吳宗成 陳澤民 朱自強

(北京航空航天大學 航空科學與工程學院，北京100191)

目前，隨著計算機性能的飛速發展以及CFD(Computational Fluid Dynamics)理論的不斷完善，氣動優化設計在許多領域都得到了廣泛的應用.優化設計中，目標函數和約束函數的形式往往很復雜，要想利用可信度比較高的方法對其進行分析，可能會使設計時間延長.因此，優化問題常常需要在結果精度和計算時間上做出權衡［1］.

變可信度優化設計的啟發式算法已被應用于工程設計問題之中［2］，其優化結果能否保證收斂到高可信度模型優化的最優點是該算法的關鍵技術，變可信度模型管理有兩種方法:①由Dennis等提出的基于一種“模式尋找”方法，這種方法不需要進行梯度計算;②由Alexandrov等提出的近似管理框架 (AMF，Approximation Management Framework)方法，基于一種信賴域思想［3］.這兩種方法都可以保證優化結果收斂到高可信度模型優化的最優點.

AMF方法的主要思想是結合高、低可信度模型的優勢，優化計算主要在低可信度模型上進行，利用低可信度模型分析得到的結果通常需要重新進行縮放以保證該優化方法得到的結果收斂到高可信度問題的最優點;高可信度模型僅僅起到了修正優化模型的作用，這一方法得益于低可信度模型計算成本低，能夠給出好的搜索方向.

在不同網格密度上的同一分析計算模型或是不同分析模型都可以構成變可信度模型.文獻［4］采用同一模型對變網格密度時構成的變可信度模型進行了優化設計，同時還進行了不同分析模型組成的變可信度模型的優化設計;文獻［5］利用變可信度方法對翼型進行了優化設計，并作了變可信度方法的魯棒性分析;文獻 ［6］利用變可信度方法對多段翼型進行了氣動設計.

1 研究方法

1.1 信賴域方法

信賴域方法的提出是基于對非線性函數進行擬合的概念.對任意非線性函數，在某一確定點的鄰域內，可以利用局部線化的概念，用一線性函數對其進行近似描述.將“信賴域”的概念應用到優化問題中的信賴域方法，基本思想是首先在設計點上構建優化問題高可信度分析的近似模型，然后根據近似模型與高可信度模型的近似程度確定一個有限的區域，使得利用近似模型對設計變量在給定區域進行優化搜索時，可以得到與高可信度模型相近似的解，該有限區域即為“信賴域”.

對于無約束優化問題

其中，X=(x1，x2，…，xn)T為設計變量，n為設計變量的個數.對于一般的優化問題，都可以構造信賴域法.

其中，fai是第i次優化分析時用到的近似模型;si為搜索步長;‖‖是Rn中的某一范數;Δi為信賴域半徑.信賴域方法的基本過程如下:

1)初始化，給定初始值X0∈Rn，Δ0＞0，i=0.

2)子問題求解，求解信賴域子問題式 (2)得到步長si.

3)如果由步驟2)計算得到的步長si使得f(Xk+sk) ＜ f(Xk)，則接受 si，Xi+1=Xi+si，否則 Xi+1=Xi.

其中，0＜r1＜r2＜1，0＜c1＜c2.通常取 r1=0.2，r2=0.75，c1=0.5，c2=2.

1.2 AMF方法

信賴域方法為如何利用近似計算模型代替高可信度模型提供了基礎，如何將這一概念應用到優化過程中，以提高優化質量、降低優化成本的關鍵在于對高低可信度模型進行管理.Alexandrov等人首先在優化設計中提出了一種基于信賴域方法的AMF方法，這種方法可以對不同可信度的模型進行有效的管理和組織.

傳統的優化過程中，分析軟件把優化目標及其導數信息f，Δf傳遞給優化分析器，優化分析器根據接受到的信息搜索到新的設計變量X，傳遞給分析軟件再次進行分析，如此反復直至收斂.如果對該優化問題的目標函數、約束及其導數的分析采用的是高可信度模型，優化所需的計算成本將是巨大的.在AMF方法中，對高可信度模型利用低可信度模型建立一個近似，用fa來表示.在優化搜索中，通過低可信度模型分析，優化器獲得近似模型給出的優化目標及其導數，優化器據此搜索到新的設計變量，傳遞給分析軟件進行再次分析，如此反復直至收斂，高可信度模型只是起到修正目標函數近似模型的作用.

AMF方法在構建不同可信度模型結構時會遇到如下問題:①如何給出近似模型相對高可信度模型近似程度的定量表達式;②如何根據該表達式的值來指導下一步優化，即如何調整信賴域的范圍，確定下一步優化的起始點Xi+1.

設低可信度模型對物理問題描述準確性的量度值定為r，當r→1時表示低可信度模型與高可信度模型當前的近似程度較好，信賴域可以相應地擴大或者不變，優化結果可以作為下一輪優化的起點Xi+1=Xi+si;當r?1甚至r＜0時，表示低可信度模型當前近似程度較差，信賴域需要相應地縮小，而且優化結果Xi+si不能被接受，優化起點為原起點Xi.

1.3 零階近似

根據構造近似模型的原則不同，AMF主要有兩種形式，一階近似和零階近似.本文采用零階近似，低可信度模型對高可信度模型零階近似的構造原則，要求在當前點Xi上，有fa(Xi)=fhi(Xi)成立，其中，fhi和fa分別代表采用高可信度模型和近似模型計算得到的目標函數值.

2 數值方法

本文將多重網格N-S(Navier-Stokes)方程方法作為高可信度模型，它可以較準確地描述流場，對流場參數變化相對比較敏感;低可信度模型采用全位勢邊界層迭代方法，該方法描述流場的準確度低于N-S方程方法，對于流場參數變化不是很敏感.

2.1 高可信度模型

高可信度模型采用的是多重網格N-S方程方法.采用有限體積法求解翼身組合體繞流的流場，湍流模型為Baldwin-Lomax，控制方程的空間離散采用有限體積方法，無粘通量項和有粘通量項均采用中心差分格式，為了抑制激波及駐點附近的振蕩和不穩定性，需要加上人工粘性項.時間推進采用顯式五步Runge-Kutta法，采用多重網格技術加速流場解的收斂.

2.2 低可信度模型

低可信度模型采用的是全位勢有粘無粘迭代方法［7］，將流動分為兩個區域，外部無粘流動區和內部粘性邊界層，內層主控方程為邊界層方程，外部區域的求解采用繞物體的無粘理論，并考慮物體表面的邊界條件和尾跡影響的修正.

邊界層外部流場利用全位勢方法求解，為消除激波附近解的振蕩，引入了人工粘性.采用多重網格方法、殘值光順等技術加速收斂速度.邊界層求解利用的是半反方法，整個流場求解時采用準同步有粘無粘迭代.

3 優化設計

根據設計需求不同，機翼的優化設計考慮了兩種外型設計參數策略:①保證機翼平面形狀不變，通過改變控制剖面的厚度和扭轉角來改變機翼的外形;②保持機翼各個剖面的翼型不變，改變機翼的平面形狀，對于一般的梯形翼，展弦比、根梢比、前緣后掠角，再加上展長 (半展長)或根弦長，4個量可以唯一地確定一個機翼的平面形狀.文獻［8］進行過這方面的機翼優化設計研究.采用Powell優化方法進行優化設計.

優化外形選擇的是LOCKHEED Wing A梯形翼，其展弦比為7.9，梢根比為0.3998，1/4弦線后掠角為25.0°，半展長為45.7 cm.另外，機翼沿著展向任意橫截面最大相對厚度均為0.12，機翼的扭角為 6.5°，安裝角為2.5°.機身半徑與半展長之比為0.122.

3.1 機翼的厚度扭角優化設計

優化設計的基礎外形是LOCKHEED Wing A機翼，沿著機翼的展向選擇5個控制剖面，z/b(其中z為展向位置，b為半展長)分別為0.1，0.3，0.5，0.85，1.0.每個控制剖面可以獨立地改變厚度和扭轉角，此為設計變量，共10個.

優化條件是 Ma=0.818 4，迎角 α=2.940°，Re=0.598×107.目標函數為升阻比CL/CD，優化過程中保持升力系數不變.

選擇多重網格N-S方程作為高可信度模型，網格數1378 661，全位勢邊界層有粘/無粘迭代作為低可信度模型，網格數177174.

調用一次低可信度模型進行流場分析大概需要30 s，調用一次高可信度模型進行流場分析大概需要2 h.高可信度優化調用120次得到優化結果，而變可信度優化只調用N-S方程4次就得到了最終優化結果，大大提高了優化效率.

圖1給出了利用3種優化方法得到的翼型最大厚度分布曲線，圖2給出了利用3種優化方法得到的扭轉角分布曲線，圖3給出了利用變可信度優化方法得到的典型截面壓強系數曲線的變化情況.表1分別列出了完全利用低可信度模型進行優化、完全利用高可信度模型進行優化以及變可信度優化的優化結果，利用低可信度模型進行優化，目標增益可以達到7.45%，優化結果經N-S方程校核，收益為6.0%，而高可信度優化和變可信度優化結果分別為7.47%，7.26%，可見，低可信度優化結果明顯低于另外兩個優化結果，而高可信度優化結果和變可信度優化結果幾乎類似，但后者計算時間大大減少.

圖1 3種優化方法得到的沿展向翼型厚度分布

圖2 3種優化方法得到的沿展向翼型扭轉角分布

圖3 優化前后50%展向位置壓強系數Cp弦向分布曲線

表1 Wing A機翼的剖面優化結果對比

3.2 機翼平面形狀的優化設計

對于改變機翼平面形狀的設計策略也作了研究，保持半展長不變，選擇展弦比、根梢比和前緣后掠角為設計變量，改變機翼平面形狀.優化設計的基礎外形仍是LOCKHEED Wing A.優化條件是Ma=0.818 4，迎角 α=2.940°，Re=0.598×107.目標函數為升阻比CL/CD，優化過程中保持升力系數不變.高可信度優化調用40次得到優化結果，而變可信度優化只調用N-S方程5次就得到了最終優化結果，大大提高了優化效率.

表2分別列出了完全利用低可信度模型進行優化、完全利用高可信度模型進行優化以及變可信度優化的優化結果.可以看到，3種優化設計結果幾乎相同，而消耗時間差異很大，本算例低可信度優化也可以獲得比較理想的結果.

表2 Wing A的平面形狀優化結果對比

圖4給出了利用變可信度優化，優化前后典型截面的壓強分布.圖5給出優化前后機翼的平面形狀，優化后機翼的展弦比變小，根梢比基本保持不變，前緣后掠角變大.

圖4 優化前后50%展向位置壓強系數Cp弦向分布曲線

圖5 優化前后機翼平面形狀

4 結論

優化設計需要對目標函數進行分析計算，如果分析方法比較費時，就會降低優化效率;采用氣動力系數的高可信度模型優化，其結果準確性高，但優化效率較低;低可信度模型優化效率高，但優化結果往往需要校核，可能達不到最優解.

本文基于AMF方法發展了翼身組合體變可信度優化方法，進行了機翼厚度扭角優化設計和機翼平面形狀優化設計，結果表明，發展的變可信度優化方法可以將優化效率大大提高，同時保證優化效果.

References)

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