欠驅動航天器姿態調節滑模控制

馬廣富，劉 剛，黃 靜

（哈爾濱工業大學航天學院，150001 哈爾濱）

欠驅動航天器姿態調節滑模控制

馬廣富，劉 剛，黃 靜

（哈爾濱工業大學航天學院，150001 哈爾濱）

針對欠驅動航天器的姿態調節問題，設計了基于滑模變結構控制方法的控制器.給出基于四元數的三軸穩定欠驅動航天器動力學模型和運動學模型，在此基礎上首先利用廣義逆和二階滑模趨近律設計了航天器欠驅動軸的姿態調節控制律，給出了欠驅動軸控制器所具有的一般形式，分析了控制器的可實現性，并引入微小攝動量以保證控制器解的存在，在保證欠驅動軸穩定的情況下，又設計了一階滑模趨近律控制器實現可控軸的調節，最后證明了該控制方法在干擾作用下是有界穩定的，并進行了數值仿真，驗證了所推導控制律對欠驅動航天器姿態調節控制的有效性.

姿態調節控制;欠驅動航天器;滑模控制;廣義逆

目前所研究的航天器姿態控制系統，一般都安裝有足夠或冗余的執行機構，正常情況下，航天器姿態控制系統可以在滾動、俯仰和偏航三軸同時輸出控制力矩，完成姿態控制，這就是所謂的全驅動航天器姿態控制系統.但在一些特殊情況下，例如某一執行機構發生故障或失效時，在某一方向上無法正常輸出力矩，此時姿態控制系統僅能依靠其他兩軸輸出力矩以維持航天器姿態的穩定，這種情況稱為欠驅動航天器姿態控制問題［1］.研究此類欠驅動航天器的姿態控制問題，可以進一步保障系統整體的正常工作，同時提高其可靠性.此外欠驅動航天器以少于標準數目的執行機構實現姿態控制的目的，與其它全驅動航天器相比，具有能耗低、重量輕和成本少等優勢.因此，欠驅動航天器的姿態控制問題近年來引起了國內外學者的廣泛關注.

由于欠驅動系統不滿足 Brockett能穩條件［2］，將其在平衡點附近線性化會導致系統不可控，因此常規的線性控制方法不適于欠驅動航天器的穩定控制問題.在相關的研究中，Crouch［3］首次對所安裝執行機構少于常規數目的航天器的可控性問題進行了研究，并設計了相應的控制算法;Morin和Samson［4］設計了指數收斂的時變狀態反饋穩定控制器，并通過仿真表明該控制器可以實現欠驅動航天器的姿態穩定控制;Nadjim［5］和ka-zuo［6］等采用Lyapunov直接方法設計了兩種不連續的狀態反饋姿態穩定控制器.Tsiotras等［7－9］則采用(w，z)參數的描述方式建立了航天器的姿態運動學方程，并設計了多種不連續的姿態穩定控制器;Kim等［10］提出了鎮定航天器欠驅動動力學子系統，事先將欠驅動軸角速度控制到零附近后，再設計運動學子系統的滑模姿態控制律以實現局部穩定的控制方法;鄭敏捷等［1］同樣采用類似的思想，設計反步控制方法實現了對欠驅動軸的有效控制.

近年來，滑模控制方法由于在處理具有動力學模型建模誤差等不確定性因素的控制問題時具有較好的魯棒性，在非線性控制領域吸引了很多學者的目光.Singh 和 Iyer［11］，Dwyer和 Sira －Ramirez［12］，Crassidis［13］分別以不同的姿態描述方式，如歐拉角或Rodrigues參數等設計了多種滑模變結構控制器.Vadali等［14］首先結合最優控制理論設計了一種全局變結構航天器姿態控制器，但在該控制器的設計過程中對模型進行了一定程度的簡化，并沒有考慮動力學模型中的非線性部分.Terui［15］在其研究基礎上考慮了航天器動力學模型中的非線性部分，得到了適用性更廣的變結構控制器.Boskovic［16］考慮了控制器輸出受限的情況，設計了可在線調節滑模面參數的變結構姿態跟蹤控制器.Nusawasrdhana等［17］則在前人基礎上更深入研究和探討了滑模控制器相比于其它一般控制器的優越性.

本文主要考慮了欠驅動航天器的姿態穩定控制問題.首先，應用滑模控制方法的思想對欠驅動軸方向進行調節控制，考慮到欠驅動軸動力學模型的相對階為2，傳統的一階滑模趨近律無法顯式的體現控制力矩與欠驅動軸之間的動力學關系，這里引入了二階滑模趨近律設計欠驅動軸的控制器，在欠驅動軸達到穩定的基礎上進一步實現對其他兩軸的有效控制.所設計的控制器將運動學與動力學模型作為1個整體考慮，并且對外部干擾等不確定性因素具有一定的抑制作用，易于工程實現.

1 欠驅動航天器模型建立

本文采用利用四元數描述的剛體航天器運動學和動力學模型，定義航天器本體坐標系相對于慣性坐標系的姿態四元數為

其中q13=［q1q2q3］T為四元數的向量部分，q4為四元數標量部分.為了簡化分析，取航天器轉動慣量矩陣 J 為對角陣 J=diag(J11，J22，J33)，以滾動軸為欠驅動軸，根據歐拉定理可得到基于四元數的航天器運動學和動力學模型分別為［15］

其中，u=［0 u2u3］T∈R3，ud=［d1d2d3］T∈R3分別為三軸控制力矩與干擾力矩，控制力矩的第1個元素對應欠驅動軸，故恒為零.航天器本體系相對于慣性系的角速度為ω∈R3.

定義a1為

式中a1為航天器的軸不對稱系數，表示欠驅動航天器的非軸對稱性，其絕對值的大小代表了對欠驅動軸的控制難度，分析可知，a1的絕對值越小，則控制難度越大，a1為零時欠驅動軸將完全無法控制.

2 滑模控制器設計

定義滑動模態向量為

其中k1、k2、k3均為大于零的常數.由于欠驅動軸并不由力矩u作用于該軸的角速度而直接控制，其相對階為2，所以按照傳統的滑模控制設計思路對s求相對于時間的一階導數無法得到s1與控制力矩u之間的關系表達式，這里對s1求一階和二階導數，得

為了保證s1能夠漸近收斂至0，取

這里式(6)為滑動模態s1的趨近律，類似于傳統的二階系統，通過選擇合適的c1、c2可獲得不同的趨近效果.將式(4)～(5)代入式(6)可得

所有滿足式(7)的控制量ua均可實現對欠驅動軸的控制.下面對ua的可實現性進行分析.

定義1 如果對于任一q∈R4×1、ω ∈R3×1，存在ua滿足方程(7)，則稱方程(6)通過欠驅動系統(1)、(2)在 q ∈R4×1、ω∈ R3×1可實現.如果任意q≠0、ω≠0均滿足上述條件，則稱方程(6)是通過欠驅動系統(1)、(2)全局可實現的.

定理1 方程(6)是全局可實現的充要條件為

證明過程詳見文獻［18］.

根據定理1，很顯然當a1≠0時，由式(8)定義的A(q，ω)滿足式(11)，所以方程(6)是通過欠驅動系統(1)、(2)全局可實現的.從式(8)還可以看出，欠驅動軸的控制難度與軸不對稱系數a1絕對值的大小有關，a1的絕對值越大，控制難度越低.

取控制量ua為

其中A*(q，ω)為A(q，ω)的廣義逆，這里定義為

P(q，ω)為控制量系數的零投影矩陣，定義為

其中In×n為n階單位矩陣，根據Penrose-Moore的定義，式(13)所確定的矩陣A*(q，ω)滿足

所以A*(q，ω)滿足作為A(q，ω)的廣義逆矩陣的條件，并且總是存在且唯一的.

很顯然式(12)滿足方程(7)，即如式(12)所示的控制器均可保證s1漸近收斂至0.通過選取不同的y可得到方程(7)的所有解.

下面設計y使得系統可以在s2=0、s3=0確定的滑動面上運動.對s2、s3采用舍棄符號函數的指數趨近律

其中，Γ11＞ 0，Γ22＞ 0，

根據式(3)，略去干擾影響，有

將式(12)、(15)代入式(16)可得

由式(14)可知P(q，ω)存在不滿秩的情況，即P－1(q，ω)不一定存在，此時根據式(17)無法求得y.這里引入攝動量δ，得到新的控制量系數近似零投影矩陣(q，ω，δ).

其中 h(δ)=1+ δ.

對A(q，ω)進行奇異值分解，可得

其中 U(q，ω)、N(q，ω)為規范正交矩陣.

根據廣義逆的定義式(13)，還可以得到

由式(19)和(20)可得

將式(21)代入式(18)中，可得

將式(22)代入式(12)中，得到所設計的滑模控制器為

3 穩定性分析

首先考慮俯仰和偏航兩個可控軸的穩定性，選取Lyapunov函數為

不考慮干擾作用時，對其求導可得

由Lyapunov穩定性定理可以得到以下結論:

由于式(23)當且僅當s2、s3均為零時才滿足等于零的條件，所以當系統運動至滑模面上后會一直停留在滑模面上，即沿滑模面運動，系統是漸近穩定的.

考慮干擾的作用，式(23)變為

設干擾是有界的，取一正數η滿足0＜η＜1，將式(24)變為

其中|d2|max、|d3|max為干擾幅值的上界.通過觀察式(25)發現，只要選取合適的Γ11、Γ22使得

設干擾均是有界的，則式(26)也是有界的.設其絕對值上界為D，將D代入式(6)可得

由微分方程的性質可知，D的加入不會改變方程的特征根，設s1的解將由原來的 s1= ηeλat變為 s1= ηeλat±D/c2.其中λa等于λ1或λ2.可以看出只要c2取得足夠大，則s1將收斂于零的1個小臨域內，從而進一步使q1、ω1收斂至零向量的1個小臨域內，所以通過選擇合適的c2使系統實現有界穩定.

綜上可以看出，在有界干擾作用下，本文所設計的控制器可以實現系統(1)、(2)中所有狀態變量的有界穩定.

4 仿真結果與分析

為驗證本文所提出的控制算法的有效性，本節在Matlab/Simulink環境下進行數值仿真試驗.

航天器轉動慣量矩陣為

航天器外干擾力矩為

為了更明顯的體現控制器的工作原理和效果，取航天器初始姿態和角速度為

對其進行姿態調節控制，目標姿態和角速度為

控制器參數為 k1=k2=k3=20，c1=4，c2=4，δ=0.001，Γ11= Γ22=0.5.

當采用實際的傳感器和執行機構時，受制于執行機構能力和傳感器的精度(角速度過大時精度會嚴重下降)，控制器很難完成上述大角度的調節，這里只是為了定性說明控制算法在理論上的有效性而不考慮角速度和控制力矩過大的情況，該控制器的主要任務還是對外界持續小干擾造成的微小姿態偏差進行調節，防止姿態誤差在干擾長時間作用下累積而越來越大.

相應的仿真曲線如圖1～7所示，分別為航天器姿態四元數、航天器三軸角速度、控制力矩和滑動模態向量的仿真結果以及穩態誤差四元數向量部分放大曲線.

圖1 四元數q時間響應曲線

圖2 角速度ω時間響應曲線

圖3 控制力矩u曲線

從圖1～3可以看出，在航天器滾動軸控制輸出失效的情況下，本文提出的滑模非線性控制器通過對俯仰和偏航軸的控制仍然可以保證閉環系統的穩定性，在70 s內實現了航天器姿態調節的控制.由于欠驅動軸是通過對其它兩軸的直接控制而達到間接控制的作用，所以在穩定過程中可控軸的運動會呈現多次振蕩的趨勢，振蕩程度不僅與控制器有關，還取決于轉動慣量矩陣J對角線元素之間的關系.如以a1作為控制難易程度的指標，則a1的絕對值越小，控制難度越高.

圖4 滑動模態向量s曲線

圖5 誤差四元數q1曲線

圖6 誤差四元數q2曲線

圖7 誤差四元數q3曲線

通過穩態誤差四元數向量部分的曲線可以看出，該控制器對欠驅動軸所施加的持續干擾具有很好的抑制能力，控制誤差在1個很小的范圍內波動，周期與干擾力矩的周期相同.根據控制器設計的思路，兩可控軸需要首先實現對欠驅動軸的控制，而欠驅動軸的控制量是通過兩可控軸角速度施加的，所以在對欠驅動軸施加持續干擾的情況下可控軸的控制誤差相對較大，波動的頻率高于欠驅動軸，其幅值呈現為周期性變化，同欠驅動軸干擾力矩具有相同的頻率.該滑模控制器相較于其它的欠驅動控制器，無需將欠驅動航天器運動學和動力學模型分開進行設計，具有較強的通用性.

5 結論

本文針對剛性航天器單軸失效情況下的姿態調節控制問題，利用滑模變結構控制理論，設計了欠驅動剛性航天器姿態滑模控制系統.首先考慮到欠驅動軸相對階為2的情況，設計基于二階滑模趨近律控制器對其進行姿態調節.在此基礎上，設計傳統一階滑模控制器實現另外兩軸的控制.為了保證整個系統的可實現性，引入微小攝動量，得到了完整的滑模控制器.最后采用數學仿真驗證了所設計控制器的有效性.

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Sliding mode control for attitude regulation of underactuated spacecraft

MA Guang-fu，LIU Gang，HUANG Jing

(School of Astronautics，Harbin Institute of Technology，150001 Harbin，China)

The problem of attitude regulation control of an underactuated spacecraft is resolved by using sliding mode method.The three-axis underactuated spacecraft attitude dynamics and kinematics models are introduced.A sliding mode controller using generalized inverse and second order approaching law is designed for underactuated axis stabilization control，and the realisability of the controller is analyzed.A perturbed null-projection is constructed to guarantee the feasibility of the controller.On the basis of stabilization of the underactuated axis，a sliding mode controller is designed for another two axes as well.The proof of bounded stability is given in Lyapunov＇s sense.Simulation results demonstrate the availability of the proposed control algorithm.

attitude regulation control;underactuated spacecraft;sliding mode control;generalized inverse

V448.2

A

0367－6234(2012)09－0001－06

2011－09－01.

國家自然科學基金資助項目(61004072);中央高校基本科研業務費專項基金資助項目(HIT.KLOF.2010016);

馬廣富(1964—)，男，教授，博士生導師.

馬廣富，magf@hit.edu.cn.

(編輯 張 宏)