欠驅(qū)動航天器姿態(tài)調(diào)節(jié)滑模控制

馬廣富，劉 剛，黃 靜

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，150001 哈爾濱）

欠驅(qū)動航天器姿態(tài)調(diào)節(jié)滑模控制

馬廣富，劉 剛，黃 靜

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，150001 哈爾濱）

針對欠驅(qū)動航天器的姿態(tài)調(diào)節(jié)問題，設(shè)計了基于滑模變結(jié)構(gòu)控制方法的控制器.給出基于四元數(shù)的三軸穩(wěn)定欠驅(qū)動航天器動力學(xué)模型和運動學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上首先利用廣義逆和二階滑模趨近律設(shè)計了航天器欠驅(qū)動軸的姿態(tài)調(diào)節(jié)控制律，給出了欠驅(qū)動軸控制器所具有的一般形式，分析了控制器的可實現(xiàn)性，并引入微小攝動量以保證控制器解的存在，在保證欠驅(qū)動軸穩(wěn)定的情況下，又設(shè)計了一階滑模趨近律控制器實現(xiàn)可控軸的調(diào)節(jié)，最后證明了該控制方法在干擾作用下是有界穩(wěn)定的，并進行了數(shù)值仿真，驗證了所推導(dǎo)控制律對欠驅(qū)動航天器姿態(tài)調(diào)節(jié)控制的有效性.

姿態(tài)調(diào)節(jié)控制;欠驅(qū)動航天器;滑模控制;廣義逆

目前所研究的航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)，一般都安裝有足夠或冗余的執(zhí)行機構(gòu)，正常情況下，航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)可以在滾動、俯仰和偏航三軸同時輸出控制力矩，完成姿態(tài)控制，這就是所謂的全驅(qū)動航天器姿態(tài)控制系統(tǒng).但在一些特殊情況下，例如某一執(zhí)行機構(gòu)發(fā)生故障或失效時，在某一方向上無法正常輸出力矩，此時姿態(tài)控制系統(tǒng)僅能依靠其他兩軸輸出力矩以維持航天器姿態(tài)的穩(wěn)定，這種情況稱為欠驅(qū)動航天器姿態(tài)控制問題［1］.研究此類欠驅(qū)動航天器的姿態(tài)控制問題，可以進一步保障系統(tǒng)整體的正常工作，同時提高其可靠性.此外欠驅(qū)動航天器以少于標(biāo)準(zhǔn)數(shù)目的執(zhí)行機構(gòu)實現(xiàn)姿態(tài)控制的目的，與其它全驅(qū)動航天器相比，具有能耗低、重量輕和成本少等優(yōu)勢.因此，欠驅(qū)動航天器的姿態(tài)控制問題近年來引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注.

由于欠驅(qū)動系統(tǒng)不滿足 Brockett能穩(wěn)條件［2］，將其在平衡點附近線性化會導(dǎo)致系統(tǒng)不可控，因此常規(guī)的線性控制方法不適于欠驅(qū)動航天器的穩(wěn)定控制問題.在相關(guān)的研究中，Crouch［3］首次對所安裝執(zhí)行機構(gòu)少于常規(guī)數(shù)目的航天器的可控性問題進行了研究，并設(shè)計了相應(yīng)的控制算法;Morin和Samson［4］設(shè)計了指數(shù)收斂的時變狀態(tài)反饋穩(wěn)定控制器，并通過仿真表明該控制器可以實現(xiàn)欠驅(qū)動航天器的姿態(tài)穩(wěn)定控制;Nadjim［5］和ka-zuo［6］等采用Lyapunov直接方法設(shè)計了兩種不連續(xù)的狀態(tài)反饋姿態(tài)穩(wěn)定控制器.Tsiotras等［7－9］則采用(w，z)參數(shù)的描述方式建立了航天器的姿態(tài)運動學(xué)方程，并設(shè)計了多種不連續(xù)的姿態(tài)穩(wěn)定控制器;Kim等［10］提出了鎮(zhèn)定航天器欠驅(qū)動動力學(xué)子系統(tǒng)，事先將欠驅(qū)動軸角速度控制到零附近后，再設(shè)計運動學(xué)子系統(tǒng)的滑模姿態(tài)控制律以實現(xiàn)局部穩(wěn)定的控制方法;鄭敏捷等［1］同樣采用類似的思想，設(shè)計反步控制方法實現(xiàn)了對欠驅(qū)動軸的有效控制.

近年來，滑模控制方法由于在處理具有動力學(xué)模型建模誤差等不確定性因素的控制問題時具有較好的魯棒性，在非線性控制領(lǐng)域吸引了很多學(xué)者的目光.Singh 和 Iyer［11］，Dwyer和 Sira －Ramirez［12］，Crassidis［13］分別以不同的姿態(tài)描述方式，如歐拉角或Rodrigues參數(shù)等設(shè)計了多種滑模變結(jié)構(gòu)控制器.Vadali等［14］首先結(jié)合最優(yōu)控制理論設(shè)計了一種全局變結(jié)構(gòu)航天器姿態(tài)控制器，但在該控制器的設(shè)計過程中對模型進行了一定程度的簡化，并沒有考慮動力學(xué)模型中的非線性部分.Terui［15］在其研究基礎(chǔ)上考慮了航天器動力學(xué)模型中的非線性部分，得到了適用性更廣的變結(jié)構(gòu)控制器.Boskovic［16］考慮了控制器輸出受限的情況，設(shè)計了可在線調(diào)節(jié)滑模面參數(shù)的變結(jié)構(gòu)姿態(tài)跟蹤控制器.Nusawasrdhana等［17］則在前人基礎(chǔ)上更深入研究和探討了滑模控制器相比于其它一般控制器的優(yōu)越性.

本文主要考慮了欠驅(qū)動航天器的姿態(tài)穩(wěn)定控制問題.首先，應(yīng)用滑模控制方法的思想對欠驅(qū)動軸方向進行調(diào)節(jié)控制，考慮到欠驅(qū)動軸動力學(xué)模型的相對階為2，傳統(tǒng)的一階滑模趨近律無法顯式的體現(xiàn)控制力矩與欠驅(qū)動軸之間的動力學(xué)關(guān)系，這里引入了二階滑模趨近律設(shè)計欠驅(qū)動軸的控制器，在欠驅(qū)動軸達到穩(wěn)定的基礎(chǔ)上進一步實現(xiàn)對其他兩軸的有效控制.所設(shè)計的控制器將運動學(xué)與動力學(xué)模型作為1個整體考慮，并且對外部干擾等不確定性因素具有一定的抑制作用，易于工程實現(xiàn).

1 欠驅(qū)動航天器模型建立

本文采用利用四元數(shù)描述的剛體航天器運動學(xué)和動力學(xué)模型，定義航天器本體坐標(biāo)系相對于慣性坐標(biāo)系的姿態(tài)四元數(shù)為

其中q13=［q1q2q3］T為四元數(shù)的向量部分，q4為四元數(shù)標(biāo)量部分.為了簡化分析，取航天器轉(zhuǎn)動慣量矩陣 J 為對角陣 J=diag(J11，J22，J33)，以滾動軸為欠驅(qū)動軸，根據(jù)歐拉定理可得到基于四元數(shù)的航天器運動學(xué)和動力學(xué)模型分別為［15］

其中，u=［0 u2u3］T∈R3，ud=［d1d2d3］T∈R3分別為三軸控制力矩與干擾力矩，控制力矩的第1個元素對應(yīng)欠驅(qū)動軸，故恒為零.航天器本體系相對于慣性系的角速度為ω∈R3.

定義a1為

式中a1為航天器的軸不對稱系數(shù)，表示欠驅(qū)動航天器的非軸對稱性，其絕對值的大小代表了對欠驅(qū)動軸的控制難度，分析可知，a1的絕對值越小，則控制難度越大，a1為零時欠驅(qū)動軸將完全無法控制.

2 滑模控制器設(shè)計

定義滑動模態(tài)向量為

其中k1、k2、k3均為大于零的常數(shù).由于欠驅(qū)動軸并不由力矩u作用于該軸的角速度而直接控制，其相對階為2，所以按照傳統(tǒng)的滑模控制設(shè)計思路對s求相對于時間的一階導(dǎo)數(shù)無法得到s1與控制力矩u之間的關(guān)系表達式，這里對s1求一階和二階導(dǎo)數(shù)，得

為了保證s1能夠漸近收斂至0，取

這里式(6)為滑動模態(tài)s1的趨近律，類似于傳統(tǒng)的二階系統(tǒng)，通過選擇合適的c1、c2可獲得不同的趨近效果.將式(4)～(5)代入式(6)可得

所有滿足式(7)的控制量ua均可實現(xiàn)對欠驅(qū)動軸的控制.下面對ua的可實現(xiàn)性進行分析.

定義1 如果對于任一q∈R4×1、ω ∈R3×1，存在ua滿足方程(7)，則稱方程(6)通過欠驅(qū)動系統(tǒng)(1)、(2)在 q ∈R4×1、ω∈ R3×1可實現(xiàn).如果任意q≠0、ω≠0均滿足上述條件，則稱方程(6)是通過欠驅(qū)動系統(tǒng)(1)、(2)全局可實現(xiàn)的.

定理1 方程(6)是全局可實現(xiàn)的充要條件為

證明過程詳見文獻［18］.

根據(jù)定理1，很顯然當(dāng)a1≠0時，由式(8)定義的A(q，ω)滿足式(11)，所以方程(6)是通過欠驅(qū)動系統(tǒng)(1)、(2)全局可實現(xiàn)的.從式(8)還可以看出，欠驅(qū)動軸的控制難度與軸不對稱系數(shù)a1絕對值的大小有關(guān)，a1的絕對值越大，控制難度越低.

取控制量ua為

其中A*(q，ω)為A(q，ω)的廣義逆，這里定義為

P(q，ω)為控制量系數(shù)的零投影矩陣，定義為

其中In×n為n階單位矩陣，根據(jù)Penrose-Moore的定義，式(13)所確定的矩陣A*(q，ω)滿足

所以A*(q，ω)滿足作為A(q，ω)的廣義逆矩陣的條件，并且總是存在且唯一的.

很顯然式(12)滿足方程(7)，即如式(12)所示的控制器均可保證s1漸近收斂至0.通過選取不同的y可得到方程(7)的所有解.

下面設(shè)計y使得系統(tǒng)可以在s2=0、s3=0確定的滑動面上運動.對s2、s3采用舍棄符號函數(shù)的指數(shù)趨近律

其中，Γ11＞ 0，Γ22＞ 0，

根據(jù)式(3)，略去干擾影響，有

將式(12)、(15)代入式(16)可得

由式(14)可知P(q，ω)存在不滿秩的情況，即P－1(q，ω)不一定存在，此時根據(jù)式(17)無法求得y.這里引入攝動量δ，得到新的控制量系數(shù)近似零投影矩陣(q，ω，δ).

其中 h(δ)=1+ δ.

對A(q，ω)進行奇異值分解，可得

其中 U(q，ω)、N(q，ω)為規(guī)范正交矩陣.

根據(jù)廣義逆的定義式(13)，還可以得到

由式(19)和(20)可得

將式(21)代入式(18)中，可得

將式(22)代入式(12)中，得到所設(shè)計的滑模控制器為

3 穩(wěn)定性分析

首先考慮俯仰和偏航兩個可控軸的穩(wěn)定性，選取Lyapunov函數(shù)為

不考慮干擾作用時，對其求導(dǎo)可得

由Lyapunov穩(wěn)定性定理可以得到以下結(jié)論:

由于式(23)當(dāng)且僅當(dāng)s2、s3均為零時才滿足等于零的條件，所以當(dāng)系統(tǒng)運動至滑模面上后會一直停留在滑模面上，即沿滑模面運動，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.

考慮干擾的作用，式(23)變?yōu)?/p>

設(shè)干擾是有界的，取一正數(shù)η滿足0＜η＜1，將式(24)變?yōu)?/p>

其中|d2|max、|d3|max為干擾幅值的上界.通過觀察式(25)發(fā)現(xiàn)，只要選取合適的Γ11、Γ22使得

設(shè)干擾均是有界的，則式(26)也是有界的.設(shè)其絕對值上界為D，將D代入式(6)可得

由微分方程的性質(zhì)可知，D的加入不會改變方程的特征根，設(shè)s1的解將由原來的 s1= ηeλat變?yōu)?s1= ηeλat±D/c2.其中λa等于λ1或λ2.可以看出只要c2取得足夠大，則s1將收斂于零的1個小臨域內(nèi)，從而進一步使q1、ω1收斂至零向量的1個小臨域內(nèi)，所以通過選擇合適的c2使系統(tǒng)實現(xiàn)有界穩(wěn)定.

綜上可以看出，在有界干擾作用下，本文所設(shè)計的控制器可以實現(xiàn)系統(tǒng)(1)、(2)中所有狀態(tài)變量的有界穩(wěn)定.

4 仿真結(jié)果與分析

為驗證本文所提出的控制算法的有效性，本節(jié)在Matlab/Simulink環(huán)境下進行數(shù)值仿真試驗.

航天器轉(zhuǎn)動慣量矩陣為

航天器外干擾力矩為

為了更明顯的體現(xiàn)控制器的工作原理和效果，取航天器初始姿態(tài)和角速度為

對其進行姿態(tài)調(diào)節(jié)控制，目標(biāo)姿態(tài)和角速度為

控制器參數(shù)為 k1=k2=k3=20，c1=4，c2=4，δ=0.001，Γ11= Γ22=0.5.

當(dāng)采用實際的傳感器和執(zhí)行機構(gòu)時，受制于執(zhí)行機構(gòu)能力和傳感器的精度(角速度過大時精度會嚴(yán)重下降)，控制器很難完成上述大角度的調(diào)節(jié)，這里只是為了定性說明控制算法在理論上的有效性而不考慮角速度和控制力矩過大的情況，該控制器的主要任務(wù)還是對外界持續(xù)小干擾造成的微小姿態(tài)偏差進行調(diào)節(jié)，防止姿態(tài)誤差在干擾長時間作用下累積而越來越大.

相應(yīng)的仿真曲線如圖1～7所示，分別為航天器姿態(tài)四元數(shù)、航天器三軸角速度、控制力矩和滑動模態(tài)向量的仿真結(jié)果以及穩(wěn)態(tài)誤差四元數(shù)向量部分放大曲線.

圖1 四元數(shù)q時間響應(yīng)曲線

圖2 角速度ω時間響應(yīng)曲線

圖3 控制力矩u曲線

從圖1～3可以看出，在航天器滾動軸控制輸出失效的情況下，本文提出的滑模非線性控制器通過對俯仰和偏航軸的控制仍然可以保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，在70 s內(nèi)實現(xiàn)了航天器姿態(tài)調(diào)節(jié)的控制.由于欠驅(qū)動軸是通過對其它兩軸的直接控制而達到間接控制的作用，所以在穩(wěn)定過程中可控軸的運動會呈現(xiàn)多次振蕩的趨勢，振蕩程度不僅與控制器有關(guān)，還取決于轉(zhuǎn)動慣量矩陣J對角線元素之間的關(guān)系.如以a1作為控制難易程度的指標(biāo)，則a1的絕對值越小，控制難度越高.

圖4 滑動模態(tài)向量s曲線

圖5 誤差四元數(shù)q1曲線

圖6 誤差四元數(shù)q2曲線

圖7 誤差四元數(shù)q3曲線

通過穩(wěn)態(tài)誤差四元數(shù)向量部分的曲線可以看出，該控制器對欠驅(qū)動軸所施加的持續(xù)干擾具有很好的抑制能力，控制誤差在1個很小的范圍內(nèi)波動，周期與干擾力矩的周期相同.根據(jù)控制器設(shè)計的思路，兩可控軸需要首先實現(xiàn)對欠驅(qū)動軸的控制，而欠驅(qū)動軸的控制量是通過兩可控軸角速度施加的，所以在對欠驅(qū)動軸施加持續(xù)干擾的情況下可控軸的控制誤差相對較大，波動的頻率高于欠驅(qū)動軸，其幅值呈現(xiàn)為周期性變化，同欠驅(qū)動軸干擾力矩具有相同的頻率.該滑模控制器相較于其它的欠驅(qū)動控制器，無需將欠驅(qū)動航天器運動學(xué)和動力學(xué)模型分開進行設(shè)計，具有較強的通用性.

5 結(jié)論

本文針對剛性航天器單軸失效情況下的姿態(tài)調(diào)節(jié)控制問題，利用滑模變結(jié)構(gòu)控制理論，設(shè)計了欠驅(qū)動剛性航天器姿態(tài)滑模控制系統(tǒng).首先考慮到欠驅(qū)動軸相對階為2的情況，設(shè)計基于二階滑模趨近律控制器對其進行姿態(tài)調(diào)節(jié).在此基礎(chǔ)上，設(shè)計傳統(tǒng)一階滑模控制器實現(xiàn)另外兩軸的控制.為了保證整個系統(tǒng)的可實現(xiàn)性，引入微小攝動量，得到了完整的滑模控制器.最后采用數(shù)學(xué)仿真驗證了所設(shè)計控制器的有效性.

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Sliding mode control for attitude regulation of underactuated spacecraft

MA Guang-fu，LIU Gang，HUANG Jing

(School of Astronautics，Harbin Institute of Technology，150001 Harbin，China)

The problem of attitude regulation control of an underactuated spacecraft is resolved by using sliding mode method.The three-axis underactuated spacecraft attitude dynamics and kinematics models are introduced.A sliding mode controller using generalized inverse and second order approaching law is designed for underactuated axis stabilization control，and the realisability of the controller is analyzed.A perturbed null-projection is constructed to guarantee the feasibility of the controller.On the basis of stabilization of the underactuated axis，a sliding mode controller is designed for another two axes as well.The proof of bounded stability is given in Lyapunov＇s sense.Simulation results demonstrate the availability of the proposed control algorithm.

attitude regulation control;underactuated spacecraft;sliding mode control;generalized inverse

V448.2

A

0367－6234(2012)09－0001－06

2011－09－01.

國家自然科學(xué)基金資助項目(61004072);中央高校基本科研業(yè)務(wù)費專項基金資助項目(HIT.KLOF.2010016);

馬廣富(1964—)，男，教授，博士生導(dǎo)師.

馬廣富，magf@hit.edu.cn.

(編輯 張 宏)