分數(shù)階Fourier變換與新型時頻濾波器設(shè)計

閆 格，劉開華，羅 蓬，呂西午

（天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院，300072 天津）

分數(shù)階Fourier變換與新型時頻濾波器設(shè)計

閆 格，劉開華，羅 蓬，呂西午

（天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院，300072 天津）

為了無失真地恢復(fù)復(fù)雜噪聲環(huán)境中的非平穩(wěn)信號，提出一種新型分數(shù)階Fourier變換時頻濾波器設(shè)計方法.該方法先利用Gabor變換得到信號在時頻域的分布狀況，然后用支撐向量機(SVM)分類算法結(jié)合圖像分割得到分離時頻圖像上信號和噪聲區(qū)域所需的最優(yōu)分類線，最后用此最優(yōu)分類線方程確定時頻濾波器的階數(shù)和傳遞函數(shù).在信號和噪聲時頻域線性不可分的情況下，對SVM分類曲線進行了全局最小二乘分段線性擬合，然后根據(jù)擬合生成的方程構(gòu)造并行多階濾波器組.為滿足實際應(yīng)用中實時性的要求，對算法的計算復(fù)雜度進行了優(yōu)化.計算機仿真結(jié)果驗證了該方法的有效性.

時頻濾波;Gabor變換;圖像分割;支持向量機;分數(shù)階Fourier變換

現(xiàn)今非平穩(wěn)信號處理是現(xiàn)代信號處理領(lǐng)域一個重要分支，尤其是非平穩(wěn)信號的濾波技術(shù)，一直是學(xué)術(shù)界研究的熱點.由于非平穩(wěn)信號的頻率分布具有時變特性，因此無法單獨在時域或頻域上對信號進行濾波處理.近年來，隨著時頻分析理論的蓬勃發(fā)展［1－3］，尤其是離散分數(shù)階 Fourier變換(fractional Fourier transform，F(xiàn)rFT)在數(shù)字信號處理中的應(yīng)用，使得新型時頻濾波器設(shè)計有了新的解決方案.FrFT作為Fourier變換的廣義形式，可以描述為時頻平面的旋轉(zhuǎn)算子［4］在統(tǒng)一的時頻域上對信號進行分析.利用該特點，時頻濾波器的設(shè)計［5－6］中可以采用FrFT技術(shù)實現(xiàn)對非平穩(wěn)信號的參數(shù)檢測和估計及某些形式的干擾和噪聲的消除.在文獻［7］和［8］中，提出了基于最小均方誤差準則的分數(shù)階Fourier域最優(yōu)濾波算法.在文獻［9］中，給出了分數(shù)階Wiener濾波算子的離散化求解算法.然而，這些算法是現(xiàn)代濾波器設(shè)計理論在分數(shù)階Fourier域上的延伸和推廣，在設(shè)計時需要信號和噪聲的統(tǒng)計先驗知識，并且只局限于單個旋轉(zhuǎn)角度上的濾波.在文獻［10］中，利用Fr-FT的旋轉(zhuǎn)可加性，實現(xiàn)了多個階次上的迭代濾波.但該方法運算復(fù)雜且無法保證迭代過程收斂到全局最優(yōu)解.文獻［11］中，利用時頻變換先確定時頻濾波器階次和傳遞函數(shù)，然后將分數(shù)階Fourier域濾波器等效于時頻面上的一條分類線.此方法為時頻濾波器設(shè)計提供了良好的思路，但在文獻中沒有提出具體的設(shè)計方法和合理的分類線選擇依據(jù).

本文提出了一種新型FrFT時頻濾波器設(shè)計方法.該方法根據(jù)信號和噪聲的時頻分布采用Gabor變換(Gabor transform，GT)、圖像分割、支持向量機(support vector machine，SVM)等技術(shù)，自動地獲取區(qū)域間的分類線，然后根據(jù)分類線方程確定時頻濾波器的參數(shù).該方法設(shè)計過程無需任何信號和噪聲的統(tǒng)計先驗知識，且能夠保證濾波器的最優(yōu)性能.在信號和噪聲的形式、強度、分布均未知的情況下，該方法依然適用，具有良好的可靠性和通用性.

1 分數(shù)階Fourier域濾波器原理

對任意信號s(t)，旋轉(zhuǎn)角度為α的FrFT定義為［4］

式中:定義 FrFT 的階為 p;α =pπ/2，Kα(t，u)為變換的核函數(shù)，則有

一般稱u域為分數(shù)階Fourier變換域，其中α=0與α=π/2分別表示信號的時域和頻域.FrFT可以被描述為時頻面上的旋轉(zhuǎn)算子，即1個信號的FrFT的Wigner分布(Wigner distribution，WD)是原信號Wigner分布的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)形式，用公式表示為

式中WD定義為

考慮一組含有加性噪聲的非平穩(wěn)信號x(t)=s(t)+n(t).其中s(t)和n(t)分別表示有用的非平穩(wěn)信號和加性噪聲，假設(shè)其時頻分布如圖1所示.可以看到有用信號和噪聲在時域和頻域同時存在耦合但不交疊，即無法單獨通過時域或頻域濾波完全濾除噪聲，但由于兩者的封閉性可通過切割分離.

圖1 分數(shù)階Fourier域上的噪聲分離

利用FrFT將坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)到合適的角度，構(gòu)造分數(shù)階Fourier域濾波器即可實現(xiàn)噪聲的完全濾除和信號的無失真恢復(fù).該濾波器可以表示為

式中r(t)為恢復(fù)信號，H(u)為時頻濾波器傳遞函數(shù).可將式(1)所示的時頻濾波器等效于時頻面上的一條分類線，有用信號和噪聲的分布區(qū)域可以通過該分類線完全分離.時頻濾波器的變換階次p可以由所得分類線的斜率k確定，即p=－2arccot k/π，而濾波器的截止頻率u0等于原點到分類線的距離.

對于更加一般的信號分布，需要將時頻平面多次旋轉(zhuǎn)才能逐步消除信號和噪聲的耦合.此時可將單階時頻濾波器擴展為連續(xù)變化階次的時頻濾波器組，即

顯然，分數(shù)階Fourier域濾波器的設(shè)計重點是有用信號和噪聲區(qū)域間的時頻分類線的確定方法.通過圖1可以看出，能夠?qū)蓚€區(qū)域完全分離的直線不具備唯一性.因此，如何制定約束條件，并根據(jù)信號和噪聲的分布，尋找一條最優(yōu)的分類線將成為分類線確定方法的關(guān)鍵.

2 時頻濾波器設(shè)計方法

2.1 時頻圖像的獲取及分割

為了在時頻面上準確定位各信號和噪聲分量，需要對觀測信號進行時頻變換.本文通過計算信號的Gabor變換獲取信號和噪聲的時頻分布，即

由于GT是一種線性變換，不受交叉項干擾，對于觀測信號x(t)=s(t)+n(t)，有

通過Gabor變換，可以得到一幅觀測信號的時頻圖像，該圖像由信號區(qū)域、噪聲區(qū)域以及背景區(qū)域三部分組成，且各像素點的像素值對應(yīng)于該時頻點的Gabor系數(shù).這里假設(shè)各信號和噪聲分量的分布區(qū)域沒有重疊.

為了實現(xiàn)不同區(qū)域的分離，特別是有用信號和噪聲區(qū)域的分離，本文采用區(qū)域生長圖像分割技術(shù)［12］對Gabor圖像進行處理.該方法能夠獲得良好的邊界信息和分割結(jié)果，對于各信號分量的強度和分布邊緣差異較大的情況依然適用.最后，對所得的各時頻區(qū)域附加不同的區(qū)域標(biāo)識，即可實現(xiàn)各區(qū)域的分離.

2.2 最優(yōu)時頻分類線的確定

SVM是一種通用機器學(xué)習(xí)方法，在信號分類和識別等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.本文利用SVM的學(xué)習(xí)機制獲取信號和噪聲區(qū)域間的唯一分類線，并根據(jù)分類線方程設(shè)置合理的時頻濾波器參數(shù).考慮如下形式的點的集合:

其中:i=1，2，…，N.xi為二維位置向量，代表Gabor變換生成的時頻圖像中的1個像素;ci為xi的類別標(biāo)識，取值區(qū)間為1或－1，取1表示該向量屬于信號區(qū)域，取－1則表示信號屬于噪聲區(qū)域.將集合D所包含的點作為SVM分類器的訓(xùn)練集，優(yōu)化目標(biāo)是尋找一條區(qū)分兩個區(qū)域的最優(yōu)分類線.此分類線的設(shè)計準則是不但能將所有向量xi正確分類，而且使得分類間隔最大.分類線定義如下:

上式中，定義w為系數(shù)向量.為使對于訓(xùn)練集D，滿足如下正確分類條件:

對式(3)進行歸一化，可得歸一化分類間隔為Mmargin=2/‖w‖.

綜合以上可定義SVM最優(yōu)分類線為滿足條件(4)且使得分類間隔最大的分類線.有用信號區(qū)域和噪聲區(qū)域中距離分類線最近的向量稱為支持向量.上述問題可以通過二次規(guī)劃理論尋求最優(yōu)解，本文采用文獻［13］提出的優(yōu)化算法對分類線參數(shù)進行求解.

2.3 時頻區(qū)域線性不可分情況

對于線性可分情況，可以直接根據(jù)SVM分類線方程確定時頻濾波器各項參數(shù)，然后利用式(1)即可進行噪聲的濾除以及有用信號的恢復(fù).

對于線性不可分情況，通過合理選取SVM核函數(shù)，可以得到一條曲線形式的最優(yōu)分類線.該分類線無法直接用于濾波器參數(shù)選擇.在這種情況下，為方便濾波器設(shè)計，本文提出在全局最小二乘誤差準則下，對非線性SVM分類線進行分段線性擬合，形成一組首尾相接的線段，進而根據(jù)各線段的參數(shù)分別設(shè)計相應(yīng)的多階時頻濾波器組.已知非線性分類線上的M個數(shù)據(jù)點

式中f=I(t)為曲線分類線方程.對于數(shù)據(jù)組ym，求解滿足最小二乘誤差準則

的分段線性擬合折線方程f=I'(t)的方法即最小二乘擬合.所生成的分段線性擬合折線方程表示為

點(tn，fn)，(n=1，2，…，N+1)為時頻面內(nèi)分段線性擬合折線段的起點和拐點.N為分段數(shù)，選擇合適的N值，保證完全分離有用信號和噪聲.然后根據(jù)每段的擬合方程確定相應(yīng)階的時頻濾波器組的參數(shù)，進而利用式(2)逐次濾波即可實現(xiàn)噪聲的完全濾除.

實際應(yīng)用中，采用并行時頻濾波器組實現(xiàn)方式更為高效.首先根據(jù)擬合的曲線分類線，將觀測信號在時域分成N段，每段信號對應(yīng)于擬合折線段中的一段，即

根據(jù)擬合結(jié)果確定各子濾波器的參數(shù)，并對對應(yīng)的觀測信號段進行濾波處理，將所有輸出信號疊加，作為最終的恢復(fù)信號，即

上述并行結(jié)構(gòu)相比于式(2)所示的串行濾波器組具有明顯的優(yōu)勢.首先，每段觀測信號僅進行一次FrFT正逆變換，避免了多次FrFT所引入離散化誤差.其次，各段信號的分段濾波過程可以設(shè)計并行硬件單元結(jié)構(gòu)實現(xiàn)，提高了計算速度.由此可見并行時頻濾波器組結(jié)構(gòu)擁有精度和計算速度兩方面優(yōu)勢.

2.4 算法流程及細節(jié)

算法的流程如圖2所示.

圖2 算法流程

在實際應(yīng)用中，需要計算離散分數(shù)階Fourier變換.本文選用Pei Soo-Chang等［14］提出的采樣型快速算法.該算法滿足FrFT的周期性、可逆性以及分數(shù)階Fourier域采樣定理［15］，并且可以較為準確的逼近連續(xù)FrFT的結(jié)果.這種快速算法利用工程中常用的FFT來實現(xiàn).算法的計算復(fù)雜度為O(Nlg N).

本文所提出的時頻濾波器設(shè)計方法的前提假設(shè)是:信號和噪聲的時頻分布有耦合但無交疊.因而該方法對信號和噪聲的先驗性要求較低，在雷達等應(yīng)用領(lǐng)域，感興趣信號多為非合作信號，干擾信號形式復(fù)雜且隨機性強，沒有先驗知識可以利用，此時利用該方法可以獲得良好的濾波效果.然而對于信號畸變及信噪無法分離的情況，則需要引入一定的現(xiàn)代濾波方法實現(xiàn)信號的有效恢復(fù).

2.5 減少算法復(fù)雜度的措施

工程應(yīng)用中，需要對接收信號高速、實時地進行濾波處理.在本文所提設(shè)計方法中的SVM分類算法占據(jù)了大部分的運算量.為了降低運算量，可采用下述措施進行優(yōu)化:

1)Gabor-Wigner變換.Gabor變換的分辨率低，在時頻圖像上表現(xiàn)為信號和噪聲區(qū)域占據(jù)的面積增大.而有效像素點的增加必然導(dǎo)致SVM訓(xùn)練集的擴大.SVM分類器的運算量又取決于訓(xùn)練集數(shù)據(jù)的個數(shù).因此時頻圖像的分辨率是影響算法復(fù)雜度的重要因素.文獻［11］提出了 Gabor-Wigner變換(GWT)的定義如下:

式中:Gs(t，f)和Ws(t，f)分別表示信號的 Gabor變換和Wigner分布;h(x，y)表示任意二元函數(shù).合理的選取h(x，y)的形式，可以使GWT在避免交叉項干擾的同時保持和Wigner分布具有相同的高分辨率.綜合以上特點，通過GWT獲取信號的時頻圖像表示，可以有效減小SVM訓(xùn)練集的規(guī)模，達到降低運算復(fù)雜度的目的.

2)圖像邊緣提取技術(shù).根據(jù)SVM的原理，只有支持向量對訓(xùn)練結(jié)果產(chǎn)生影響，因此支持向量可以唯一地確定分類線的方程.由于本文假設(shè)信號和噪聲在時頻面上的分布均為連通閉合區(qū)域，所以所需的支持向量必然位于兩區(qū)域的邊緣.由此可以推出，采用圖像邊緣提取技術(shù)［12］，由各區(qū)域的邊緣像素組成訓(xùn)練集，可以有效降低SVM分類器的訓(xùn)練復(fù)雜度.

3 仿真實驗

3.1 實驗一

本實驗為信號和噪聲線性可分情況.假設(shè)信號和噪聲均為高斯調(diào)幅的線性調(diào)頻信號，表達式為

信號的觀測區(qū)間為 －2 s到2 s，采樣率為fs=100 Hz.觀測信號x(t)=s(t)+n(t)的Gabor時頻分布如圖3所示.由圖3可以看出，耦合同時存在于信號和噪聲的時域和頻域.

圖3 觀測信號的Gabor變換

如圖4所示，對Gabor變換后的圖像進行區(qū)域分割，利用不同區(qū)域內(nèi)像素構(gòu)成的訓(xùn)練集，訓(xùn)練SVM分類線.

圖4中，SVM訓(xùn)練得到的最優(yōu)分類線方程為

然后利用分類線的參數(shù)確定時頻濾波器的階數(shù)及傳遞函數(shù)對觀測信號進行濾波，所得到恢復(fù)信號的時域波形和恢復(fù)殘差如圖5所示.

圖4 線性SVM分類線及支持向量

圖5 恢復(fù)信號及恢復(fù)殘差

根據(jù)實驗結(jié)果，時頻濾波器的信噪比改善因子由式(5)計算得FIF=29.049 5 dB，信號恢復(fù)均方誤差由式(6)計算得EMSE=0.124 46%.

在上述實驗的基礎(chǔ)上，構(gòu)造4條典型非最優(yōu)分類線，用于考察SVM分類線的最優(yōu)特性對濾波器性能的影響.如圖6所示，4條分類線同樣可以達到將兩個區(qū)域完全分離的效果，直線分類線方程分別為

圖6 典型非最優(yōu)分類線

分別對上述4條分類線構(gòu)造對應(yīng)的時頻濾波器，并用其對觀測信號進行濾波處理，濾波性能統(tǒng)計結(jié)果如表1所示.

表1 4條典型分類線對應(yīng)的濾波結(jié)果

由上述結(jié)果可以看出，本文方法在信號和噪聲分布線性可分的情況下，可以實現(xiàn)噪聲的有效的濾除.同其它時頻分類線的濾波效果對比可以看出，SVM分類線設(shè)計的時頻濾波器具有最優(yōu)的性能.由于SVM以最大化分類間隔作為優(yōu)化目標(biāo)，克服了觀測信號的時域截斷以及離散譜分析的柵欄效應(yīng)造成信號和噪聲的能量向整個時頻平面泄露，在時頻面上表現(xiàn)為可以最大程度地分離信號和噪聲，從而提高濾波器的性能.

3.2 實驗二

本實驗為有用信號和噪聲線性不可分情況.考慮線性不可分情況，信號和噪聲方程如下:

信號觀測時間段為－10 s到10 s，采樣率為fs=30 Hz.信號的Gabor時頻分布如圖7所示.信號和噪聲區(qū)域間的非線性SVM最優(yōu)分類線如圖8所示.

圖7 信號的Gabor變換

對圖8中的SVM分類曲線進行全局最小二乘分段線性擬合，擬合段數(shù)為N=4(擬合的段數(shù)等于濾波器的階數(shù))，其擬合結(jié)果如圖9所示.

圖9中，折線段的擬合方程組為

利用SVM折線段擬合的方程參數(shù)確定并行時頻濾波器組的參數(shù)，并對輸入信號進行4階濾波，所得恢復(fù)信號的時域波形以及恢復(fù)殘差如圖10所示.

圖8 非線性SVM分類線及樣本支持向量

圖9 SVM分類曲線的4段線性擬合

圖10 恢復(fù)信號及恢復(fù)殘差

根據(jù)圖10所示實驗結(jié)果，由式(5)～(6)分別計算時頻濾波器的信噪比改善因子和信號恢復(fù)均方誤差，其結(jié)果為:FIF=28.180 8 dB，EMSE=0.1520 3%.

由上述結(jié)果可以看出，本文方法在信號和噪聲分布線性不可分的的情況下，仍可實現(xiàn)噪聲的有效濾除.由于非線性分類線的擬合的誤差和多階濾波器組引入了額外的FrFT離散化誤差的影響，同線性可分情況相比，此時頻濾波器的性能略有下降.

4 結(jié)論

本文針對非平穩(wěn)信號的波形恢復(fù)問題，提出了一種基于FrFT的新型時頻濾波器設(shè)計方法.該方法屬于經(jīng)典濾波器在分數(shù)階Fourier域上的擴展，設(shè)計過程無需信號和噪聲的先驗知識，簡單直觀且具有良好的信噪比改善性能，適合工程實現(xiàn).仿真結(jié)果顯示，在信號和噪聲耦合但不交疊的前提下，該方法針對信號和噪聲區(qū)域線性可分和線性不可分兩種情況都能實現(xiàn)噪聲的濾除和信號的無失真恢復(fù).如何在該方法中融合現(xiàn)代濾波的相關(guān)思想，解決信號畸變以及信噪交疊難分離的問題，且進一步優(yōu)化運算的復(fù)雜度，都是今后需要進一步研究的課題.

［1］MILLIOZ F，MARTIN N.Circularity of the STFT and spectral kurtosis for time-frequency segmentation in Gaussian environment［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2011，59(2):515 －524.

［2］LU W K，ZHANG Q.Deconvolutive short-time Fourier transform spectrogram［J］.IEEE Signal Processing Letters，2009，16(7):576 －579.

［3］XING M，WU R，LI Y，et al.New ISAR imaging algorithm based on modified Wigner-Ville distribution ［J］.IET Radar，Sonar and Navigation，2009，3(1):70 －80.

［4］ALMEIDA L B.The fractional Fourier transform and time-frequency representations［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1994，42(11):3084－3091.

［5］OZAKTAS H M，BARSHAN B，ONURAL L，et al.Filtering in fractional Fourier domains and their relation to chirp transforms［C］//Proceedings of the 7thMediterranean Electrotechnical Conference，Antalya.Antalya:［s.n.］，1994:77 －79.

［6］OZAKTAS H M，BARSHAN B，MENDLOVIC D.Convolution and filtering in fractional Fourier domains［J］.Optical Review，1994，1(1):15－16.

［7］ZALEVSKY Z，MENDLOVIC D.Fractional Wiener filter［J］.Applied Optics，1996，35(20):3930 －3936.

［8］KUTAY M A，OZAKTAS H M，ONURAL L，et al.Optimal filtering in fractional Fourier domains［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1997，45(5):1129－1143.

［9］齊林，陶然，周思永，等.LFM信號的一種最優(yōu)濾波算法［J］.電子學(xué)報，2004，32(9):1464－1467.

［10］ERDEN M F，KUTAY M A，OZAKTAS H M.Repeated filtering in consecutive fractional Fourier domains and its application to signal restoration［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1999，47(5):1458 －1462.

［11］PEI S C，DING J J.Relations between Gabor transforms and fractional Fourier transforms and their applications for signal processing［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2007，55(10):4839－4850.

［12］GONZALEZ R C，WOODS R E.Digital image processing［M］.New York:Prentice Hall，2002.

［13］CHAPELLE O.Training a support vector machine in the primal［J］.Neural Computation，2007，19(5):1155－1178.

［14］PEI S C，DING J J.Closed-form discrete fractional and affine Fourier transforms［J］.IEEE Transaction on Signal Processing，2000，48(5):1338－1353.

［15］TAO R，DENG B，ZHANG W Q，et al.Sampling and sampling rate conversion of band limited signals in the fractional Fourier transform domain［J］.IEEE Transaction on Signal Processing，2008，56(1):158 －171.

Fractional Fourier transform and novel time-frequency filter design

YAN Ge，LIU Kai-hua，LUO Peng，LU Xi-wu

(School of Electronics and Information Engineering，Tianjin University，300072 Tianjin，China)

To realize the lossless recovery of non-stationary signal in complicated noise environment，a novel design method based on fractional Fourier transform of time-frequency filter is proposed，in which the time-frequency distribution of incident signal is obtained by Gabor transform first，and then based on support vector machine(SVM)and technique of image segmentation，the regions of signal and noise on the time-frequency plane are separated and the optimal separating line is drawn，finally the order number and transfer function of the time-frequency filter can be determined by the optimal separating line equation.For the case of linearly inseparable signal and noise time-frequency distribution，the piecewise linear fitting based on global least square criterion is performed to the separating curved line，and the parallel filter banks are constructed from the linear fitting equation.To meet the real-time requirement in engineering application，the computational complexity was optimized，and the simulation results demonstrated the validity of this method.

time-frequency filtering;Gabor transform;image segmentation;support vector machine;fractional Fourier transform

TN911.72

A

0367－6234(2012)09－0138－06

2011－08－06.

天津市科技支撐計劃資助項目(10ZCKFGX03600).

閆 格(1983—)，男，博士研究生;

劉開華(1956—)，男，教授，博士生導(dǎo)師.

閆格，eye_ge@163.com.

(編輯 張 宏)