基于熵—Shapely的樣本差異賦權方法

席雪紅

（鄭州航空工業管理學院，鄭州 450015）

0 引言

我國地域廣闊、各地資源稟賦層次不齊，不同的資源對差異地區的發展約束不盡相同。在這樣的背景下，對我國各區域發展水平作出一個合理并符合實際的評價對我國順利實現“東部率先發展、中部崛起和西部大開發”的共同推進具有重要意義。常規的評價主要側重于指標體系的構建，如李答民（2008）從結構、變量關系、制度、可持續性和增長力等5個維度，采用了價格指數等15個評價指數和指標連乘法對31個地區的經濟發展水平進行了定量評價；王永潔等（2007）則使用了主成分分析方法將評價體系設為4個維度，對寧夏下屬各市進行了發展水平評價。上述研究的指標體系構建具有一定的合理性和實踐性，但應關注的是這些文獻中或多或少都在避免一個幾乎所有評價研究都不能忽視的問題：指標權重。類似的研究中，如汪波等（2004）直接采取AHP層次分析法對指標體系賦權;楊霞(2011)在構建指標體系的基礎上，采用了熵權和灰色GM組合的方法的進行賦權，對我國區域農業發展水平進行評價。本文提出了一種基于熵權基礎上修正的shapely二次權重方法，對以往評價過程中賦權的一次性操作提出修正，并使用該方法進行實例分析，以期對相應研究有幫助。

1 熵—Shapely二次權重修正方法

信息熵的概念源自于物理學分析，對于任何一種信息其自身都具有一定的膨脹性，具體到經濟學領域，對于n個樣本的多指標（如m個）評價，會有一個矩陣：

矩陣中xij表示第i個對象中第j個指標的值，形成了n×m矩陣，表示存在n行（評價對象個數）、m行（評價指標個數），那么對于指標j而言，其存在正負向指標區別，如j(1)指標在評價中越大越好，如經濟增速、資產周轉率等，而有一些指標在評價中以越小為好，如廢水排放率、未通過率等，那么對于負向指標必須進行轉化，一般可以采用數據倒數法和最大值減法進行處理，為了方便敘述和操作相對簡單，這里不再具體說明，即假設（1）中所有指標為正向指標；由于不同指標存在量綱不同，需要進行歸一化處理，具體公式為：

即在特定指標下不同樣本的數值除以該列總和，如果zij越大，表示在j指標下，i單位的信息熵越大。計算熵權值的公式為：

將（3）式轉化為最終的權重公式，權重為：

這種通過指標體系內部信息熵的挖掘得到的賦權方法就稱熵賦權，克服了以往評價賦權中AHP的主觀性。但是，不得忽視的一個問題是：一個具體的指標雖然原則上來說應該有dj的權重，這種權重效力的發揮依賴于指標數值的大小，比如在經濟發展水平評價過程中，一些欠發達省份的某一指標數值相對較小，那么這個指標的意義就不是非常顯著，故筆者提出了一種基于shapely的熵權修正方法。具體步驟為：

（1）設立臨界判別值。對于指標j中的樣本數值xij，其占最優值代表了在i樣本在j指標固有權重上的實現度。

（2）對原有權重修正。對于每個i而言，j指標原有權重為上述計算出的dj，這里認為j指標對不同研究對象的權重是不一樣的，得到的調整貢獻度為：gij=γij?dj。

（3）Shapely權重計算。這里認為對于集合G=[gi1,gi2,…gim]的任意子集G*?G（共2m個），具體計算公式為：

其中V(G*)——G*組合的權重發揮總效力，V(G*/j)——G*組合的權重發揮總效力，k為G*組合中指標的數量。可以發現經過處理后λij≠dj,由于每個樣本在獨立指標下的權重發揮效度不同，故最后計算出的最終權重也不相同。值得注意的是：這種賦權方法弱化了劣勢指標的權重，而強化了強勢指標的作用，這種方法具有一定的說服力：在很多區域評價中，一些地方在資源稟賦、勞動力人數方面有優勢，而在技術創新和基礎設施建設上存在不足，如果按照全國整體的唯一權重（資源稟賦、勞動力人數等優勢指標的權重較低）對其進行評判，必然會造成評價的不公平出現。

2 實例分析

2.1 初始熵權計算

存在評價指標集X=[x1,x2,x3]和樣本集Y=[y1,y2,…y10]，具體數據結構用（1）式的矩陣形式表示：

表1 熵權計算結果

可以發現三個評價指標的量綱完全不同，分別是[0,10]、[0,100]和[0,1]數據區間類型。假設所有指標均為正向指標，故不需要再進行同向化處理，可以根據實際對經濟情形對號入座，比如對應為企業利潤額（萬元）、銷售額（萬元）和各項指標綜合達標率。按照（2）～（4）式進行各指標初始權重。其中調節系數k=1/ln10=0.4343，計算出的熵權值H(xj)和最終權重dj如表1所示，表示三個指標中x1重要性最強，達到了0.550，其次是x3為0.261，x2的權重最小為0.187。

2.2 差異樣本下的Shapley權重調整

（1）計算單個樣本的權重實現度和調整貢獻度。計算結果如表2所示，在2-1中，通過每列數據除以該列數據中最大值得到，可以看出在指標1上樣本8完全實現，同理指標2和指標3上樣本2和樣本3完全實現，這樣體現了不同樣本在不同指標上的相對優勢；表2-2通過每列數據與所代表的指標初始權重（表1中第三行）相乘得到的結果。

表2 -1 權重實現度

表2 -2 調整貢獻度

表3 樣本1的指標權重計算

（2）shaply權重修正。以樣本1為例，其構成的指標集為I=[1,2,3]（這里為了方面計算和序數，故省略了x符號），設置門限值為這個門限值的意思是某個集合指標貢獻度超過了全要素權重的一半值，這個評價指標體系的信度比較可靠。下面以樣本1中三個指標權重計算為例，門限值為：（0.186+0.120+0.117）/2=0.2115，若V(s)＞0.2115，則由P(s)=1,否則等于0。

那么有映射關系：V（1）=0.186，V（1,2）=0.306，V（1,3）=0.303，V（1,2,3）=0.423。表3中表示包含指標1在內所有[1,2,3]的子集，第二行k為集合中元素個數，V(k)是包含集合得到的利益，V(k-1)是去除指標1后剩下元素集合的收益，然后根據門限值得到P值，具體見表3。表最后三行是需要的數據，運用（5）計算出指標1的權重是1/3；那么同樣得到其他兩個指標權重也分別為1/3。這樣，按照上述運算，同樣可以得到其他樣本的各指標權重。

表4 經過shaply法修正后的樣本差異權重

表4中顯示了每個分析樣本在三個指標上的權重分布，從縱列上看，Y2,y5～y10共六個對象的指標1權重為2/3，比初始權重0.55增加了0.167，而Y1，Y3，Y4在不同程度上權重呈現縮小趨勢，指標2權重上除樣本1外均呈現縮小趨勢，如對象9該指標權重為0，但整體上縮小趨勢不大，因為1/6與0.187差距較小。指標3上指標呈現出普遍權重縮小現象，因為初始權重為1/4，除了1,3,4,8樣本該指標權重增大外，其他六個全部變小。上述研究結論體現了不同指標在對不同樣本進行評價時的權重變化思想。

3.3 評價結論

由（6）中的矩陣數據和表4的權重數值，根據（7）可得到評價得分。

表5 熵—shapely評價得分及排序

表5中給出了基于熵—shapely的權重修正評價結果，表示X8＞ X9＞ X5＞X6＞ X4＞X7＞ X3＞X10＞ X2＞ X1,為了進行對比，這里采用熵權法得到初始權重再次進行評價，結論如表6，可以發現兩種方法的評價結果存在很大差異，前四名的總體位置沒有發生變化，X8和X9、X5和X6排名顛倒，X2經權重修正后由第六名變為第9名，X3和X10的排名也互相顛倒了一次。可以認為：shapely權重修正不會引起大的排名變動，即不改變原有數據分析內在結構和機理，而只是在排名比較相近的分析樣本排序上進行具體修正，如上面分析的“相近樣本名字倒換”特征。這樣基于樣本差異的權重波動分析方法，對經濟管理乃至其他各類社會評級研究至關重要。

表6 初始權重評價得分及排序

4 結論

本文在對評價研究過程中賦權方法相關研究文獻的基礎上，提出了一種基于熵—shapely的樣本差異指標賦權方法，這種方法改變了以往研究過程中對于不同樣本進行評價時采取一致指標權重的傳統做法，根據實例研究發現這種方法評價的結果不會在數據結構上有別于其他評價方法，但其存在的微調作用不可小視，希望有關學者能夠在此基礎上做進一步研究，對解決評價過程中的賦權難題作貢獻。

[1]李答民.區域經濟發展評價指標體系與評價方法[J].西安財經學院學報，2008,（5）.

[2]王永潔，劉小鵬，趙亞峰.區域經濟發展的綜合評價及優化—以寧夏為例[J].寧夏大學學報，2007,（1）.

[3]汪波，方麗.區域經濟發展的協調度評價實證分析[J].中國地質大學學報（社會科學版），2004,（6）.

[4]楊霞.我國農業發展水平的GM-熵賦權組合評價[J].統計與決策，2011,（19）.