矩陣位移法和有限元法在桁架結(jié)構(gòu)分析中的區(qū)別

張寧寧

(江南大學(xué)環(huán)境與土木工程學(xué)院，江蘇無(wú)錫 214122)

有限元數(shù)值分析理論中，可以比較精確地分析復(fù)雜工程問(wèn)題和大結(jié)構(gòu)體。有限元法基于離散化的實(shí)體，解決一些力學(xué)和物理問(wèn)題，主要應(yīng)用于設(shè)計(jì)大型或者特殊項(xiàng)目和系統(tǒng)工程。

矩陣位移法基于位移方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)矩陣分析，把位移看作基本未知量。由于分析方法和有限元分析法相似，矩陣位移法又被稱作“桿件結(jié)構(gòu)有限元分析”。

1 兩種算法的基本原理

1.1 矩陣位移法的基本原理

矩陣位移法是在力學(xué)結(jié)構(gòu)中解決位移和桿件整體力的重要方法，是以位移方法理論為基礎(chǔ)的。此方法把節(jié)點(diǎn)位移看作基本未知量，把結(jié)構(gòu)離散成單一桿件結(jié)構(gòu)后，分析并建立各個(gè)元素的平衡方程。最后，得到節(jié)點(diǎn)位移和桿件單元端點(diǎn)力。

1.2 矩陣位移法分析過(guò)程

過(guò)程分為后處理方法和前處理方法。后處理方法分六步進(jìn)行:第一步，離散并編碼;第二步，計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃?第三步，形成原始整體剛度矩陣和整體剛度方程式;第四步，根據(jù)邊界條件形成剛度矩陣和剛度方程式;第五步，得到節(jié)點(diǎn)位移;第六步，計(jì)算單元固端力和反作用力。而在前處理法中，除去第三步，其他步驟同。

1.3 有限元法基本原理

有限元法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效方法。是使一個(gè)連續(xù)的無(wú)限自由度問(wèn)題變成離散的有限自由度問(wèn)題。具體再將連續(xù)的整體離散為一組單元的組合體，使用在各單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來(lái)分片的表示求解整體上待求的未知函數(shù)，通常由未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在單元各節(jié)點(diǎn)的數(shù)值插值函數(shù)來(lái)表達(dá)近似函數(shù)，從而使一個(gè)連續(xù)的無(wú)限自由度問(wèn)題變成離散的有限自由度問(wèn)題。

1.4 有限元法分析過(guò)程

首先，將結(jié)構(gòu)離散成有限單元。這些單元互相聯(lián)系但又不互相重疊。初始邊界條件轉(zhuǎn)移到各節(jié)點(diǎn)。然后，在每個(gè)單元中，選擇簡(jiǎn)單的近似函數(shù)得到未知函數(shù)。最后，根據(jù)原始數(shù)學(xué)模型中的變量準(zhǔn)則和加權(quán)剩余方法建立剛度方程。然后把各個(gè)方程組成代數(shù)方程，把變量和底值當(dāng)做未知量。在矩陣和計(jì)算機(jī)的幫助下，可以獲得近似解決方法。

2 矩陣位移法和有限元法的區(qū)別

矩陣位移法本來(lái)被用于分析復(fù)雜的框架結(jié)構(gòu)。很明顯，這些結(jié)構(gòu)是由桿件組成，這些桿件的特征可以用經(jīng)典的位移法分析。盡管在方法和步驟方面，矩陣位移法和有限元法有相似之處，但它們有本質(zhì)的區(qū)別。前者可以用來(lái)分析知道的單元節(jié)點(diǎn)，在桁架結(jié)構(gòu)中節(jié)點(diǎn)力的關(guān)系，但不是連續(xù)桿件結(jié)構(gòu)。它們的不同在于下面兩個(gè)方面:1)基本原理的建立方法不同。矩陣位移法是建立在結(jié)構(gòu)力學(xué)中的位移理論方法，在計(jì)算過(guò)程中很容易獲得方程，然后用計(jì)算機(jī)解方程，有限元法是建立在彈性力學(xué)理論，變量理論和平均剩余理論的基礎(chǔ)上，它通過(guò)近似函數(shù)獲得未知函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題。2)解決方案的重點(diǎn)不同。有限元法首先根據(jù)荷載和材料的本質(zhì)把結(jié)構(gòu)分成有限個(gè)獨(dú)立單元。然后，在單元中選擇簡(jiǎn)單的近似函數(shù)獲得未知函數(shù)。根據(jù)變量原則和平均剩余方法建立剛度方程(1)。

在矩陣和計(jì)算機(jī)的幫助下，可以獲得近似解決方法。

矩陣位移法建立整個(gè)剛度矩陣K同時(shí)形成矢量力p，然后得到基本函數(shù)方程(2)。

通過(guò)方程(2)得到節(jié)點(diǎn)位移。然后根據(jù)方程(3)得到固定端的力。

正如方程(1)和方程(3)所示，關(guān)于單元固定端的力的兩個(gè)算法是不同的。有限元法忽視了固定端的力。

3 結(jié)語(yǔ)

本文從基本原理，基本方程方面分析了矩陣位移法和有限元法的微妙區(qū)別。當(dāng)矩陣位移法用來(lái)計(jì)算固定端的力的時(shí)候，固定端的力必須增加。但在有限元的方法中，節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)應(yīng)力變形獲得。沒(méi)有固定端的力，應(yīng)力的精度將會(huì)下降。根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)的知識(shí)，錯(cuò)誤率與單元尺寸，荷載的類型，荷載的大小有關(guān)。

[1] Si Yuan.From matrix displacement method to FEM:loss and recovery of stress accuracy，Keynote Lecture，F(xiàn)irst International Symposium on Structural Engineering，Kunming，China，1999.

[2] Huanding Wang，Zhaoping Jiao.The foundation of the finite method(Higher education press，China 2002).

[3] Buyuan Liu，Xian Zhang，Yunpeng Hu，et al.The analysis of finite element application[J].The China science and technology information，2010(12):35.

[4] Beibao Zhu，Zujun Zou，Min Chen.Based on the object-oriented database of finite element method in space truss structural analysis of application[J].Structural Engineers，2003(4):26.

[5] Qiwei Yang.The oblique stem frame calculation in structure matrix analysis[J].The northern industrial university journal，2006(18):91.