獨立學院《微積分》教學法初探

劉 琳

（東北財經大學津橋商學院 遼寧 大連 116600）

通過教學實踐，我們發現，獨立學院學生在學習高等數學時存在著獨有的現象，如兩極分化嚴重，普遍缺乏興趣，不按時做作業等等，這些導致如果教師沿用公辦本科的教學內容和方式，會出現有的學生“吃不飽”，有的學生“吃不消”等問題，這樣下去的話，最終的結果是老師教得辛苦，學生學得痛苦。因此，如何根據獨立學院學生的特點，制定新的教學計劃甚至是采取新的教學方法的問題擺在了每一位老師面前。下面，筆者結合教學實踐談一談對這個問題的認識和思考。

1 獨立學院學生高等數學學習特點

1.1 基礎普遍薄弱

從生源上看，獨立學院學生入學成績介于二本和專科之間，數學成績平均分一般在及格線左右。而高等數學和高中的數學無論是從研究對象還是處理問題的方法方面都是截然不同的。同時，大學學習一堂課能夠覆蓋教材15頁左右的知識，課容量也是高中無法比擬的。高等數學課程一般都是在大一上學期開設，而學生還需要從各個方面適應全新的大學生活，由于數學基礎本來就薄弱，和客觀上的原因，很容易導致學生高等數學學不會，不會學，以致最后掛科的結果。

1.2 兩極分化嚴重

德國數學家漢克爾（Hankel，1839—1873）曾說過：“在大多數學科里，一代人的建筑被下一代人所摧毀，一個人的創造被另一個人所破壞。惟獨數學，每一代人都在古老的大廈上添加一層樓。”這說明，數學是一門積累性的科學。有的學生從小學開始數學就沒有及格過，對數學不感興趣，甚至談數學“色變”，一上數學課就如同聽“天書”一般，非常痛苦。還有的學生，高中階段非常擅長數學，高考數學分數也很高，由于別的科目考的不理想或者報志愿時出了差錯而來到獨立學院。那么，面對差距如此懸殊的學生，采用相同的教學目標和教學內容，這顯然是不科學的。

1.3 不獨立思考問題，依賴性強

數學不僅能鍛煉人的抽象思維和邏輯思維能力，還培養吃苦耐勞的優良品質。一個數學定理可能要經歷好幾代數學家的思考和鍥而不舍的努力才發明出來的，也可以說數學中到處充滿著數學家的智慧。因此，要真正的對數學入門，并學好數學，就必須要學會思考。華羅庚曾經說過“勤能補拙是良訓”，“勤”的含義包括勤于思考，勤于練習。而很多學生，“坐享其成”，對教師的依賴性非常強，懶于動手動腦。在獨立學院的學生中，存在這種心理的學生占了大多數。這種學習方式非常不利于數學課程的學習。

2 教師如何教《微積分》

為美國加利福尼亞大學斯坦因教授所著《數學世界》的中譯本作序的劉源章先生，在序言一開頭就說了這樣一段話：“人人都說數學有用，但又幾乎人人都說數學難學。曾經有一位對數學發怵的名記者問過華羅庚，是不是自己太笨，學不懂數學，華羅庚對他說不是他不行，而是他的老師不行。這樣看，不只是學生應該知道怎樣去學數學，而且教師更要明白怎樣去教數學。”華羅庚教授說給那個記者的話的意思是：把數學教成了僵死的、抽象的教師絕不是一名好教師。那么，應該怎樣教數學，才能讓學生沒有畏懼，教出活潑生動的數學呢？

有許多杰出的數學家同時也是優秀的數學教育家,我國已故的閔嗣鶴教授就是一位。閔先生多年從事基礎課教學,他的課講得十分生動,深受學生歡迎。上個世紀50年代初期,北京大數數力系曾組織一次全系的觀摩教學,由閔先生主講數學分析中最重要也最困難的部分—極限理論。在題為“有序變量與無窮小量”的課上,他用自己制做的玻璃教具直觀地演示了Ε與△的依賴關系,非常精彩。數學分析中這個最難學,也最不易解釋清的部分就這樣被閔先生講得直觀而具體,通俗易懂,令滿堂師生都嘆為觀止。閔先生在教學中注重抽象與具體的統一,注重邏輯思維與形象思維的結合,化抽象為具體,變枯燥為有趣,一下子就拉近了學生與數學的距離。學生十分愛聽閔先生的課,并在不知不覺就登上了高等數學這個臺階。半個世紀過去了,閔嗣鶴先生當年的許多學生都成為當今中國著名的數學家,他們之所以有現在的成就,很大程度上得益于當年的基礎教育。

華羅庚先生的教學風格更是有口皆碑。他當年在北京和外地舉辦過大量的數學講座,他講解問題從來都是深入淺出、生動直觀,即使是十分艱深的數論問題,他也要從一個很淺顯的例子入手。華先生的講座引發了許多人對數學的愛好,包括一些工人和干部,其中不乏因此而走上數學研究道路的人。

無論是閔嗣鶴、華羅庚的直觀教學法都說明了同一個道理：傳給后人的數學,或者說教師教給學生的數學,應該是真正有意義的 “活的數學”。如果把數學認識過程中的那些具有直觀想象、猜想、直覺等特征的活動,也就是由形象思維所構成的認識活動視為 “形”,而把經過數學的抽象思維所得的結果視為 “意”,那么,閔嗣鶴先生的教學示范不都恰好(在數學教學中)印證了希爾伯特和阿蒂亞的名言嗎?這就是說,在教學過程中應該盡可能地把抽象思維與形象思維結合起來。

3 教學實踐與體會

幾年來,我們在教學中,盡量注意“意”與“形”的結合。 在引入一些重要的數學概念和定理(如極限、連續、導數、積分以及微分學基本定理、積分學基本定理等),或講一些重要的數學思想時,總是強調其幾何意義或物理背景,注意抽象思維與形象思維的結合。 例如,函數的變上限積分概念對于大學生來說,是非常抽象的。 我們在講解時,從它的幾何意義入手，強調函數的就是一一對應關系，有一個積分上限就有一個曲邊梯形面積與之相對應，數形結合，學生有了直觀的認識，可以加深對概念的理解。又如,在講定積分的應用時,我們隨時把握住所論問題的幾何意義和物理背景,特別在講“微元法”時,通過“面積是面積微元的積累”、“質量是質量微元的積累”、“流量是流量微元的積累”等,強調定積分就是一種“微元積累”(當然這種積累要經過取極限的過程才能完成),使學生加深了對定積分本質的理解。

我們所講的“形”,不僅有“幾何原形”、“物理原形”,還特別強調重要概念和定理的“歷史原形”。考慮到微積分是大學數學課程的主體,它的建立是近代數學誕生的重要標志,其發展史不僅是數學史的熱門課題,也是數學教育的重要內容,因此,我們在教學過程中,自始至終都十分注意微積分思想發展史的教育。

英國科學史家丹皮爾曾經說過：“再沒有什么故事能比科學發展的故事更有魅力了”。在數學五千余年的發展長河中，有無數的人和事發生著，這些就構成教學中富有魅力的題材。例如在講授微積分學基本定理時，教師就可以介紹牛頓、萊布尼茲這兩位微積分學創始人的生平，他們是如何獨立發明微積分學基本定理的，以及這個定理在數學發展過程中的地位與作用。牛頓有一句名言“如果說我看得遠一些，那是因為我站在巨人的肩膀上”，學生對于這句話耳熟能詳，教師不妨在課堂上展開一下，那么這里所謂的“巨人”指的是誰呢？從學生熟悉的名言入手，之后自然的向他們介紹開普勒的“無限小元素法”、卡瓦列里的“不可分原理”等等這些先人的樸素的積分思想，也正是這些思想為牛頓的工作奠定了重要的基礎。這樣，呈現在學生眼前的就不是干巴巴的一個定理，通過引入史實，學生看到的是一段有聲有色、有血有肉的活生生的故事，這個故事中有聲音，有人物之間的沖突，主人公與普通人一樣，也曾經迷茫過，可能也走過彎路……將一個數學定理在如此精心設置的三維背景下講解，不僅擴大了學生的知識面，同時增加了情境，激發了學習興趣，幫助學生更好的理解了數學。

無窮級數這一章判斷級數斂散性的方法很多，極易混淆，又缺少在實際生活中應用的題目，學生學起來覺得抽象難懂。那么，比如講到“阿貝爾定理”時，不妨介紹一下這位英年早逝的數學家阿貝爾，他的貢獻中能帶給學生啟發的就是關于一元五次方程沒有根式解的證明。學生們很熟悉一元二次方程的求根公式，由此引導他們思考下面這個問題：一元三次方程（甚至）更高次方程是否有根式解？在16世紀，三次方程根式解由意大利數學家費羅等人獲得；四次方程求根公式由費拉里得到。而關于一元五次方程，由阿貝爾于19世紀上半葉證明五次以上方程不能用公式求解。這樣，就開闊了學生的眼界，啟迪了思維。再舉一例，在講授完常數項級數后，可以向學生介紹古希臘著名的悖論“阿基里斯追龜”問題：“假設烏龜和阿基里斯賽跑，烏龜的起跑點領先一段距離，那么，當阿基里斯到達烏龜的起跑點時，烏龜又爬行了一段距離；阿基里斯跑完這段距離時，烏龜又向前爬了一段；如此直至無窮。所以阿基里斯永遠追不上烏龜。”這個問題，讓學生動手嘗試直接應用常數項級數收斂定義來得出結論。它不僅鞏固了所學知識，又解決了歷史上的著名的問題，增強了學生學習的信心，開拓了思路。

對于獨立學院的學生，微積分的學習是充滿困難的，教師教起來也不輕松。但是，作為教師，不僅從教學內容上進行改革，因材施教，在教學方法上也要改變。那么如何增加數學概念的直觀性，趣味性，如何讓學生能夠學有所得，這些都是獨立學院數學教師亟待解決和思考的問題。

[1]杜瑞芝,譚奕.得“意”不要忘“形”——微積分教學法淺談[J].高等數學研究,2000(12).

[2]Marshll GL and Rich BS.The Role of History in a Mathematics Class[J].Mathematics Teacher,2000,93(8).

[3]嚴士健.面向21世紀的中國數學教育[M].南京:江蘇教育出版社,1996.