賞析中考試題,反思課堂教學

一、題目

(2010年徐州市中考數學試卷第26題)如圖①，梯形ABCD中，∠C=90°。動點E、F同時從點B出發，點E沿折線BA—AD—DC運動到點C時停止運動，點F沿BC運動到點C時停止運動，它們運動時的速度都是1cm/s。設E、F出發t(s)時，△EBF的面積為y(cm2)。已知y與t的函數圖像如圖②所示，其中曲線OM為拋物線的一部分，MN、NP為線段。請根據圖中的信息，解答下列問題:(1)梯形上底的長AD=cm，梯形ABCD的面積cm2;(2)當點E在BA、DC上運動時，分別求出y與t的函數關系式(注明自變量的取值范圍);(3)當t為何值時，△EBF與梯形ABCD的面積之比為1∶2。

二、評價與賞析

(一)從試題的邏輯結構看

試題以學生熟悉的直角梯形為依托，以動態問題為情境，綜合平行線性質、三角形面積、梯形面積的計算與圖形面積之關系，并把一次函數、二次函數知識包含其中，從運動的觀點出發，認識變化著的面積與相應的函數圖像之間的對應性，以及函數性質在所反映的實際問題中的變化規律。試題融合了代數與幾何、運動與靜止、函數與圖像的聯系，形成了較好的內容邏輯結構。

(二)試題的“三度”看

試題的“三度”是指效度、信度和區分度。一道好試題應當使考查結果有較好的效度、較高的信度和較強的區分度。試題考查結果設置了三個問題:第(1)問是求梯形上底AD的長和梯形ABCD的面積。要求學生從變化著的面積與相應的函數圖像的對應性，確定梯形的上底、下底和高，進而求出梯形的面積。依據結果可以準確判斷學生是否真正理解函數圖像與實際問題的對應關系和變化規律，從而保證試題的效度。第(2)、(3)兩問是解答題，確定y與t的函數關系式，并求出當y是定值時對應t的取值。依據學生解答的結果，教師不但可以準確判斷學生是否掌握一次函數、二次函數解析式的求法，而且可以判斷學生對重要的數學思想方法(如:數形結合思想方法、分類討論思想方法)和實際問題中自變量的取值范圍與函數圖像的對應關系的掌握應用情況，從而保證了試題的信度。試題根據由易到難的原則，設置的3個問題層層遞進。第(1)問填空要求讀懂題意，利用變化著的面積與相應的函數圖像之間的對應性得出結論，得2分。第(2)問能求出曲線OM所對應的二次函數解析式，得4分;能求出線段NP對應的一次函數解析式，并正確寫出自變量t的取值范圍，得6分。第(3)問能用分類思想繼續思考在不同的區間、應用不同的函數關系式求出t的值，得8分。按此評分標準，題目把中等以上考生的水平分別用分值2、4、6、8加以表示，不僅完成了區分數學成績優秀的考生任務，而且支持全卷對數學成績中等考生的區分，所以本題有較強的區分度。

(三)從試題的“兩性”來看

試題“兩性”是指:可推廣性和教育性。本題是以相關的幾何知識為背景，在運動過程中，以函數圖像為基礎，反過來探究生成它的圖形面積在變化過程中的函數解析式，在一定程度上加大了考查變化著的圖形面積與相應函數圖像之間的對應性，以及函數的圖像和性質在所反映的實際問題中的變化規律的力度，更有效考查了學生數學思想方法(如分類思想)，以及數學思考方法(如動中求靜)，這樣使試題不僅有很好的效度和信度，而且有極好的可推廣性。本題從動態問題研究出發，解答過程需要綜合運用代數、幾何的知識方法，切實考查了學生的基本數學素養與基本能力，有助于引導教師在教學中夯實數學基礎知識、基本技能和基本思想方法，有助于鼓勵學生自主探索和養成獨立思考的學習習慣，有助于促進學生創新思維能力的發展，故而對學生的數學學習有一定的教育作用。

三、教學反思

(一)培養學生的自主探究能力

本題以“動態問題”為情境，展現變化的△EBF的面積y與t的函數圖像，讓學生根據圖中的信息解答三個問題。從問題(1)來看，要想求出梯形上底AD的長和梯形ABCD的面積，就必須要求學生能根據圖像信息去發現:①當t=5s時，動點E、F分別到達定點A、C，當t=7s時，動點E到達定點D，而動點F則停止在C點2s，從而BA=BC=5，AD=2。②當t=5s時，△EBF的面積y=10cm2。也即△ABC的面積為10cm2。從而△ABC的高AH即梯形的高DC為4cm。由此可以求出梯形ABCD的面積為14cm2。從本題的考查中可以看出培養學生自主探究能力的重要性。自主探究是學生學習活動中的一種最基本的活動方式，美國數學教育家波利亞指出:“學習任何東西，最好的途徑是自己去發現。”由此看來，有效的教學活動并不能依賴教師的教與學生的被動接受，教師要給學生創設良好的“問題情境”，引導學生通過動手、動腦、動口在學習活動中主動探究問題，尋求解決問題的方法，教師不能把自己的觀點和方法直接拋給學生，要給學生提供自主探究的機會和充分展示自己的時間和空間，讓學生自主建構知識、獲取經驗，這樣學生的自主學習能力才能得到提高和發展。

(二)培養學生的創新思維能力

從問題(2)來看，“當點E在BA、DC上運動時，分別求出y與t的函數關系式(注明自變量的取值范圍)”。評分標準給出用“相似法”和“面積法”求這兩個函數關系式的過程，我在批改評卷時發現有很多考生用常規的方法(即待定系數法)求這兩個函數關系式，求解過程如下:

解(2):①當點E在BA上運動時，根據圖中的信息，可設拋物線為y=at2。此時0≤t≤5。因為點M(5，10)在拋物線上，所以52a=10。解之得a=，故y與t的函數關系式為y=t2。②當點E在DC上運動時，此時7≤t≤11。因為NP為線段，所以可設y=kt+b，因為點N(7，10)、點P(11，0)在線段NP上，所以7k+b=1011k+b=0，解之得k=-b=。故y與t的函數關系式為y=-t+。

本題解題方法靈活，但是第(1)問條件不能確定拋物線的頂點一定是原點，對稱軸是y軸，雖然用待定系數法求出解析式結果也是y=t2，只是一種巧合。所以本題既考查了學生必須掌握的重要數學基礎知識和基本方法，又考查了學生在“解決問題”時思維的嚴謹性，體現了新課標對“發展學生的實踐能力和創新精神”的要求。因此，教師在教學中，要抓實“雙基”訓練，夯實基礎，這是發展學生創新思維能力的前提;在“解決問題”時，要引導學生在已有知識經驗的基礎上拓展思路，發現新問題，找到新方法，能夠靈活、合理地選擇方法解決問題，這是發展學生創新思維能力的重要環節;在學生學習困難或思維障礙時，教師及時給予啟發、點撥，鼓勵學生嘗試從不同角度尋求解決問題的方法，使學生的思維順暢，促進學生創新思維的形成，這是激發學生創新思維的有效動力。

(三)培養學生的綜合應用能力

問題(3):“當t為何值時，△EBF的面積與梯形ABCD的面積之比為1∶2。”學生能在(1)、(2)的基礎上，用分類思想繼續思考在不同的區間、應用不同的函數關系式求出t的值，切實考查了學生的綜合應用能力。新課標要求學生:“面對實際問題時，能主動嘗試從數學的角度運用所學的知識和方法尋求解決問題的策略。”本題從動態的實際問題研究出發，綜合運用代數、幾何的知識和方法，考查學生解決實際問題的能力，符合新課標的要求。因此，教師在教學中要引導學生從不同角度發現實際問題中所包含的數學信息，獲得解決實際問題的經驗和方法，提高學生的綜合應用能力，要通過“數學活動”鼓勵學生自主探究與合作交流;在自主探索時，教師要引導學生在已有知識和經驗的基礎上，面對綜合應用問題，能主動尋找實際背景和已知信息，主動嘗試從數學的角度尋求解決問題的策略;在合作交流時，教師要引導學生學會與他人合作，積極參與對數學問題的討論，敢于發表自己的觀點，敢于質疑和認同他人的見解，從交流中獲益;在學生學習活動困難時，教師要及時給予點撥，使學生獲得正確的思考方法，形成正確的解題思路。這樣，學生才能真正理解和掌握所學的知識和方法，學生的綜合應用能力才能得到提高和發展。

參考文獻:

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