中考問題考點透視

☉湖南臨武縣第二中學 唐孝傳

中考問題考點透視

☉湖南臨武縣第二中學 唐孝傳

新的課程標準更多地強調我們用數學知識解決生活中的問題，體現數學生活化和生活數學化.隨著新課程的不斷深入，中考命題中越來越注重數學知識的運用，其中航海問題就是熱點考題之一.這類問題形式多樣，新穎獨特，生活性強，是對同學們運用數學知識解決實際問題能力的考查.

解決此類問題的關鍵在于：①弄清題意，將實際問題轉化為數學問題；②構造直角三角形，弄清直角三角形中，已知線段、角和未知條件之間的關系；③分析圖形特點，從不同角度思考問題.現將有關的考題進行分類整理，供同學們學習時參考.

考點一、求兩點間的距離

例1 如圖1，客輪在海上以每小時30km的速度由B向C航行，在B處測得燈塔A的方位角為北偏東80°，測得C處的方位角為南偏東25°，航行1小時后到達C處，在C處測得A的方位角為北偏東20°，則C到A的距離為（ ）.

點撥：通過作BD⊥AC于D，將AC分成CD與AD的和，證得△BCD為等腰三角形，利用解直角三角形求出CD和AD的長，問題將得以解決.

故選擇D.

考點二、求航行時間

例2 如圖2，小島A在港口P的南偏西45°方向，距離港口81海里處.甲船從A出發，沿AP方向以9海里/時的速度駛向港口，乙船從港口P出發，沿南偏東60°方向，以18海里/時的速度駛離港口.現兩船同時出發.

①出發后幾小時兩船與港口P的距離相等？

點撥：①設出時間這個未知數，利用路程相等，建立方程即可求解；②乙船在甲船的正東方向，實質就是求出發后幾小時后乙船和甲船所處點（D點、C點）的連線與南北方向垂直，這樣可聯想過點P作PE⊥CD于E，AE即為Rt△PCE與Rt△PDE的公共邊，因此，運用解直角三角形的方法，利用PE的長為等量關系建立方程，即可求出出發后的時間.

解：①設出發x小時后兩船與港口P的距離相等，根據題意得，81-9x=18x解得 x=3.

答：出發3小時后兩船與港口P的距離相等.

②設出發y小時后乙船在甲船的正東方向，此時甲、乙兩船的位置分別在點C、D處，連接CD，過點P作PE⊥CD于E，則點E在點P的正南方向.

答：約3.7小時后乙船在甲船的正東方向.

考點三、確定方向

例3 一艘船由A港沿北偏東60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港.

求：①A、C兩港之間的距離；②確定C港在A港什么方向.

點撥：畫出示意圖（如圖3），證得△ABC是等腰直角三角形，即可求得AC的長和∠CAB的度數，∠CAD就是C港在A港的方位角.

解：①根據題意得，∠ABC=90°AB=BC=10.

②因為△ABC為等腰三角形，所以∠CAB=45°，∠CAD=60°-45°=15°.

所以C港在A港的北偏東15°的方向上.

考點四、求船速

例4 如圖4，甲船在A處，測得乙船在甲船的北偏東30°的B處正以每小時10km/h的速度向正東方向行駛，若甲船從東北方向追趕乙船，計劃在2小時后追上，求甲船的速度（結果保留根號）.

點撥：延長CB交AD于D，在Rt△ADC中和Rt△ABD中，通過解直角三角形用AD的長分別表示出CD與BD的長，然后利用BC=CD-BD構建方程，求出AC的長，即可求出船速.

解：延長CB交AD于D，由題意可得，CD⊥AD.

考點五、判斷船是否被淺灘阻礙（或觸礁）

圖5

點撥：船是否有被淺灘阻礙的危險，實際是探討航標C到直線AB的距離與120m的大小關系.通過作CD垂直于AB的延長線D點，在Rt△ACD和Rt△BCD，通過解直角三角形，用CD的長分別表示出AD和BD的長，然后利用AB=AD-BD建立方程，求出CD的長與120m相比較即可.

解：作CD垂直于AB的延長線于點D，設CD=xm.

在 Rt△BCD 中，因為∠CBD=45°，所以 CD=BD=x.

所以這條船繼續前進，沒有被淺灘阻礙的危險.