乘法公式在初中數學知識中的幾種應用

☉江蘇沭陽縣實驗中學 胡會俠

乘法公式在初中數學知識中的幾種應用

☉江蘇沭陽縣實驗中學 胡會俠

乘法公式包含兩個運算公式，即平方差公式、完全平方公式，是初中數學學習中最基本的、應用最廣泛的公式，同時也是初中中考命題中比較重要的考點之一，靈活巧妙地應用乘法公式可以使計算過程簡捷方便，達到事半功倍的效果，現分析乘法公式在初中數學中的五個重要的應用.

一、乘法公式在解方程或不等式組中的應用

例 1 解方程：（2x+3）（2x-3）+3（x+2）（x-2）=（x+1）（7x-1）.

分析：先利用平方差公式和，再利用多項式乘法法則展開，按照解方程的步驟即可求解.

所以不等式組的解集為（5，+∞）.

二、利用乘法公式簡算

例 3 計算：3×（22+1）×（24+1）×（28+1）×（216+1）+1.

分析：計算 3×（22+1）×（24+1）×（28+1）×（216+1）時可知直接計算比較煩瑣，而且數字較大，不易計算，尤其是最后的乘積.但發現3=22-1，可將原式變形為含有平方差公式的計算式.

三、完全平方公式在三角形中的運用

例4 已知：△ABC的三邊長分別為a、b、c，三邊滿足a2+b2+c2-ab-bc-ac=0的關系式，試判斷△ABC的形狀并說明理由.

分析：關系式a2+b2+c2-ab-bc-ac=0體現了△ABC三邊長之間關系，從關系式形式上與完全平方公式很相近，只是相差2ab和2bc與2ac中的2倍，利用等式性質可轉化為2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0即可.

四、利用乘法公式證明

例 5 證明：對于任意整數 n，整式（2n+1）2-（2n-1）2-8是 8的倍數.

分析：要判斷整式（2n+1）2-（2n-1）2是 8 的倍數，只要最后的結果中會有8的因數.

證明：（2n+1）2-（2n-1）2-8=［（2n+1）+（2n-1）］［（2n+1）-（2n-1）］-8=4n×2-8=8（n-1）.

又因為n是整數，所以n-1是整數，可得8（n-1）是8的倍數.

五、利用乘法公式變形求值

例 6 已知：（a+b）2=8；（a-b）2=4，求 a2+b2及 ab 的值.

分析：（a+b）2和（a-b）2的展開式中都含有 a2+b2及 ab，因此將（a+b）2=8、（a-b）2=4 展開，把兩個等式看成關于 a2+b2及 ab 的方程組，解方程組即可.

乘法公式除了以上知識點，也涉及很多知識，常常融入到其他知識綜合題中，在數的運算、代數式的化簡、解方程等方面都有極其廣泛的應用，但要記清這些公式的結構特點，以便能夠舉一反三，觸類旁通，總結規律，真正培養學生的求異思維和類比思想，提高知識水平、運算能力以及對知識的貫通能力.