例談等腰三角形的性質及其應用

☉河南鎮平縣涅陽一初中 王 清

例談等腰三角形的性質及其應用

☉河南鎮平縣涅陽一初中 王 清

定理1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）.

定理2：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡稱“三線合一”）.

定理3：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°.

以上是等腰三角形的性質定理，這些性質定理在幾何問題中有著廣泛的應用，下面以近年來各地的中考試題為例，分類加以說明，供大家參考.

一、借助量角器求角度

例1 如圖1，小量角器的零度線在大量角器的零度線上，且小量角器的中心在大量角器的外緣邊上.如果它們外緣邊上的公共點P在小量角器上對應的度數為65°，那么在大量角器上對應的度數為__________（只需寫出0°～90°的角度）.

解析：此題要求考生能夠將生活中的實物圖形抽象為幾何圖形，能夠從實物圖中挖掘出相應的幾何量.如圖2所示，A、B是兩個量角器的中心，點D在線段AB上，AC=AB，BD=BC，∠ABC=65°，求∠B的度數.

因為在△ABC中，AC=AB，根據等腰三角形的兩個底角相等，所以∠A=180°-65°×2=50°，故答案為50°.

點評：轉化與化歸的策略很多，一般來說，提取已有的解題經驗或將問題轉化為熟悉的解題模式進行求解是解題的關鍵，象這樣的例題，構造出數學圖形從而實現問題有效轉化的策略是值得同學們學習的.

二、借助于平面直角坐標系確定點的個數

例2 如圖3，在平面直角坐標系中，已知點A（1，0）和點B（0，），點C在坐標平面內.若以A、B、C為頂點構成的三角形是等腰三角形，且底角為30°，則滿足條件的點C有幾個.

解析：（1）當AB=AC時，以A為圓心，AB=2為半徑畫圓，與x、y軸交與C1、C2，由點A（1，0）和點B（0），這些條件可以求出以A為頂點的三角形是等腰三角形，且底角為30°，此時點C的坐標為（3，0）和（0，-）.

（2）當BC=BA時，以B為圓心，BA=2為半徑畫圓，由題意，在圓上我們可以找到兩個點C3、C4，使以B為頂點的三角形是等腰三角形，且底角為30°，此時點C的坐標為（1，2+） 和（-2，）.

故答案為6.

點評：要使△ABC是等腰三角形，應分三種情況進行討論，再通過畫圖來確定點C的位置.

三、借助于勾股定理求邊長

例3 如圖4，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底邊上的高，若AB=5cm，BC=6cm，則AD的長為多少.

點評：等腰三角形的“三線合一”是非常重要的性質，尤其在綜合題中經常跟勾股定理聯系起來進行考查.

四、借助于三角形相似求面積

例4 如圖5，在正三角形ABC中，D、E、F分別是BC、AC、AB上的點，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，則△DEF的面積與△ABC的面積之比等于（ ）.

解析：此題運用等邊三角形的性質以及相似的性質來解決.由題意可證得△EDF是等邊三角形，而且△AEF、△BDF、△CDE均是有一個角是30°的直角三角形.

點評：根據“等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°”這一性質特征，從而所有等邊三角形都是相似三角形，再根據相似三角形的性質特征求出面積比.

綜上所述，與等腰三角形（等邊三角形）的性質密切相關的綜合題頻頻出現在各地的中考試卷上，已經成為考查三角形的一大熱點，同學們在今后的學習中要把握本質特征，多動腦、勤動手，才能體驗到學以致用的樂趣.