對北師大版教材“梯子滑動問題”的探究

☉湖北省宜都市外國語學校 范 鴻

北師大版九年級教材上冊P47有一例：如圖1，一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m.如果梯子的頂端下滑1m，那么梯子的底端滑動多少米？

分析 由勾股定理可知，滑動前梯子底端距墻6m，如果設梯子的底端滑動xm，那么滑動后梯子底端距墻（6+x）m.根據題意，可得方程（x+6）2+72=102.解這個方程得x=

1.提出問題

從上述解題過程中，我們發現梯子底端滑動的距離x=1，這個結論是否具有一般性？即：是不是在任何情況下，底端滑動的距離都大于頂端下滑的距離？如果不是，那么“梯子滑動”是否有一定的規律？

2.猜想規律

帶著這個問題，改變本題中的頂端下滑距離的數據，設梯子的底端滑動xm，重新計算：（1）當頂端下滑距離為2m，列出方程（x+6）2+62=102，解得x=2；（2）當頂端下滑距離為3m，列出方程（x+6）2+52=102，解得x=

（3）當頂端下滑距離為4m，列出方程（x+6）2+42=102，解得x=

（4）……

不難發現，當頂端下滑距離為2m時，底端滑動距離也為2m.當梯子頂端下滑距離在增大時，方程中一個加數如62、52、42……在減小，梯子底端滑動的距離在增大.但是，上述的計算結果顯示：當頂端下滑距離大于2m時，底端滑動的距離小于頂端下滑的距離.提醒我們關注本題的條件，由于“斜邊-直角邊=2”，“兩直角邊之差=2”，到底哪一個是真正的條件，來影響頂端下滑距離和底端滑動距離的大小關系呢？從特殊到一般，如圖1，AO＞BO，設AA′=BB′=x，則A′O=AO-x，B′O=BO+x，在Rt△A′OB′中，由勾股定理可知：A′O2+B′O2=A′B′2，于是（AO-x）2+（BO+x）2=AO2+BO2，解得：

我們猜想如下：

（1）若梯子頂端下滑的距離等于兩直角邊之差，則梯子底端滑動的距離等于頂端滑動的距離；

（2）若梯子頂端下滑的距離大于兩直角邊之差，則梯子底端滑動的距離小于頂端滑動的距離；

（3）若梯子頂端下滑的距離小于兩直角邊之差，則梯子底端滑動的距離大于頂端滑動的距離.

3.證明猜想

如圖1，AO＞BO，設AA′=x，BB′=y，則A′O=AO-x，B′O=BO+y.在Rt△A′OB′中，由勾股定理可知（AO-x）2+（BO+y）2=AO2+BO2，化簡并整理得y2+2BOy+（x2-2AOx）=0.將y視為未知數，解分類討論如下：

（1）當x=y時，即-BO+，解得x=AO-BO.反之也成立.

（2） 當y＞x時，即-BO+

解得x＜AO-BO.反之也成立.

（3） 當y＜x時，即-BO+解得x＞AO-BO，反之也成立.

綜上所述，猜想正確，當AO＞BO時，梯子頂端沿長直角邊AO下滑，遵循上述規律.

4.變式探究

對于Rt△AOB，改變原條件“AO＞BO”，情況又會怎樣？下面進行探究討論：

（1） 如圖2，在Rt△AOB中，AO＜BO，AB=A′B′.設AA′=x，BB′=y，則A′O=AO-x，B′O=BO+y.在Rt△A′OB′中，由勾股定理可知（AO-x）2+（BO+y）2=AO2+BO2，化簡并整理得y2+2BOy+（x2-2AOx）=0.將y視為未知數，解得y=-BO±，取y=-BO+，移項兩邊平方化簡得：x2+y2=2（AOx-BOy）.

因為x2+y2＞0，所以AOx-BOy＞0.

又因為AO＜BO，所以x＞y.

（2）將條件“AO＞BO”變為“AO=BO”，方法同上述（1）一樣，此時x2+y2=2AO（x-y）.

因為x2+y2＞0，所以x＞y.

綜上所述，當AO≤BO時，梯子頂端沿短直角邊AO下滑的距離總大于底端滑動的距離.

5.提煉推廣

對于直角三角形，在斜邊一定的情況下，兩直角邊的變化規律如下：

（1）對于等腰直角三角形，一直角邊縮短的距離總大于另一直角邊伸長的距離.

（2）對于非等腰的直角三角形，短直角邊縮短的距離總大于長直角邊伸長的距離.

（3）對于非等腰的直角三角形，長直角邊縮短的距離和短直角邊伸長的距離的大小關系須滿足一定條件：

當長直角邊縮短的距離等于兩直角邊之差時，長直角邊縮短的距離等于短直角邊伸長的距離；當長直角邊縮短的距離大于兩直角邊之差時，短直角邊伸長的距離小于長直角邊縮短的距離；當長直角邊縮短的距離小于兩直角邊之差時，短直角邊伸長的距離大于長直角邊縮短的距離.