因題而異設未知數

☉江蘇省淮安市淮陰區開明中學 馬先龍

在中考選擇題和填空題解題中，常常會碰到計算問題.對于此類問題，有時需要列方程（組）解決.列方程（組）前，若能根據題設和圖形特點，因題而異設未知數，往往能化難為易，事半功倍.現舉例說明如下.

1.直接設未知數

例1 （2011四川內江中考）如圖1，在直角坐標系中，矩形ABCO的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點B的坐標為（1，3），將矩形沿對角線AC翻折，B點落在D點的位置，且AD交y軸于點E，那么點D的坐標為（ ）.

分析：如圖1，由條件，易知AD=AB=3，CD=CB=1，過點D分別作DF⊥x軸，DG⊥y軸，垂足分別為點F、G，設D（m，n），在Rt△ADF和Rt△CDG中，由勾股定理易得關于m、n的方程組，解出m、n即可得到點D的坐標.

2.間接設未知數

例2 （2011安徽蕪湖中考題改編）如圖2，在正方形ABCD內有一折線段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE=6，EF=8，FC=10，則正方形ABCD的面積為________.

分析：如圖2，直接求正方形ABCD的面積比較困難，可間接設未知數.

由正方形的面積公式，知只須求出AB的長，因AC=所以只須求出AC的長.連接AC，設AC與EF相交于點G，則AC=AG+CG.由條件易知△AEG∽△CFG，設EG=x，根據相似三角形的性質，可得關于x的方程，解出x，即得EG、FG的長，進而運用勾股定理可求出AG、CG的長，得出AC的長后，問題迎刃而解.

解：如圖2，連接AC，設AC與EF相交于點G，設EG=x.

因為AE⊥EF，EF⊥FC，所以∠AEG=∠CFG=90°.

所以AE∥CF，所以△AEG∽△CFG.

所以S正方形ABCD=（4）2=160，所以正方形ABCD的面積為160.

例3（2011重慶市中考）某步行街擺放有若干盆甲、乙、丙三種造型的盆景.甲種盆景由15朵紅花、24朵黃花和25朵紫花搭配而成，乙種盆景由10朵紅花和12朵黃花搭配而成，丙種盆景由10朵紅花、18朵黃花和25朵紫花搭配而成.這些盆景一共用了2900朵紅花，3750朵紫花，則黃花一共用了________朵.

分析：直接求黃花的總朵數比較困難，可間接設未知數.設步行街擺放甲、乙、丙三種造型的盆景分別為x盆、y盆、z盆，則由題意可列出關于x、y、z的方程組，把x當做已知數，從中解出y、z，代入24x+12y+18z中，消去x，即可求出黃花的總朵數.

解：設步行街擺放甲種造型的盆景x盆，乙種造型的盆景y盆，丙種造型的盆景z盆，由題意，得：

3.多設未知數

例4（2011四川南充中考）如圖3，在圓柱形油槽內裝有一些油，截面如圖3，油面寬AB為6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面寬變為8分米，圓柱形油槽直徑MN為（ ）.

A.6分米 B.8分米 C.10分米 D.12分米

分析：如圖3，過點O作OE⊥CD，垂足為點E，延長OE交AB于點F，則OF⊥AB，連接OA、OC，則CE=4，AF=3，EF=1.因⊙O的半徑和OE都是未知的，所以可多設未知數，設⊙O的半徑=x，OE=y，這樣就能較容易地列出方程，解出x，則MN=2x.

解：如圖3，過點O作OE⊥CD，垂足為點E，延長OE交AB于點F，則OF⊥AB，連接OA、OC，設⊙O的半徑=x，OE=y，在Rt△OCE中，由勾股定理，得x2=y2+42……（1）.

在Rt△OAF中，由勾股定理，得x2=（y+1）2+32……（2）.

比較（1）、（2），得y2+42=（y+1）2+32，解得y=3，把y=3代入（1），得x=5，所以圓柱形油槽直徑MN為10，應選C.

4.設輔助未知數

例5 （2011浙江溫州中考題改編）如圖4，八個全等的直角三角形拼接后得到三個正方形.記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3=11，則S2的值為_______.

分析一：如圖4，直接求S2比較困難，根據題設和圖形的特點，可設每個直角三角形的面積為S（S為輔助未知數），這樣就易于找出S1、S2與S和S3之間的關系，把所得關系代入條件，可得S3與S的關系，把這一關系代入S2，消去S即得S2的值.

解：如圖4，設每個直角三角形的面積為S.

則S1=8S+S3，S2=4S+S3.因為S1+S2+S3=11，

所以（8S+S3）+（4S+S3）+S3=11，12S+3S3=11.

解：如圖4，設每個直角三角形較長的直角邊為a，較短的直角邊為b，則AB=a+b，EF=，MN=a-b，所以S1=（a+b）2，S2=a2+b2，S3=（a-b）2.

因為S1+S2+S3=11，所以（a+b）2+（a2+b2）+（a-b）2=11，展開整理，得3（a2+b2）=11.